基于非线性混沌时序的系统重构、预测技术及其应用

基于非线性混沌时序的系统重构、预测技术及其应用^[1]

马军海^[2]

（天津大学管理学院, 300072）

盛昭瀚

（南京大学管理科学与工程研究院,  210096）

摘要 如何认识具有复杂结构的系统存在两个基本的困难,一是系统本身的复杂性，二是我们往往只能通过某种“观测器”采集到系统某一状态的混沌时间序列，这样，就需要一种技术，它可以在很大程度上通过系统整体行为的一维“投影”来“还原”系统的整体行为。本文将介绍作者近年来在实现这一技术路线中所开展的若干工作。

关键词 非线性 混沌时序 分形 相空间重构 参数辨识 预测技术

1 引言

从系统科学的角度看，直接建立一个系统的完备的解析形式的数学模型，无疑地可以认为是“完全彻底地”了解了这一系统，但是事实上，第一由于系统运行机理与系统结构本身的复杂性，第二由于即使已知一个解析模型，其解析解也还不易求得，因此常常需要我们解决如何在无法获得系统模型的情况下认识系统的本质特征，一个最常遇到的问题便是通过某种“观测器”采集到系统的某一状态的时间序列，显然，这一序列是系统整体行为的一维“投影”，而我们又只能通过它来“还原”系统的整体行为^[1~30]，特别是随着混沌现象的发现，人们逐渐认识到系统整体行为中某些本质特征往往不是随机原因而是非线性动力学的原因造成的，一般地，在排除了由高维或无穷维动力系统所产生的行为以及由随机过程产生的行为外，一个混沌时间序列就可视为一个确定性动力系统的结果。一个重要的反问题即如何由混沌时间序列来恢复原动力系统^{[1,7,8,10,11,14,16,20.21]}，具体地说，要解决以下几个问题：

 (1) 确定时间序列的混沌特性及其所在动力系统的维数^{[2~4,!3~15,19,22~30]};

 (2) 建立这个动力系统的坐标框架^{[4,9,10,11,13,]};

 (3) 在此框架下分离噪声、刻画并恢复原复杂非线性动力学系统并进行预测、等工作^[4,6,17,18]。

    本文将介绍作者近年来在实现这一技术路线中所开展的若干工作与成果。

2 时间序列混沌特征的判定

如何判定时序的混沌或随机特性一直是国内外学者研究的重点，从决定论的角度出发，已有了许多检测确定性混沌的方法。如Tsay^[22]的非线性检验方法；Engle^[23]的ARCH模型的检验方法；相空间图、递归图、关联维数、Lyapunov 指数、相关系数、频谱图、Poincare截面以及分谐波频闪观测器等、检验性的双谱方法、基于BDS统计量的非线性检验方法等。文献[19,24,25]给出了对现实的时序不同特性问题的判别的基本方法，即相位随机化方法。马军海、盛昭瀚^[32]利用相位随机化方法，研究了服从不同分布的随机化方法对判定实测数据特性归属的影响，并将其成功地用于经济时序的非线性特征判定，为对时序建立合适的预测模型提供了指南。

3 分形维数的相关特性分析研究

分维是描述具有复杂性的系统结构的一个重要特征量，分维的定义有很多种，而且根据不同的定义算得的其最终值也稍有差别。经过近几年的研究，常用的较多的分维主要有: Hausdorff维数, 计盒维数, 信息维数,关联维数, 广义维数。可以证得^[4,13]嵌入维数与分维数之间的关系式:

                               (1)

即计算时略去噪声影响,只要取最少的嵌入维数大于或等于分维数，从理论上都不会对产生影响。

可以证得^[4,13]的极大似然估计为:           (2)

由(6)式得的方差为:                    (3)

由于实际问题中N的取值不可能无穷大而要受到诸多的，取

则的极大似然估计为:  ,,  (4)

由(3)式知值 与所取的样本的个数成反比，实际问题中适当的取样本大一些可减少，以便使的估计值更准确。采用G-P算法计算动力系统实测数据吸引子的关联维数时，诸多因素可能影响估计精度。对误差的来源的详细讨论见文献[4,13]。

4 混沌时序动力系统的非线性重构技术

定量刻画复杂非线性动力系统复杂性的两个最常用的量就是分维数和李雅普诺夫指数，它们分别度量了非线性动力系统在其相空间的几何结构的规则性或复杂性程度。相空间重构法是根据有限的实测数据来重构吸引子以研究系统动力行为的方法，其基本思想是：系统中任一分量的演化都是由与之相互作用着的其它分量所决定的，因此这些相关分量的信息就隐藏在任一分量的发展过程中，为了重构一个等价的状态空间只需考察一个分量，并将它在某些固定的时间延迟点上的测量作为新维处理，即延迟值被看成是新的坐标，它们确定了某个状态空间中的一点。重复这一过程并测量相对于不同时间的各延迟量，就可以产生出许多这样的点，它可以将吸引子的许多性质保存下来，即用系统的一个观察量可以重构出原动力系统模型，可以初步确定系统的真实相空间的维数。

为了能够从“一维”时间序列中“还原”动力系统相空间的几何结构, Jone F.Gibson^[16] 等人采用时间延迟技术重构相空间.他们把一维时间序列嵌入到m维空间中：

       (5)

让来表示t时刻系统的动力学状态。其中τ为滞时,m为嵌入空间维数,从而建立了相空间到嵌入空间的映射。它建立了时间序列波动和动力系统空间特征之间的桥梁。

Takens 和Mane^[27]证明: 只要m>2D+1(动力系统重构的充分但不必要条件),其中D为吸引子的分维,是在吸引子附近一个光滑的一对一映射，从而嵌入空间中吸引子的几何特性与原动力学系统的吸引子的几何特性等价。 实际上, 只要m> D嵌入空间中点集的维数就等同于吸引子的维数。J.P.Eckman等人已证明m可在d≤m≤2d+1中取值。Takens^[27]定理是在无噪声的情况下考虑的，Sauer等把延迟嵌入定理推广到了具有噪声的情况。

对一组长为N的实测时间序列,其中, 是样本时间，则可构造的m维向量 , n = 1,2, ... , , 其中是延迟时间间隔。是延迟时间。在中以或范数定义到的距离，即

或       (6)

以下在不特别强调的情况下，记中的范数为，但通过计算可以发现范数在计算距离时实现较快。

4.1最佳延迟时间间隔 的选取

由Takens^[27]定理知，在没有噪声无限长的精确数据情况下可以任意选择，但实测时间序列是有限长的，且一般都有噪声污染，只能根据经验来选择，其基本思想是使与具有某种程度的但又不完全无关，以便它们能在重构的相空间中作为的坐标处理。如果太小，则与的值充分靠近，以至不能区分它们，从实际观点看不能提供两个的坐标，导致吸引子重构非常靠近相空间中的对角线。重构的相空间总是杂乱无规则的；如果太大，则与