汇总一
第一单元 分数乘法
一、分数乘法
（一）分数乘法的意义：
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。
都是求几个相同加数的和的简便运算。
2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。
（二）、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。
2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。
注意
（1）分数的化简：分子、分母同时除以它们的最大公因数。
（2）关于分数乘法的计算：可在乘的过程中约分，也可将积的分子分母约分，提倡在计算过程中约分，这样简便。
（3）当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
（三）、规律：（乘法中比较大小时）
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。
一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。
一个数（0除外）乘1，积等于这个数。
（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
（五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律: a×b=b×d
乘法结合律: a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律:a×(b+c)=ab+ac 或a×(b-c)=ab-ac
二、分数乘法的解决问题
（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）
1、找单位“1”： “占”、“是”、“比”的后面
2、求一个数的几倍是多少； 求一个数的几分之几是多少。用乘法
三、倒数
1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。
(互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。)
2、求倒数的方法：
（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。
（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
（4）、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。
3、1的倒数是1； 0没有倒数。
4、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。
第三单元 分数除法
一、分数除法
1、分数除法的意义：
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
3、规律（分数除法比较大小时）：
（1）当除数大于1，商小于被除数；
（2）当除数小于1（不等于0），商大于被除数；
（3）当除数等于1，商等于被除数。
4、分数混合运算顺序：
（1）同级运算要按从左往右顺序计算。
（2）先算乘、除后算加、减，有括号的，要先算括号里面的
（3）一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。
（4）能用运算律的要用运算律。
二、分数除法解决问题
（已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 ）
用方程解应用题步骤：
1、解。（写“解”字，打冒号。）
找。（找等量关系)
设。（设未知数，根据题目设未知数，问什么设什么。）
列。（根据等量关系列方程）
解。（解方程）
答。（写答数）
2、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数÷另一个数
3、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 两个数的相差量÷单位“1”的量
三、比和比的应用
（一）、比的意义
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。
4、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表
两个数相除的关系。
5、比和除法、分数的联系：
（二）、比的基本性质
1、（1）商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
（2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。
（3）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。
3、化简比的类型：
4．按比例分配：
把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
第四单元 圆
一、认识圆形
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有直径都相等。
7、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。
用字母表示为：d＝2r或r＝d/2
8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
2、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把 它 叫做圆周率。用字母π（pai） 表示。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。
3、圆的周长公式：C= πd → d = C ÷π或C=2π r → r = C ÷ 2π
已知直径求周长：C=πd 已知半径求周长：C=2πr
已知周长求直径：d=C÷π 已知周长求半径：r=C÷π÷2
三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、圆面积公式的推导：
用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；
已知半径求面积：S=πr? 已知直径求面积：S= π(d÷2)?
3、环形的面积：一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。
（R＝r＋环的宽度．）
S环 = πR2－πｒ2 或 S环 = π（R2－ｒ2）。
4、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
5、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。
6、确定起跑线：
每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度
7、常用各π值结果：
2π= 6.28 3π= 9.42 4π= 12.56
5π= 15.7 6π= 18.84 7π= 21.98
8π= 25.12 9π= 28.26 10π= 31.4
16π= 50.24 25π = 78.5 36π= 113.04
常用平方数结果
第五单元：百分数
一、概念：如18%、50%、.2%-----这样的数，叫做百分数。百分数表示一个数是另一个数的百分之几。百分数也叫做百分率后百分比。
1、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
2、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
3、百分数和分数的区别：百分数只能表示两个数的比的关系，而分数不仅可以表示数的关系，还可以表示成一个具体的量，可以带上单位名称。
4、百分数和小数及分数的互化
（1）小数化成百分数：把小数点向右移动两位再在数的后面加上百分号。
（2）百分数化成小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
（3）百分数化成分数：化成分母是100的分数，能约分的要约分。如果百分数分子是小数，要先根据分数的基本性质，把百分数改写成分数是整数的分数，再约分。
（4）分数化成百分数有两种方法：一种是根据分数的基本性质，把分数的分母化成为100的分数，然后改写成百分数。另一种是先把分数化成小数，在利用小数化百分数的方法。（利用第二种时，除不尽，通常保留三位小数）
二：用百分数解决问题：
1、在生产工作中常用的百分率有：
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
2、解答百分数应用题时，要注意弄清楚谁和谁比，比的标准不同，单位“1”也不同，解题时要注意找准把谁看单位“1”。
3、在实际生活中，人们常用“增加百分之几”、“减少百分之几”、“节约百分之几”----来表示增加、减少的幅度。（占谁的把谁看成单位“1”）
4、税收主要分为消费税、、营业税和个人所得税等几类。缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入（销售额、营业额----）的比率叫做税率。
5、在银行存款的方式有多种，如活期、整存整取、零存整取等。存入银行的钱叫做本金；取款时银行多付的钱叫做利息，利息与本金的比值叫做利率。
6、国家规定，存款所得的利息要按5%的税率纳税，这个税叫‘利息税”。我们从银行取款时得到的利息都是税后利息。国债的利息不纳税。
利息=本金×利率×时间
7、成数、打折、利润、利息、税收应用题的解题公式：
（1）含义：五成的含义是：收成是50%，二成五的含义是：收成是25%
八折的含义是：现价是原价的80%，或按原价的80%出售，或降了20%；
八五折的含义是：现价是原价的85%，或按原价的85%出售，或降了15%。
（2）公式：
现价 = 原价 × 折数（通常写成百分数形式）
利润 = 售价 - 成本
应纳税额 = 需要交税的钱 × 税率
利息 = 本金 × 利率 × 时间
第六章：统计
1、常用统计图：条形统计图、折线统计图、扇形统计图。
2、用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数，这样的统计图我们称为扇形统计图。特点：通过扇形统计图我们可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系。
3、条形统计图的的特点：条形统计图可以清楚地看出每个数量的多少。 折线统计图的特点：折线统计图不仅可以看出数量的多少而且可以看出数量的增减变化情况。
第七单元：数学广角
1、用表格方式解决有局限性，数目必须小，
2、用假设法解决
3、用代数方法解（用方程解）
（1）审题，弄清题意
（2）找等量关系
（3）设未知数，根据题目设未知数，问什么设什么。）
（4）根据等量关系列方
（5）解方程）
（6）（答）。
汇总二
（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。
（3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）。
（三）积与因数的关系：
一个数（0除外）乘小于1的数（真分数），积小于它本身。
一个数（0除外）乘大于1的数（假分数），积大于或等于它本身。
一个数（0除外）乘大于1的数（带分数），积大于它本身。
（四）分数乘法混合运算
1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；
乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×ca÷b÷c=a÷(b×c)
（五）倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数
1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。（必须说清谁是谁的倒数）
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”、
3、求倒数的方法：
4、1的倒数是它本身，因为1×1=1
5、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。
假分数的倒数小于或等于1。带分数的倒数小于1。
（六）分数乘法应用题——用分数乘法解决问题
1、求一个数的几分之几是多少？（用乘法）
已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。
2、巧找单位“1”的量：在含有分数（分率）的语句中，
?“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”?分率前面的量就是单位“1”
3、求甲比乙多（少）几分之几？（相差的量÷单位“1”的量）
甲比乙多百分之几：（甲-乙）÷乙 乙比甲少百分之几：（乙-甲）÷甲
第二单元位置与方向（二）
1、什么是数对？数对：（列，行）即“先列后行”。
2、确定物体位置的方法：
（1）、先找观测点；（2）、再定方向（看方向夹角的度数）；
（3）、最后确定距离。
描绘路线图的关键是选好观测中心，建立方向标，确定方向和路程。
第三单元分数的除法
一、分数除法的意义：分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
二、分数除法计算法则：除以一个数（0除外），等于乘上这个数的倒数。
1、被除数÷除数=被除数×除数的倒数。
2、除法转化成乘法时，被除数一定不能变，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数。
3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。
4、被除数与商的变化规律：
①除以大于1的数（假分数），商小于被除数：
②除以小于1的数（真分数），商大于被除数：
三、分数除法混合运算
1、运算顺序：
①同级运算，按照从左往右的顺序进行计算；先把所有除法转化成乘法再计算；
②混合运算：先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算括号外面。
第四单元比
比：两个数相除也叫两个数的比
1、比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。
2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。例：12∶20= ＝12÷20= =0.6 12∶20读作：12比20
区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。
比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。
3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
4、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。
（1）整数比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
（2）两个分数的比：用前项除以后项，商就是最简整数比
（3）两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。
5、求比值：用前项除以后项，结果是一个数（或分数），相当于商，不是比。
6、比和除法、分数的区别：
商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数除法和比的应用
1、已知单位“1”的量用乘法。2、未知单位“1”的量用除法。
3、分数应用题基本数量关系（把数量比看成份数之比）
4、按比例分配：把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
5、画线段图：
（1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。
（2）分析数量关系。（3）找等量关系。（4）列方程。
第五单元圆
一、圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。
2、圆的特征：、
3、圆心O：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示。
圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。
半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。
直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或 r=d÷2
4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。
有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。
有二条对称轴的图形：长方形有三条对称轴的图形：等边三角形
有四条对称轴的图形：正方形有无条对称轴的图形：圆，圆环
6、画圆
（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。
二、圆的周长：
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。
即：圆周率π = 周长÷直径≈3.14
所以,圆的周长(c)公式：c=πd, c=2πrd = C ÷π）r = C ÷ π÷2
圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。
3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
4、半圆周长=圆周长一半+直径= πr+d=5.14r
三、圆的面积
1、圆面积公式的推导、5、环形面积 =大圆–小圆=S环 = πR?－πｒ?
两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。
如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。
2、在面积相等时，圆的周长最短，而长方形的周长最长；(越扁周长越长）
3、在周长相等时，圆的面积最大，而长方形的面积最小（越圆面积越大）
3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍,直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。
4、扇形面积=πr2×n÷360（n表示扇形圆心角的度数）
第六单元百分数（一）
一、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫百分比或百分率，百分数不能带单位。
注意：百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的，表示两个数的比。
1、百分数和分数的区别和联系：
（1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。
（2）区别：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示具体数量，所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。百分数的分子可以是小数，分数的分子只可以是整数。
2、小数、分数、百分数之间的互化
（1）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“%”。
（2）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“%”。
（3）百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，然后再化简成最简分数。
（4）分数化百分数：分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数。
（5）小数化分数：把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。
（6）分数化小数：分子除以分母。
二、百分数应用题
2、求一个数比另一个数多（或少）百分之几，实际生活中，
求甲比乙多百分之几：（甲-乙）÷乙
求乙比甲少百分之几：（甲-乙）÷甲
3、求一个数的百分之几是多少。一个数（单位“1”）×百分率
4、已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
部分量÷百分率=一个数（单位“1”）
5、百分数应用题型分类
（1）求甲是乙的百分之几——（甲÷乙）×100%=百分之几
（2）求甲比乙多百分之几——（甲-乙）÷乙×100%
（3）求乙比甲少百分之几——（甲-乙）÷甲×100%
第七单元扇形统计图的意义
1、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。部分量÷总量=百分率总量×百分率=部分量 部分量÷百分率=总量 2、常用统计图的优点：
（1）条形统计图直观显示每个数量的多少。
（2）折线统计图能直观显示数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多少。
（3）扇形统计图直观显示部分和总量的关系。
第八单元数学广角--数与形
2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＝（110）
规律：从2开始的n个连续偶数的和等于n×(n＋1)。
从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。
汇总三
第一单元位置
1、用数对表示位置，应该先写列数，再写行数，前后顺序不能颠倒，要用小括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间写一个逗号，把两个数隔开。例如：数对（5,3）表示第5列第3行，读作：五三。
2、竖排叫列（从左往右看），横排叫行（实际生活中是从前往后看）（在图上是从下往上看） 。
3、图形左右平移，列数变化，行数不变；图形上下平移，行数变化，列数不变。
第二单元 分数乘法
一、分数乘法
（一）分数乘法的意义：
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。就是求几个相同加数的和的简便运算。
（二）、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母能约分的,可以先约分,再计算.）
2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
4、分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0 除外）， 分数的大小不变。
（三） 规律：（乘法中比较大小时）
一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。
一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外），积小于这个数。
一个数（0 除外）乘 1，积等于这个数。
（四） 分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。
（五） 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律：a × b = b × a
乘法结合律：( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律： （ a ±b ）×c = a c ± b c
二、分数乘法的解决问题（已知单位“1”的量）
1、画线段图：
（1）两个量的关系：画两条线段图；
（2）部分和整体的关系：画一条线段图。
2、找单位“1”：
在分率句中分率的前面； 或者“占”“是”“比”的后面。
3、求一个数的几倍： 用一个数×几倍；
求一个数的几分之几是多少：用一个数×几分之几（分率）
4、写数量关系式技巧：
（1） “的” 相当于ד占”“是”“比”相当于“ = ”
（2）分率前是“的”：用单位“1”的量×分率=分率对应量
（3）分率前是“多或少”的意思： 用单位“1”的量×（1 ± 分率）=分率对应量
三、倒数
1、倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数。
强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。 （要说清谁是谁的倒数） 。
2、求倒数的方法：
（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。
（2）、求整数的倒数：把整数看作分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。
（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
（4）、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。
3、1 的倒数是 1；0 没有倒数。。（因为 1×1=1；0 乘任何数都得 0）
4、对于任意数 a (a ≠ 0) ，它的倒数a(1)；非零整数 a 的倒数为a(1)；分数a(b)的倒数是b(a)；
5、真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1。
第三单元 分数除法
一、 分数除法
1、分数除法的意义：
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
乘法： 因数×因数 = 积 除法： 积÷一个因数=另一个因数
2、分数除法的计算法则：
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。
3、规律（分数除法比较大小时） ：
（1）、当除数大于 1，商小于被除数；
（2）、当除数小于 1（不等于 0） ，商大于被除数；
（3）、当除数等于 1，商等于被除数。
4、运算顺序：
（1）在没有括号的算式里，要先算乘、除法，再算加、减法。
（2）连除：按照从左往右的顺序进行计算；或者先把所有除法转化成乘法再计算。
（3）一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
分数除法解决问题 ：（也就是已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。）
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的” ： 单位“1”的量×分率=分率对应量） （2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 ± 分率）=分率对应量
2、解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。
（2）算术（用除法）分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几：方法是： 一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：方法是： 两个数的相差量÷单位“1”的量
或者：①求多几分之几：大数÷小数 – 1
②求少几分之几： 1 - 小数÷大数
三、比和比的应用
（一）、比的意义
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 例如 15 ：10 = 15÷10=2(3)（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）
3、比可以表示两个同类量的关系， 即倍数关系。 也可以表示两个不同类量的比， 得到一个新量。 例： 路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 、5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系：
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。 体育比赛中出现两队的分是 2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
（二） 比的基本性质
1、 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数值不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。
2、最简单的整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简单的整数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：
（1）依据比的基本性质
①两个整数的比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。
③两个小数的比：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的 位数，转化成整数比再化简。
（2）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。
5．求比值
求比值的方法是用比的前项除以后项，结果是一个数（或分数），相当于商，不是比。
6、按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
按比例分配问题的解题步骤一般是：①先根据比求出总份数;②再求出各部分量占总量的几分之几；③求出各部分的数量。
7、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是 4：5，时间比则为 5：4）
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。 （如：工作总量相同，工作时间比是 3：2，工作效率比则是 2：3）
第四单元圆
一、 认识圆
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆的特征：外形美观，易滚动。
3、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
4、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
5、画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。
6、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。直径是一个圆内最长的线段。
7、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
8、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。
9．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的2(1)。
用字母表示为：d＝2r 或 r ＝2(d)
10、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。
11、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
12、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有 2 条对称轴的图形是：长方形
只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形
只有 4 条对称轴的图形是：正方形
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。
2、圆周率实验： 在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。 发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。
3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。 用字母 π（pai） 表示。
（1）、一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。 圆周率 π 是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 π ≈ 3.14。
（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是 3.14 倍。
（3）、世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式： C= πd 或 C=2πr由圆的周长公式可以得到：
计算方法：2π r ÷ 2 即 πr
（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法 πr＋2r即5.14r
三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母 S 表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导：
（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图形越接近长方形。
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。长方形的长＝圆的周长的一半长方形的宽＝圆的半径因为： 长方形面积 = 长 × 宽，所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
4、环形的面积＝大圆的面积 － 小圆的面积
一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r。（R＝r＋环的宽度．）环形的面积用字母表示为： S 环= πR2－πｒ2或 者S 环= π（R2－ｒ2）
6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。 而面积扩大或缩小的倍数是这个倍数的平方倍。
例如： 在同一个圆里，半径扩大 3 倍，那么直径和周长就都扩大 3 倍，而面积扩大9倍。
7、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如： 两个圆的半径比是 2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是 2∶3，而面积比是 4∶9
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π。
9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，当面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
10、确定起跑线：
（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。
（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。 （因此起跑线不同）
（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度
（4）、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ 厘米时，它的周长就增加 πａ厘米。
11、常用各π 值结果：
π = 3.14 2π = 6.28 3π = 9.42π = 12.56 5π = 15.7
6π = 18.84 7π = 21.98 8π = 25.12 9π = 28.26 10π = 31.4
12、常用平方数结果112 = 121122= 144 132= 16914 2= 196 152= 225
162＝256 172＝2 182＝324 192＝361
第五单元百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义：百分数表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
2、百分数和分数的主要联系与区别：
（1） 联系：都可以表示两个量的倍比关系。
（2） 区别：①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位名称；分数既可以表示两个数的关系，又可以表示具体的数，表示具体数时可以带单位名称。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数； 分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
（一）百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
2. 百分数化成小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位，位数不够时，可以用0补足。
（二）百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100 的分数，然后能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数： ①用分数的基本性质，把分数化成分母是 100 的分数，然后再写成百分数形式。 ②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化
三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。常见的百分率的计算方法：
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到 100%， 完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。（一般出粉率在 70、80%，出油率在 30、40%。）
2、已知单位“1”的量，求单位“1”的百分之几是多少的问题（用乘法）：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的” 用单位“1”的量×分率=分率对应量）
（2）分率前是“多或少”的意思：用单位“1”的量×（1 ± 分率）=分率对应量
3、已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。（即未知单位“1”的量，用除法）。
解法（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。
（2）算术（用除法） 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多（或少）百分之几的问题： 两个数的相差量÷单位“1”的量（结果要写成百分数）
或者： ①求多百分之几：大数÷小数 – 1
②求少百分之几：1 –小数÷大数
（二）、折扣
1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通称“打折” 。 几折就表示十分之几，也就是百分之几十。
2、一成是十分之一，也就是 10%。三成五就是十分之三点五，也就是 35%
（三） 纳税
1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、 教育、文化和国防安全等事业。
3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。
4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
5、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 × 税率
（四）利息
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。
2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援 国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。
3、本金：存入银行的钱叫做本金。
4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
5、利率：利息与本金的比值叫做利率。
6、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间
7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则： 税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×（1-利息税率）
第六单元统计
一、扇形统计图的意义：
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角 越大，扇形越大。 （因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。 ）
第七单元数学广角
一、“鸡兔同笼”问题的特点：
题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。
二、“鸡兔同笼”问题的解题方法
1、猜测法
2、假设法
（1） 假如都是兔
（2） 假如都是鸡
3、列方程法
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