空间圆形物体数据拟合新方法

第２８卷第２期　２　０　０　８年４月　大地测量与地球动力学　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＧＥ０ＤＥＳＹ　ＡＮＤ　ＣＥ０ＤＹＮＡＭＩＣＳ　Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．２　Ａｐｒ．，２００８　文章编号：１６７１－５９４２（２００８）０２－００９２－０３　空间圆形物体数据拟合新方法　潘国荣　，　陈晓龙　２０００９２　、　／１）同济大学测量与国土信息工程系，上海ｔ　２）现代工程测量国家测绘局重点实验室，上海２０００９２／　摘　要　提出一种更简洁、快速的空间圆形物体的数据拟合新方法，即通过对数据进行变换处理和最小二乘平差　来拟合空间圆形，避免ｒ以往方法的不足；并结合某地铁遂道盾构工程的实例，证实了此方法的有效性。　关键词　平整度；圆度；最小＿乘；空间圆；拟合　中图分类号：Ｆ２２６　．１　文献标识码：Ａ　Ａ　ＮＥＷ　ＭＥＴＨｏＤ　ＦｏＲ　３Ｄ　ＣＩＲＣＵＬＡＲ　ｏＢＪＥＣＴ　ＦＩＴＴＩＮＧ　Ｐａｎ　Ｇｕｏｒｏｎｇ　’　ａｎｄ　Ｃｈｅｎ　Ｘｉａｏｌｏｎｇ”　／１）Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ　ａｎｄ　Ｇｅｏ—Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｃｓ，Ｔｏｎｇｊｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０００９２＼　＼２）Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒ）（）厂Ｍｏｄｅｒｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ　ｏｆ　ＳＢＳＭ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０００９２　／　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｒｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　３　Ｄ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｏｂｊｅｃｔ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ａｒｅ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ａｎｄ　ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｍｏｒｅ　ｃｏｎｃｉｓｅ　ａｎｄ　ｆａｓｔｅｒ　ｉｓ　ｐｕｔ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｔｏ　ｆｉｔ　３Ｄ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｏｂｊｅｃｔｓ　ｂｙ　ｄａｔａ　ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅ　ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ．Ｔｈｅ　ｄｅｆｅｃｔｓ　ｏｆ　ｐｒｅｖｉｏｕｓ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｒｅ　ａｖｏｉｄｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｉｓ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ　ｖａｌｉｄｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｖｅｒｉｆｉｅｄ　ｂｙ　ａＤ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｉｎ　ａ　ｓｕｂ—　ｗａｙ　ｔｕｎｎｅｌ　ｓｈｉｅｌｄ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｌａｔｎｅｓｓ；ｃｉｒｃｕｌａｒｉｔｙ；ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅｓ　ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ；３　Ｄ　ｃｉｒｃｌｅ；ｆｉｔｔｉｎｇ　１　引言　在测绘工程中，经常会遇到空问圆形物体的测　量问题，如一些建筑天顶、大型仪器和地铁遂道的工　程测量中，经常需要对空间圆形物体进行测量，得出　存在误差，在工程实践中很多情况下很难正好放在　其横断面上。文献［２］在平面旋转过程中，按旋转　方向的不同，要特别留意参数的正负号选取问题，其　过程略显复杂。　其圆心及半径，确定其是否满足施工要求。过去往　往采用全站仪在某断面上设站，把横截面看成二维　本文提出一种新方法——通过对数据进行变换　处理和最小二乘平差来拟合空间圆形，避免了上述　方法的不足，经工程应用效果不错。　空间上的圆，对其进行拟合　；或者首先对测得的　数据进行平面拟合，得出其平整度，然后把所拟合的　圆环所在的平面旋转到某个平面上进行拟合，得出　圆度，最后反向旋转，求得圆的参数　。文献［１］中　把三维空间的圆形看成是二维的平面，必然与实际　收稿Ｅｔ期：２００７—１１一Ｉ９　２空问圆改进拟合方法的原理与模型　由于空间圆形物体可以由一个空间球壳与一个　空间平面相交来描述。因此分两步来拟合，更为简　基金项目：智能信息化盾构施工辅助系统技术研究项目　作者简介：潘国荣，男、１９６０年生，］　学博　：，教授，博上生导师，主要从事测量数据处理及精密工程测量研究．Ｅ—ｍａｉｌ：ｐｇｒ２＠１６３ｃｏｒｎ　．维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　潘国荣等：空间圆形物体数据拟合新方法　９３　洁、合理。　２．１空间圆球直接拟合　空问圆球方程式为：　（　一０）　＋（　一６）　＋（ｚ　一ｃ）　＝Ｒ　（１）　可分解为：　＋　＋　一２ａｘ　一２ｂｙ　一２ｃｚ　＋口　＋ｂ　＋ｃ　一Ｒ　＝０　（２）　设　２ａ＝Ａ，２ｂ：Ｂ，２ｃ＝Ｃ　（３）　０　＋ｂ　＋Ｃ２一Ｒ　＝Ｔ　（４）　；＋　＋　；：　＋Ｙ　＋ｚ　：Ｌ　Ｙ　Ｌ　（５（　）５）　且ｐ为Ａ　＋Ｂｙ　＋　一　一Ｌ＝０　代入间接平差误差函数式中，　：雪　一ｌ　此处雪仅表示与空间圆球方程中的曰不同，其中，　１　Ｙｌ　ｌ　一１　Ｘ２　Ｙ２　２　—１　Ｂ　Ｖ：　，Ｂ＝　．Ｘ＝　：　：　●　●　●　●　：　：　Ｃ　Ｙ　ｚ　一１　按最小二乘平差原理，在ＣＰＶ＝ｍｉｎ约束下解　得结果为：　：（西　ＰＢ　西　ＰＩ　再与式（３）、（４）联立，解出空问圆球的参数：　０：Ａ／２．ｂ＝Ｂ／２，ｃ＝Ｃ／２，Ｒ＝　而　２．２空间平面拟合　空间圆环存在于空间惟一的平面内。空间平面　方程为：　Ａｘｔ＋Ｂｙｔ＋Ｃｚ　Ｌ—Ｄ：０　因为平面方程的４个参数存在着线性关系，在　本文所述工程中，平面并不经过原点。因此这里可　以认为Ｄ＝１，然后代入上式进行拟合：　１　Ｙ１　Ｘ２　Ｙ２　＝０　：　：　●　●　ｎ　Ｙｎ　再由最小二乘平差方法求得平面的其它３个参　数。与第一步拟合所得到的空间球形方程联立，即　可求得空间圆环方程式和圆环的参数：半径ｒｏ、圆环　中心坐标０　、０　、０：。　然后由测量坐标、圆环中心坐标与拟合半径可　得出其圆度：　一（　ｊ　＋（　一０ｚ）　一ｒ２。　由此可得到拟合中误差：　６：　丽　３工程实例　在某地铁盾构横断面测量中，首先在所测横断　面附近安置免棱镜全站仪，然后在所测横断面上均　匀测量１２个点位坐标（表１）。　表１　１２个点位的坐标　Ｔａｂ．１　３Ｄ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ　ｏｆ　ｓａｍｐｌｅ　ｐｏｉｎｔｓ　测得的点位空间分布如图１。　２６　２５　２４　ｇ　２３　、　２２　２１　２０　ｌ９　图１　各点的空间位置分布　Ｆｉｇ．１　Ｓｐａｔｉａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｏｉｎｔｓ　由表１数据拟合出圆环所在平面：　０．１５７　０ｘ＋０．０００　８ｙ一０．０００　Ｉｚ一１＝０　（６）　表２各观测点的平整度　Ｔａｂ．２　Ｆｌａｔｎｅｓｓ　ａｔ　ｅａｃｈ　ｐｏｉｎｔ　权阵为单位阵Ｅ，故由最小二乘平差拟合可以　得出：Ａ：１０．７２４　６，Ｂ＝３９．５５１　２，Ｃ＝４６．８３４　３，Ｔ＝　９５７．５５４　０：以及空间圆球参数：０＝５．３６２　３，ｂ：　１９．７７７５　６．ｃ＝２３．４１７　１，Ｒ＝３．２６１　６。　维普资讯 http://www.cqvip.com

大地测量与地球动力学　２８卷　于是，圆球方程式为：　（　一５．３６２３）　＋（Ｙ一１９．７７５　６）　＋（ｚ一２３．４１７　１）　＝１０．６３８　０　（７）　将式（６）、（７）联立即是空间圆环方程式。　解算出圆环的半径ｒ＝３．１２３　９；圆心坐标０　＝　６．２９９　９，０　＝１９．７８０　１，０，＝２３．４１６　０。　将以上数据代入圆环方程式中，求出各点的圆　度如表３。　表３各点的圆度　Ｔａｂ．３　Ｃｉｒｃｕｌａｒｉｔｙ　ａｔ　ｅａｃｈ　ｐｏｉｎｔ　遂道设计圆心坐标为（６．３００　０，１９．８００　０，　２３．４００　０）ｍ，设计半径为３．１２０　０　ｍ。将拟合结果　与设计坐标相比，实际偏离圆心分别为０．１　１９．９　ｍｍ，１６　ｍｍ，距离为２５　ｍｍ。　拟合后的空间圆形与原始测点的对比如图２所　示。　２７　２６　２５　吕２４　＼　ｔ，ｑ　２３　２２　２１　２０　２３　２２　２１　２０　１９　１　８　１７　１６　ｙ／ｍ　图２拟合后的空间圆形及原始测点　Ｆｉｇ．２　Ｆｉｔｔｅｄ　３　Ｄ　ｃｉｒｃｌｅ　ａｎｄ　ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ　ｐｏｉｎｔｓ　４结论　从工程实际出发，采集数据源为空间圆形物体　上点位的三维坐标，直接在三维空间上进行拟合，以　避免不必要的人为误差。　数据采集时，不需要将全站仪正好放到空间圆　形截面上，只需在附近设站即可；当然，应尽量在空　间圆形上均匀布点，以避免病态矩阵的产生。由于　此方法比较简便，即使拟合点再多，计算量也不会增　加太多。　在地铁遂道盾构实际工程中，运用此方法，得到　了令人满意的结果。　参考文献　１　高俊强，陶建岳．利用免棱镜全站仪进行地铁遂道断面进　行测量与计算［Ｊ］．北京：测绘通报，２００５，１０：４１—４３．　１　Ｇａｏ　Ｊｕｎｑｉａｎｇ　ａｎｄ　Ｔａｏ　Ｊｉａｎｙｕｅ．Ｐｒｏｆｉｌｅ　ｓｕｒｖｅｙ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｕｔａ—　ｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｕｂｗａｙ　ｔｕｎｎｅｌ　ｕｓｉｎｇ　ｔｏｔａｌ—ｓｔａｔｉｏｎ　ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｐｒｉｓｍ［Ｊ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｂｕｌｌｅｔｉｎ　ｏｆ　Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ　ａｎｄ　Ｍａｐ—　ｐｉｎｇ，２００５，１０：４１—４３．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　２潘国荣，谷川，施贵刚．空间圆形物体检测方法与数据处　理［Ｊ］．大地测量与地球动力学２００７，２７（３）：２８—３０．　２　Ｐａｎ　Ｇｕｏｒｏｎｇ，Ｇｕ　Ｃｈｕａｎ　ａｎｄ　Ｓｈｉ　Ｇｕｉｇａｎｇ．Ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｎｄ　ｄａｔａ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｆｏｒ　３　Ｄ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｏｂｊｅｃｔ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　Ｇｅｏｄｅｓｙ　ａｎｄ　Ｇｅｏｄｙｎａｍｉｃｓ，２００７，２７（３）：２８—３０．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　３王解先，赵向阳．圆形轨道变形测量［Ｊ］．工程勘察，２００３，　４：６０—６４．　３　Ｗａｎｇ　Ｊｉｅｘｉａｎ　ａｎｄ　Ｚｈａｏ　Ｘｉａｎｇｙａｎｇ．Ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ　ｏｆ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｏｒｂｉｔ［Ｊ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｇｅｏｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ．２００３，４：６０—６４．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　４程效军，王峰．测得球面多点坐标计算球面参数的方法　［Ｊ］．铁道勘察，２００６，６：１—２．　４　Ｃｈｅｎ　Ｘｉａｏｊｕｎ　ａｎｄ　Ｗａｎｇ　Ｆｅｎｇ．Ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　ｓｐｈｅｒｅ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｂｙ　ｍｅａｓｕｒｉｎｇ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｐｏｉｎｔ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ　ｏｎ　ａ　ｓｐｈｅｒｅ［Ｊ］．Ｒａｉｌｗａｙ　Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ，２００６，６：　１—２．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　５王敬庚．空间解析几何［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，　２００４．　５　Ｗａｎｇ　Ｊｉｎｇｇｅｎｇ．Ａｎａｌｙｔｉｃ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，２００４．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　６陈龙飞，金其坤．工程测量［Ｍ］．上海：同济大学出版社，　】９９０．　６　Ｃｈｅｎ　Ｌｏｎｇｆｅｉ　ａｎｄ　Ｊｉｎ　Ｑｉｋｕｎ．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ［Ｍ］　Ｓｈａｎｇｈａｉ：Ｔｏｎｇｊｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，１９９０．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）