专题函数的周期性

一 知识点精讲

1．周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得

f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（kZ,k0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．周期函数的定义域一定是无限集 2性质

①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期； ②若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)(0)是周期函数，且周期为

T||。

3．几种特殊的具有周期性的抽象函数：

函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a0为常数） （1）fxfxa，则yfx的周期Ta． （2）fxafx，则fx的周期T2a． （3）fxa1，则fx的周期T2a． fx

（4）fxafxa，则fx的周期T2a． （5）f(xa)1f(x)，则fx的周期T2a．

1f(x)1f(x)，则fx的周期T4a数．

1f(x)（6）f(xa)（7）f(xa)1f(x)，则fx的周期T4a．

1f(x)（8）函数yf(x)满足f(ax)f(ax)（a0），若f(x)为奇函数，则其周期为

T4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T2a．

（9）函数yf(x)xR的图象关于直线xa和xbab都对称，则函数f(x)是

以2ba为周期的周期函数．

（10）函数yf(x)xR的图象关于两点Aa,y0、Bb,y0ab都对称，则函数

f(x)是2ba为周期的周期函数．

（11）函数yf(x)xR的图象关于Aa,y0和直线xbab都对称，则函数

f(x)是以4ba为周期的周期函数．

(12)f(xa)f(x)f(x-a)，则f(x)的周期T6a.

二 典例解析

1．设f(x)是(－∞, +∞)上的奇函数，f(x+2)= －f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f=( )

A.0.5 B. －0.5 2．若y=f(2x)的图像关于直线x D. －

ab和x(ba)对称，则f(x)的一个周期为（ ） 22abbaA． B．2(ba) C． D．4(ba)

223．已知f(x)在R上是奇函数满足f(x3)f(x),f(1)2，则f(5) 4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(2008)= 例5．已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取

得最小值5。

①证明：f(1)f(4)0； ②求yf(x),x[1,4]的解析式；③求yf(x)在[4,9]上的解析式。

9、函数yf(x)定义域为R，且恒满足f(x2)f(2x)和f(6x)f(6x)，当

2x6时，f(x)21x，求f(x)解析式。 2

10、已知偶函数yf(x)定义域为R，且恒满足f(x2)f(2x)，若方程f(x)0在

0,4上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间8,10中的根。

附参：

T1：1 T2：(1,0) T3：x1 T4：y轴即x0 T5：①y轴②x1 T6：①x

11②x T7：C T8：②④ 421(x8k)　　　　　(8k2x8k2,kZ)2T9：f(x)

1(x8k)2　　　(8k2x8k6,kZ)2T10：方程的根为6、4、2、0、2、4、6、8、10共9个根。

2.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)0，则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 （ ）

A．5 B．4 C．3 D．2 4.f(x)是偶函数，且f(0)993,又g(x)f(x1)为奇函数，则f(1992)= 6.数列{an}中a11,a25,an2an1an,则a2006

7 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x1)x1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

8 f(x)的定义域是R，且f(x2)[1f(x)]1f(x),若f(0)2008,求

f(2008) 的值。

9．已知函数f(x)满足f(x1)

（2009山东理）10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= （2009）的值为( )

B. 0 C.1 D. 2

【解析】:由已知得f(1)log221,f(0)0,f(1)f(0)f(1)1,

1f(x)，若f(0)2004，试求f(2005)。

1f(x)log2(1x),x0，则f

f(x1)f(x2),x0f(2)f(1)f(0)1,f(3)f(2)f(1)1(1)0,

f(4)f(3)f(2)0(1)1,f(5)f(4)f(3)1,f(6)f(5)f(4)0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.

（2009山东理）16.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则

x1x2x3x4_________.

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x),所以f(x4)f(x),所以, 由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x2对称且f(0)0,由f(x4)f(x)知

f(x8)f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,

所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1x2x3x4由对称性知x1x212x3x44所以x1x2x3x41248 答案:-8

（2009全国一）（11）函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则( D )

(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)f(x2) (D) f(x3)是奇函数 解:

f(x1)与f(x1)都是奇函数，f(x1)f(x1),f(x1)f(x1)，

函数f(x)关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数f(x)是周期T2[1(1)]4的周期

函数.f(x14)f(x14)，f(x3)f(x3)，即f(x3)是奇函数。故选D

专题 函数对称性

一 知识点精讲：

I 函数yf(x)图象本身的对称性（自身对称）

若f(xa)f(xb)，则f(x)具有周期性；若f(ax)f(bx)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、f(ax)f(bx) yf(x)图象关于直线x(ax)(bx)ab对称 22推论1：f(ax)f(ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 推论2、f(x)f(2ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 推论3、f(x)f(2ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 2、f(ax)f(bx)2c yf(x)的图象关于点(ab,c)对称 2推论1、f(ax)f(ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称 推论2、f(x)f(2ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称 推论3、f(x)f(2ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称

II 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、yf(x)与yf(x)图象关于Y轴对称 2、yf(x)与yf(x)图象关于原点对称函数 3、函数yf(x)与yf(x)图象关于X轴对称 4、函数yf(x)与其反函数yf1(x)图象关于直线yx对称

5.函数yf(ax)与yf(bx)图象关于直线xba对称 2推论1:函数yf(ax)与yf(ax)图象关于直线x0对称

推论2:函数yf(x)与yf(2ax) 图象关于直线xa对称 推论3:函数yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称 二 典例解析：

1、定义在实数集上的奇函数f(x)恒满足f(1x)f(1x)，且x(1,0)时,

f(x)2x1,则f(log220)________。 5解析：yf(x)关于直线x1对称，f(x)f(2x)，又是f(x)奇函数，

f(x)f(x)，故有

f(2x)f(x)5，

log21T4,f(log220)f(log2204)f(log2)f(log2)241

4552、已知函数yf(x)满足f(x)f(2x)0，则yf(x)图象关于__________对称。 解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知yf(x)图象关于(1,0)对称 3、函数yf(x1)与函数yf(1x)的图象关于关于__________对称。 解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于x1对称

4、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x)的图象关于__________对称。

解析：这是一个函数的对称性，yf(x)的图象关于y轴即x0对称

5、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x1)的图象关于__________对称。

解析：yf(x)关于直线x1对称，yf(x1)是由yf(x)向左平移一个单位得到的， 故yf(x1)的图象关y轴对称

6、设yf(x)的定义域为R，且对任意xR，有f(12x)f(2x)，则yf(x)关于__________对称，yf(2x)图象关于__________对称，。 解析：令t2x， 则有 f(1t)f(t) yf(t) 关于直线t1 即yf(x)关于 2x

111

对称，yf(2x)是由纵坐标不变，横坐标变为原来的，yf(2x)关于x 224

对称。

7、已知函数yf(x)对一切实数x满足f(2x)f(4x)，且方程f(x)0有5个实

根，则这5个实根之和为（ ）

A、5 B、10 C、15 D、18

解析：yf(x)的图象关于直线x3对称，故五个实根，有两对关于直线x3对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为C

8、设函数yf(x)的定义域为R，则下列命题中，①若yf(x)是偶函数，则yf(x2)图象关于y轴对称；②若yf(x2)是偶函数，则yf(x)图象关于直线x2对称；③若f(x2)f(2x)，则函数yf(x)图象关于直线x2对称；④yf(x2)与

yf(2x)图象关于直线x2对称，其中正确命题序号为_______。

解析：① 错 yf(x2)关于直线x2对称，② 对 ③错 若f(x2)f(2x)，则函数yf(x)图象关于直线x0对称；④ 对

第十五讲 抽象函数问题

一 知识点精讲：

1 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用

一种符号

表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难

点，也

是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函

数，再

由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的

一种有

效方法。

2中学阶段常用抽象函数f(x)的“原型”（函数）

1．f(xy)f(x)f(y)——ykx(k为常数） 2．f(xy)f(x)f(y)——y=a（a0且a1） 3．f(xy)f(x)f(y)——ylogax（a0且a1） 4．f(xy)f(x)f(y)——yx(n为常数）

nxxyxy)f()或 22f(xy)f(xy)2f(x)f(y)y=cosx(常数）

f(x)f(y)6．f(xy)——y=tanx

1f(x)f(y)5．f(x)f(y)2f( 方法：想具体函数的运算法则，代特殊值。

二．典例解析

例1．设函数f(x)满足f(x)f(y)2f(xyxy)f()，且f()=0，x、y∈R；求222证：f(x)为周期函数，并指出它的一个周期．

例2．已知函数f(x)对于任意实数x、且当x＞0时，f(x)y都有f(xy)f(x)f(y)，＞0，f(-1)=-2，（1）求证f(x)在R上的奇函数。 (2) 求证f(x)在R上的增函数 （3）求函数f(x)在区间[-2，1]上的值域。

例3．已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)≠0，f(xy)f(x)f(y)，且当x<0时，

f(x)＞1 （1）当x＞0时，求f(x)的取值范围

（2）判断f(x)在R上的单调性

例4．已知函数f(x)定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f(4)=1，f(xy)f(x)f(y) （1）证明：f(1)=0；(2)求f(16)；（3）若f(x)+ f(x-3)≤1，求x的范围； （4）试证f(x)=nf(x)（n∈N）

例5．已知函数f(x)对于一切正实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)且x＞1时，f(x)＜1，

n1f(2)=

9(1) 求证：f(x)＞0；

11（2）求证：f(x)[f(x)]

（3）求证：f(x)在（0，+∞）上为单调减函数 （4）若f(m)=9，试求m的值。

三 课堂检测

例2．（2006安徽）

函数fx对于任意实数x满足条件fx21，若f15,则ff5__ ； fx1.(2006山东)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)= ( ) A）-1

B 0

C 1

D 2

2.(2007启东质检)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，对任意x∈R，都有

f(x+4)=f(x)+f(4) 成立，则f(2006)= ( )

A．4012

B．2006 C．2008

D．0

3.已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ ）

=1

=2

=－

11 = 224.已知f(x)是偶函数，xR，当x0时，f(x)为增函数，若x10,x20，且|x1||x2|，则

Af(x1)f(x2) Bf(x1)f(x2) Cf(x1)f(x2) D

f(x1)f(x2)

5.(2006安徽)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)1,若f(1)=－5,则f(x)f(f(5))=______

f2(1)f(2) 6．已知函数f(x)满足：f(ab)f(a)f(b)，f(1)2，则

f(1)f2(2)f(4)f2(3)f(6)f2(4)f(8) 。

f(3)f(5)f(7)7已知函数f(x)对一切x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，

求证:（1）f(x)是奇函数；（2）若f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)恒等于0.

8已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有

f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0,f(2)1，

（1）求证：f(x)是偶函数； （2）f(x)在(0,+∞)上是增函数；（3）解不等式

f(2x21)2

4

(2010

重

庆

)

（

15

）

已

知

函

数

f(x)满足：

f(1)11,4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x,yR)，则f(2010)__________. 42（2009福建理）5.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2（0，），当x1f(x2) 的是 A．f(x)=

12x B. f(x)=(x1) C .f(x)=e D xf(x)ln(x1)

5．【答案】：A

[解析]依题意可得函数应在x(0,)上单调递减，故由选项可得A正确。

（2009陕西理）12．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2(,0](x1x2)，

*有(x2x1)(f(x2)f(x1))0.则当nN时,有

(A)f(n)f(n1)f(n1) (B) f(n1)f(n)f(n1) (C) (C)f(n1)f(n)f(n1) (D) f(n1)f(n1)f(n) 答案：C

解析：x1,x2(,0](x1x2)(x2x1)(f(x2)f(x1))0x2x1时，f(x2)f(x1)f(x)在(,0]为增函数f(x)为偶函数f(x)在(0，]为减函数而n+1>n>n-1>0,f(n1)f(n)f(n1)f(n1)f(n)f(n1) (2009四川理) 12.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f(f())的值是 B.

5215 D. 22【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12） 解析：令x11111111，则f()f()f()f()0；令x0，则22222222f(0)0

由xf(x1)(1x)f(x)得f(x1)x1f(x)，所以 x535353515f()2f()f()2f()0f(f())f(0)0，故选择A。

32232312222（2008陕西理）11．定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy（x，yR），f(1)2，则f(3)等于（ ） A．2

D．9

B．3

C．6

解：令xy0f(0)0，令xy1f(2)2f(1)26；

令x2,y1f(3)f(2)f(1)412，再令x3,y3得

0f(33)f(3)f(3)18f(3)18f(3)6

（2007山东理）6 给出下列三个等式：f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)，

f(xy)f(x)f(y)。下列函数中不满足其中任何一个等式的是

1f(x)f(y)xA f(x)3 B f(x)sinx Cf(x)log2x D

f(x)tanx

【答案】:B【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足f(xy)f(x)f(y)，B不满足其中任何一个等式.

1f(x)f(y)（2001广东理）22．(本小题满分14分)

设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意x1,x2[0,]，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)且f(1)a0．

12(Ⅰ)求ｆ(),f()； (Ⅱ)证明f(x)是周期函数； 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，所以

12141］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）, 2xxxxf(x)f()f()f()0,x[0,1]222211111f(1)f()f()f()[f()]2

22222111111f()f()f()f()[f()]2244444ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分

11∴f()a2,f()a4

24

（2008重庆理）（(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R，有

11f(x1x2)f(x1)f(x2)1,则下列说法一定正确的是

A f(x)为奇函数

Bf(x)为偶函数 Df(x)1为偶函数

C f(x)1 为奇函数

解：令x0，得f(0)2f(0)1，f(0)1，所以f(xx)f(x)f(x)11

f(x)f(x)110,即f(x)1[f(x)1]，所以f(x)1 为奇函数,选C

(2007安徽理)（11）定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正

周期.若将方程f(x)0在闭区间T,T上的根的个数记为n，则n可能为D （A）0

（B）1

（C）3

（D）5

定义在R上的函数f(x)是奇函数，f(0)0，又是周期函数，T是它的一个正周期，∴

TTTTTTf(T)f(T)0，f()f()f(T)f()，∴f()f()0，

222222则n可能为5，选D。

抽象函数问题的“原型”解法

抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。

所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。

抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如

f(x)kx(k0)有

f(x1x2)k(x1x2)f(x1)f(x2)可抽象为

f(xy)f(x)f(y)。那么y=kx就叫做抽象函数f(x)满足

（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心f(xy)f(x)f(y)的“原型”

理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。

一、中学阶段常用抽象函数f(x)的“原型”（函数）

1、f(xy)f(x)f(y)——ykx(k为常数） 2、f(xy)f(x)f(y)——y=a（a＞0且a≠1） 3、f(xy)f(x)f(y)——ylogax (a＞0且a≠1) 4、f(xy)f(x)f(y)——yx(n为常数） 5、f(x)f(y)2f(nxxyxy)f()或f(xy)f(xy)2f(x)f(y) 22－－y=cosx(为常数）

6、f(xy)f(x)f(y)－－y=tanx

1f(x)f(y)二、“原型”解法例析

【例1】 设函数f(x)满足f(x)f(y)2f(xyxy)f()，且f()=0，x、y222∈R；求证：f(x)为周期函数，并指出它的一个周期。

分析与简证：由f(x)f(y)2f(xyxy)f() 22想：cosx1cosx2=2cos

x1x2xx2cos1 22原型：y=cosx，为周期函数且2π为它的一个周期。 猜测：f(x)为周期函数，2π为它的一个周期

令x1=x+，x2= 则f(x)f(x)2f(x∴f(x)f(x)f(x2)f(x) ∴f(x)为周期函数且2π是它的一个周期。

【例2】 已知函数f(x)满足f(x1))f()=0

221f(x)，若f(0)2004，试求f(2005)。

1f(x)分析与略解：由f(x1)1f(x)

1f(x)想：tan(x+

1tanx)= 41tanx=π。 4原型：y=tanx为周期函数且周期为4×

猜测：f(x)为周期函数且周期为4×1=4

111f(x1)∵f(x2)f[(x1)1]=

11f(x1)111∴f(x4)f[(x2)2]f(x)f(x)1=-

f(x)f(x)f(x)1f(x)f(x+4)=f(x)

f(x2)∴f(x)是以4为周期的周期函数

又∵f(2)=2004

∴f(2005)f(20041)1f(2004)1f(0)120042005===-

1f(2004)1f(0)120042003∴f(2005)=-

2005 2003【例3】 已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)，且当x＞0时，f(x)＞0，f(-1)=-2，求函数f(x)在区间[-2，1]上的值域。

分析与略解：由：f(xy)f(x)f(y)

想：k(x+y)=kx+ky

原型：y＝kx（k为常数）为奇函数。k＜0时为减函数，k＞0时为增

函数。

猜测：f(x)为奇函数且f(x)为R上的单调增函数，且f(x)在[－2,1]上

有f(x)∈[－4,2]

设x10 ∴f(x2－x1)>0 ∴

f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)＞0

=

f(x2x1)f(x1)f(x1)=

∴f(x2)f(x1),∴f(x)为R上的单调增函数。 令x=y=0,则f(0)=0,令y=－x，则f(－x)=－f(x) ∴f(x)为R上的奇函数。

∴f(-1)=- f(1)=-2 ∴f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4 ∴-4≤f(x)≤2(x∈[-2,1]) 故f(x)在[-2,1]上的值域为[-4，2]

【例4】 已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)≠0，f(xy)f(x)f(y)，且当x<0时，f(x)＞1

（1）当x＞0时，求f(x)的取值范围 （2）判断f(x)在R上的单调性 分析与略解：由：f(xy)f(x)f(y)

想：axyaxay

原型：y=ax（a＞0, a≠1），a0=1≠0。当a＞1时为单调增函数，且x＞

0时，y＞1，x＜0时，0＜y＜1；0＜a＜1时为单调减函数，且x＜0时，y＞1，x＞0时，0＜y＜1。

猜测： f(x)为减函数，且当x＞0时，0＜f(x)＜1。

（1）对于一切x、y∈R，f(xy)f(x)f(y)且f(0)≠0 令x=y=0，则f(0)=1，现设x＞0，则-x＜0，∴f(-x) ＞1 又f(0)=f(x-x)= f(x)f(x)=1 ∴f(x)=∴0＜f(x)＜1

（2）设x11 ＞1 f(x)f(x1)f(x1x2x2)f(x1x2)f(x2)f(x1x2)＞1 f(x2)f(x2)f(x2)∴f(x1)f(x2)， ∴f(x)在R上为单调减函数

【例5】 已知函数f(x)定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f(4)=1，

f(xy)f(x)f(y)

（1）证明：f(1)=0；(2)求f(16)；（3）若f(x)+ f(x-3)≤1，求x的范围； （4）试证f(x)=nf(x)（n∈N） 分析与略解：由：f(xy)f(x)f(y)

n想：logaxylogaxlogay（x、y∈R+） 原型：ylogax（a＞0，a≠0） 猜测：f(x)有f(1)=0，f(16)=2，……

（1）令x=1，y=4，则f(4)=f(1×4)=f(1)+f(4)∴f(1)=0 （2）f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2

(3)f(x)+f(x－3)=f［x(x－3)］≤1=f(4)

f(x)在（0，+∞）上单调递增

x(x3)41x43x4 ∴ x30x3x0∴ x∈（3，4]

（4）∵f(xy)f(x)f(y) ∴f(xn)f(x•x•x•n个•x)nf(x)

【例6】 已知函数f(x)对于一切正实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)且x＞1时，

1f(x)＜1，f(2)=

911(1)求证：f(x)＞0；（2）求证：f(x)[f(x)]

（3）求证：f(x)在（0，+∞）上为单调减函数 （4）若f(m)=9，试求m的值。 分析与简证：由f(xy)f(x)f(y)，

n想：(x1x2)nx1nx2

原型：yxn（n为常数（y=x2）

猜测：f(x)＞0，在（0，+∞）上为单调减函数，……

(1)对任意x＞0，f(x)=f(x•x))=[f(x)]2≥0

假设存在y＞0，使f(y)=0，则对任意x＞0

xxf(x)=f(f(•y)=f()f(y)=0，这与已知矛盾

yy故对任意x＞0，均有f(x)＞0

（2）∵f(x)f(x1)f(x)f(1)，f(x)＞0, ∴f(1)=1 ∴f(x)f(

1111)=f(·x)=f(1)=1 ∴f(x)[f(x)] xxx2x＞1，∴f(2)＜1， x1x1(3)x1、x2∈(0,+∞)，且x1＜x2，则

∴f(x2)f(x2x•x1)f(2)f(x1)f(x1) 即f(x2)f(x1) x1x1∴f(x)在（0，+∞）上为单调减函数。

（4）∵f(2)=

1，f(m)=9 ∴f(2)f(m)=1 9∴f(2m)=1=f(1)，而f(x)在(0，+∞)是单调减函数 ∴2m=1 即m=

1 2综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象——具体——抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。