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管理数学I作业(习题四)

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管理数学作业(习题四)

 

  1. 为具有均值,方差的总体的一个样本,考虑以下的估计量

  1. 证明以上三个估计量都是的无偏估计量;

2)谁是最有效的估计量?

解:

   1

      

      

    所以,上述三个估计量都是的无偏估计量。

   2

      

      

    最小,所以,是最有效的估计量。

 

2.设为来自总体的一个样本,为来自总体的一个样本,且两个样本相互,证明

  1. 的无偏估计;
  2. 的无偏估计。

解:

1)因为

   所以,即的无偏估计。

2

的无偏估计。  证毕。

 

  1. 对快艇的6次试验中,得到下列最大速度(单位:米/秒):

273830373531

求快艇的最大速度的数学期望与方差的无偏估计量,并计算对应于给定样本观测值的估计值。

解:设快艇的最大速度为随机变量,其服从数学期望为、方差为的分布

则其无偏估计量分别为)、

具体估计值为

 

  1. 美国教师联合会每年都对教师的工资做调查,1991-1992年教师的平均工资为$34,213。假设上述结果是容量为400的一个样本的均值,并且1991-1992年教师工资的标准差为$4800。试求教师平均工资的99%的单侧置信下限,并解释其含义。

解:为大样本

单侧置信下限为

即有99%的可能1991-1992年教师的平均工资高于336美元。

 

  1. 某银行原来平均贷款数额为60,000元,近来贷款利息发生变化。为了解这种变化对平均贷款数的影响,从变化后的贷款中随机抽取144个样本,求得(单位:千元),

1)求平均贷款数95%的置信区间;

2)不做任何计算,判断置信度为99%的置信区间的宽度比(1)中的大还是小?为什么?

 解:(1)设贷款数额为正态总体,

平均贷款数95%的置信区间为

2)宽度比(1)大。因为99%覆盖的范围比95%覆盖的范围广。

 

  1. 设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为:

6.05.75.86.57.06.35.66.15.0

设干燥时间总体服从正态分布。在下列条件下,求的置信度为0.95的置信区间:1)若由以往经验知(小时),2)若为未知。

解:1)正态总体,,将数据输入计算器得

   的置信度为0.95的置信区间为

   

    2)正态总体,,将数据输入计算器得

   的置信度为0.95的置信区间为

  1. 某啤酒公司制造的罐装啤酒容量服从标准差为0.2盎司的正态分布。
  1. 若要抽取一个容量为25的样本,并且要求啤酒的平均容量的置信区间为(11.98, 12.12),求该置信区间的置信度。
  2. 若公司经理希望啤酒平均容量的99%的置信区间的总宽度不超过0.1,应抽取容量为多大的样本?

   解:正态总体,

1

  该置信区间的置信度为92%

2

 

  1. 某工厂最近向它的客户发出新形式的广告,据说该广告的有效率为0.1。为求其90%的置信区间,应选多大容量的样本?设其置信区间的总宽度为0.04。若有效率为0.12,所需样本容量又如何?

解:0-1总体,

 

当有效率为0.12时,

 

9.若想估计某个地区居民的平均家庭收入,已知该地区居民家庭收入的标准差为15000元,现要求估计的误差不超过1000元,置信度为95%,应抽取多少个家庭做样本?若已知该地区共有2000个家庭,则应抽取多少个家庭做样本?

   解:正态总体,

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