管理数学I作业（习题四）

管理数学作业（习题四）

1. 令为具有均值，方差的总体的一个样本，考虑以下的估计量

，，。

1. 证明以上三个估计量都是的无偏估计量；

2）谁是最有效的估计量？

解：

   1）

    所以，上述三个估计量都是的无偏估计量。

   2）

    最小，所以，是最有效的估计量。

2．设为来自总体的一个样本，为来自总体的一个样本，且两个样本相互，证明

1. 是的无偏估计；
2. 是的无偏估计。

解：

1）因为，

   所以，即是的无偏估计。

2）

即是的无偏估计。  证毕。

3. 对快艇的6次试验中，得到下列最大速度（单位：米/秒）：

27，38，30，37，35，31．

求快艇的最大速度的数学期望与方差的无偏估计量，并计算对应于给定样本观测值的估计值。

解：设快艇的最大速度为随机变量，其服从数学期望为、方差为的分布

则其无偏估计量分别为（）、（）

具体估计值为

4. 美国教师联合会每年都对教师的工资做调查，1991-1992年教师的平均工资为$34,213。假设上述结果是容量为400的一个样本的均值，并且1991-1992年教师工资的标准差为$4800。试求教师平均工资的99%的单侧置信下限，并解释其含义。

解：为大样本

单侧置信下限为

即有99%的可能1991-1992年教师的平均工资高于336美元。

5. 某银行原来平均贷款数额为60,000元，近来贷款利息发生变化。为了解这种变化对平均贷款数的影响，从变化后的贷款中随机抽取144个样本，求得，（单位：千元），

（1）求平均贷款数的95%的置信区间；

（2）不做任何计算，判断置信度为99%的置信区间的宽度比（1）中的大还是小？为什么？

 解：（1）设贷款数额为正态总体，，，，

平均贷款数的95%的置信区间为

（2）宽度比（1）大。因为99%覆盖的范围比95%覆盖的范围广。

6. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为：

6.05.75.86.57.06.35.66.15.0

设干燥时间总体服从正态分布。在下列条件下，求的置信度为0.95的置信区间：1）若由以往经验知（小时），2）若为未知。

解：1）正态总体，，，将数据输入计算器得

   的置信度为0.95的置信区间为

    2）正态总体，，将数据输入计算器得

   的置信度为0.95的置信区间为

7. 某啤酒公司制造的罐装啤酒容量服从标准差为0.2盎司的正态分布。

1. 若要抽取一个容量为25的样本，并且要求啤酒的平均容量的置信区间为（11.98, 12.12），求该置信区间的置信度。
2. 若公司经理希望啤酒平均容量的99%的置信区间的总宽度不超过0.1，应抽取容量为多大的样本？

   解：正态总体，，，

1）

  该置信区间的置信度为92%。

2）

8. 某工厂最近向它的客户发出新形式的广告，据说该广告的有效率为0.1。为求其90%的置信区间，应选多大容量的样本？设其置信区间的总宽度为0.04。若有效率为0.12，所需样本容量又如何？

解：0-1总体，， 则

当有效率为0.12时，

9．若想估计某个地区居民的平均家庭收入，已知该地区居民家庭收入的标准差为15000元，现要求估计的误差不超过1000元，置信度为95%，应抽取多少个家庭做样本？若已知该地区共有2000个家庭，则应抽取多少个家庭做样本？

   解：正态总体，