解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

§5.1二次曲线与直线的相关位置

1. 写出下列二次曲线的矩阵A以及F1(x,y)，F2(x,y)及F3(x,y).

x2y2x2y2（1）221；（2）221；（3）y22px；（4）x23y25x20;

abab（5）2x2xyy26x7y40.

1a2解：（1）A001a2（2）A00001b200110；F1(x,y)2x；F2(x,y)2y；F3(x,y)1； ab10110；F1(x,y)2xF2(x,y)2y；F3(x,y)1. ab11b2000p（3）A010；F1(x,y)p；F2(x,y)y；F3(x,y)px；

p001（4）A052525530；F1(x,y)x；F2(x,y)3y；F3(x,y)x2；

220201237117；F1(x,y)2xy3；F2(x,y)xy；2222421（5）A23F3(x,y)3x1727y4. 2 2. 求二次曲线x22xy3y24x6y30与下列直线的交点. （1）5xy50； （2）x2y20； （3）x4y10； （4）x3y0； （5）2x6y90.

解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略 （1）(,),(1,0)；

1252（2）4226i7226i4226i7226i,,，； 5555（3）二重点(1,0)；

（4）11,； 26（5）无交点.

3. 求直线xy10与二次曲线2xxyyx2y10的交点. 解：由直线方程得xy1代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k的值，使得（1）直线xy50与二次曲线x3xyk0交于两不同的实点；

（2）直线{222x1kt,ykt与二次曲线x4xy3yy0交于一点；

222（3）xky10与二次曲线2xyy(k1)y10交于两个相互重合的点； （4）{x1t,22与二次曲线2x4xykyx2y0交于两个共轭虚交点.

y1t49. 24解：详解略.（1）k4；（2）k1或k3（3）k1或k5；（4）k

§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线

1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的.

（1）x22xyy23xy0； （2）3x24xy2y2x2y50； （3）2xy4x2y30.

解：（1）由(X,Y)X22XYY20得渐进方向为X:Y1:1或1:1且属于抛物型的；

（2）由(X,Y)3X24XY2Y20得渐进方向为X:Y(22i):3且属于椭圆型的；

（3）由(X,Y)2XY0得渐进方向为X:Y1:0或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）x22xy2y24x6y30； （2）x24xy4y22x2y10； （3）2y28x12y30； （4）9x26xyy26x2y0. 解：（1）因为I21110，所以它为中心曲线；

12（2）因为I212121，所以它为无心曲线； 0且

24124000040且，所以它为无心曲线；

0260293933，所以它为线心曲线； 0且

31231（3）因为I2（4）因为I23. 求下列二次曲线的中心.

（1）5x2xy3y2x3y60； （2）2x5xy2y6x3y50； （3）9x30xy25y8x15y0.

2222225xy10,313(,)； 解：（1）由得中心坐标为32828x3y0252xy30,2（2）由得中心坐标为(1,2)；

53x2y0229x15y40,（3）由知无解，所以曲线为无心曲线. 1515x25y024. 当a,b满足什么条件时，二次曲线x26xyay23xby40（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.

3x3y0,2解：（1）由知，当a9时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；

b3xay02（2）当a9,b9时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当ab9时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.

5. 试证如果二次曲线

F(x,y)a11x22a12xya22y22a13x2a23ya330

有渐进线，那么它的两个渐进线方程是

Φ(xx0,yy0)=a11(xx0)22a12(xx0)(yy0)a22(yy0)20

式中(x0,y0)为二次曲线的中心.

证明：设(x,y)为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为X:Y(xx0):(yy0)，所以Φ(xx0,yy0)=a11(xx0)22a12(xx0)(yy0)a22(yy0)20. 6. 求下列二次曲线的渐进线.

（1）6xxyy3xy10； （2）x3xy2yx3y40； （3）x2xyy2x2y40.

222222136xy0,1322解：（1）由得中心坐标(,).

551xy102222而由6XXYY0得渐进方向为X:Y1:2或X:Y1:3，所以渐进线方程分别

为2xy10与3xy0

31xy0,1322（2）由得中心坐标(,).

553x2y302222而由X3XY2Y0得渐进方向为X:Y1:1或X:Y2:1，所以渐进线方程分别

为xy20与x2y10

xy10,（3）由知曲线为线心曲线，.

xy10所以渐进线为线心线，其方程为xy10.

7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是I2I30，成为无心曲线的充要条件是

I20,I30.

证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是

a11a12a13也即I2I30； a12a22a23为无心曲线的充要条件是

a11a12a13也即I20,I30. a12a22a238. 证明以直线A1xBy1C10为渐进线的二次曲线方程总能写成

(A1xBy1C1)(AxByC)D0.

证明：设以A1xBy1C10为渐进线的二次曲线为

F(x,y)a11x22a12xya22y22a13x2a23ya330，

则它的渐进线为Φ(xx0,yy0)=a11(xx0)2a12(xx0)(yy0)a22(yy0)0，其中(x0,y0)为曲线的中心，从而有Φ(xx0,yy0)=(A1xBy1C1)(AxByC)0

22a11(xx0)22a12(xx0)(yy0)a22(yy0)2而Φ(xx0,yy0)=a11x2a12xya22y2(a11x0a12y0)x22

2(a12x0a22y0)ya11x022a12x0y0a22y02,因为(x0,y0)为曲线的中心，所以有a11x0a12y0a13，a12x0a22y0a23 因此Φ(xx0,yy0)F(x,y)(x0,y0)a33，

令(x0,y0)a33D，代入上式得F(x,y)(xx0,yy0)D

即F(x,y)(A1xBy1C1)(AxByC)D，所以以A1xBy1C10为渐进线的二次曲线可写为(A1xBy1C1)(AxByC)D0.

9.求下列二次曲线的方程.

（1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）； （2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线xy10为渐进线. 解：利用习题8的结论即可得：

（1）xyx40；（2）2x2xy3y25x70.

§5.3二次曲线的切线

1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程. （1）曲线3x4xy5y7x8y30在点（2，1）； （2）曲线曲线3x4xy5y7x8y30在点在原点； （3）曲线xxyyx4y30经过点（-2，-1）； （4）曲线5x26xy5y28经过点(0,2)；

（5）曲线2xxyyx2y10经过点（0，2）. 解：（1）9x10y280； （2）x2y0；

（3）y10,xy30；

（4）11x5y1020,xy220； （5）x0.

2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.

22222222（1）曲线x24xy3y25xy30的切线平行于直线x4y0； （2）曲线x2xyy23的切线平行于两坐标轴. 解：（1）x4y50，(1,1)和x4y80，(4,3)； （2）y20，(1,2),(1,2)和x20，(2,1),(2,1). 3. 求下列二次曲线的奇异点. （1）3x22y26x4y10； （2）2xyy22x10； （3）x22xyy22x2y10. 解：（1）解方程组3x30,得奇异点为(1,1)；

2y20y10,（2）解方程组得奇异点为(1,1).

xy04.试求经过原点且切直线4x3y20于点（1，-2）及切直线xy10于点（0，-1）的二次曲线方程.

解：利用（5.3-5）可得6x3xyy2xy0.

22x2y221，这里h是一个变动的参数，作平行于已知直5.设有共焦点的曲线族222ahbh线ymx的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程. 解：设切点坐标为(x0,y0)，则由（5.3-4）得曲线的切线为

2x0xy0y1，因为它2222ahbh22x0y0x0b2my0a21整理得 平行与ymx，所以有h，代入2ah2b2h2x0my022mx0(m21)x0y0my0m(a2b2)0，

所以切点的轨迹为

mx2(m21)xymy2m(a2b2)0.

§5.4二次曲线的直径

1. 已知二次曲线3x7xy5y4x5y10.求它的

22（1）与x轴平行的弦的中点轨迹； （2）与y轴平行的弦的中点轨迹；

（3）与直线xy10平行的弦的中点轨迹.

解：（1）因为x轴的方向为X:Y1:0代入（5.4-3）得中点轨迹方程6x7y40； （2）因为y轴的方向为X:Y0:1代入（5.4-3）得中点轨迹方程7x10y50； （3）因为直线xy10的方向为X:Y1:1代入（5.4-3）得中点轨迹方程

x3y10.

2.求曲线x22xy4x2y60通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代入X(x2)Y(2y1)0

得X:Y1:6，再代入上式整理得直径方程为x12y80，其共轭直径为

12x2y230.

3.已知曲线xyy22x3y10的直径与y轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径.

解：直径方程为x10，其共轭直径方程为x2y30. 4.已知抛物线y8x，通过点（-1，1）引一弦使它在这点被平分. 解：4xy30.

2x2y21一对共轭直径的方程，已知两共轭直径间的角是45度. 5. 求双曲线

'解：设直径和共轭直径的斜率分别为k,k，则kk'2.又因为它们交角45度，所以311kk''kk21，从而或2，或，故直径和共轭直径的方程为x3y0和

331kk'2xy0或2xy0和x3y0.

6.求证：通过中心曲线的直线一定为曲线的直径；平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其

直径. 证明：因为中心曲线直径为中心线束，因此过中心的直线一定为直径；当曲线为无心曲线时，它们的直径属于平行直线束，其方向为渐进方向，所以平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径.

7．求下列两条曲线的公共直径.

（1）3x22xy3y24x4y40与2x23xyy23x2y0； （2）x2xyy2xy0与x22xyy2xy0. 解：（1）2xy10；（2）5x5y20. 8.已知二次曲线通过原点并且以下列两对直线

x3y20,5y30,与 5x5y402xy10为它的两对共轭直径，求该二次曲线的方程.

解：设曲线的方程为F(x,y)a11x22a12xya22y22a13x2a23ya330，则由（5.4-3）和（5.4-5）可得a111,a12为x2xyy2xy0.

111,a221,a13,a23,a330，所以曲线的方程222§5.5二次曲线的主直径与主方向

x2y2x2y21.分别求椭圆221，双曲线221，抛物线y22px的主方向与主直径.

abab解：椭圆的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为x0,y0；双曲线的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为x0,y0；抛物线的主方向分别为0：1和1：0，主直径分别为y0.

2. 求下列二次曲线的主方向与主直径. （1）5x8xy5y18x18y90； （2）2xy2x2y10；

（3）9x24xy16y18x101y190.

解：（1）曲线的主方向分别为1：（-1）和1：1，主直径分别为xy0,xy20； （2）其主方向分别为1：1和1：（-1），主直径分别为xy0,xy20； （3）其主方向分别为3：（-4）和4：3，主直径分别为3x4y70； （4）任何方向都是其主方向，过中心的任何直线都是其主直径.

3.直线xy10是二次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲

2222线的方程.

解：设二次曲线方程为

，（1，-1），（2，F(x,y)a11x22a12xya22y22a13x2a23ya330，把点坐标（0，0）1）分别代入上面方程同时利用直线xy10为其主直径可得

77a114,a12,a224,a13,a234,a330，

22所以所求曲线方程为4x27xy4y27x8y0. 4.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.

证明：设1,2分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主方向分别为X1:Y1与X2:Y2则

a11X1a12Y11X1,a11X2a12Y22X2,与， a12X1a22Y11Y1,a12X2a22Y22Y2所以 1X1X21YY12(a11X1a12Y1)X2(a12X1a22Y1)Y2

(a11X2a12Y2)X1(a12X2a22Y2)X12X2X12Y2Y1,从而有(12)(X1X2YY12)0，

因为12，所以X1X2YY120，由此两主方向X1:Y1与X2:Y2相互垂直.

§5.6二次曲线方程的化简与分类

1. 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形. （1）5x4xy2y24x12y180； （2）x2xyy4xy10； （3）5x12xy22x12y190； （4）x2xyy2x2y0.

解（1）因为二次曲线含xy项，我们先通过转轴消去xy，设旋转角为，则ctg222222223，41211tg23即，cos，所，所以tg或-2.取tg2，那么sin22tg455x以转轴公式为y1'(x2y'),5代入原方程化简再配方整理得新方程为

1(2x'y').56x''2y''2120；

类似的化简可得

（2）22x''25y''20；（3）9x''24y''2360；（4）2x10.

2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图形.

（1）8x24xy5y28x16y160； （2）x24xy2y210x4y0； （3）4x24xyy26x8y30； （4）4x24xyy24x2y0. 解：（1）已知二次曲线的距阵是

''2482258， 481682I18513，I236，

25所以曲线的特征方程为13360，其特征根为14，29，两个主方向为

2X1:Y11:2，X2:Y22:1；

其对应的主直径分别为x8y200，7x7y40. 取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式

xy1(2x'y')1,5

1'(x2y')2.5代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为

9x'24y'2360.

（2）已知二次曲线的距阵是

225222 520坐标变换公式

xy1'(x2y')1,5

1(2x'y')2.5代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为

3x'22y'210.

（3）已知二次曲线的距阵是

423214， 343坐标变换公式

xy1'9(x2y'),105

11(2x'y').5510'x0. 5代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为

5y'2（4）坐标变换公式

xy1'2(x2y'),55

11(2x'y').55代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为

5y'210.

3.试证在任意转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式

'2'222. a13a23a13a13证明：设旋转角为，则a13a13cosa23sin，a23a13sina23cos，两式平方相加得

'''''2'222. a13a23a13a133. 试证二次曲线

ax22hxyay2d

的两条主直径为x2y20，曲线的两半轴的长分别为

d及ah证明：求出曲线的两主直径并化简即可得.

d. ah§5.7应用不变量化简二次曲线的方程

1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方

程.

（1）x26xyy26x2y10； （2）3x22xy3y24x4y40； （3）x24xy3y22x2y0； （4）x24xy4y22x2y10； （5）x2xy2y4x6y290； （6）x222ya；

2（7）x2xyy2x2y40； （8）4x4xyy12x6y90.

2213313I解：（1）因为I12，I28，31116，32，而特征方程

I2313112280的两根为14,22，所以曲线的简化方程（略去撇号）为

4x22y220，

曲线的标准方程为

x22y210， 12曲线为双曲线； 类似地得下面：

（2）曲线的简化方程（略去撇号）为

2x24y280，

曲线的标准方程为

x2y21， 42曲线为椭圆；

（3）曲线的简化方程（略去撇号）为

(25)x2(25)y20，

曲线的标准方程为

x2y20， 112552曲线为两相交直线；

（4）曲线的简化方程（略去撇号）为

5y2曲线的标准方程为

25x0， 525x， 25y2曲线为抛物线；

（5）曲线的简化方程（略去撇号）为

(曲线的标准方程为

352352)x()y0， 22x2y20， 113535曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线； （6）曲线的简化方程（略去撇号）为

2y222ax0,（0xa,0ya)，

曲线的标准方程为

（0xa,0ya) y22ax，

曲线为抛物线的一部分；

（7）曲线的简化方程（略去撇号）为

2y250，

曲线的标准方程为

y2曲线为两平行直线；

（8）曲线的简化方程（略去撇号）为

5， 25y20，

曲线的标准方程为

y20，

曲线为两重合直线.

2. 当取何值时，方程

x24xyy24x2y30

表示两条直线. 解：方程

x24xyy24x2y30

表示两条直线当且仅当

22I32110，

213即4.

3. 按实数的值讨论方程

x22xyy22x2y50

表示什么曲线.

解：因为I12，I2(1)(1)，I3(53)(1)，K12(51)， 所以当的值变化时，I1,I2,I3,K1也随着变化，它们的变化关系如下表：

 (,1)-1 - + + - 0 + 3(1,)5 35 (3,0)50 (0,1)515 (1,1)51 (1,) + + + - - - 0 - - + - - + - - + - - + 0 0 I1 - - + - - 0 I2 I3 K1 - - - - - - + 0 + + + 所以有对应于下面的结果：

1 I20,I1I30 I20,I30 I20,I30 I20,I30 I20,I30 I20,I30,K10 椭圆 抛物线 双曲线 一对相交直线 双曲线 一对平行的虚直线 虚椭圆 1 31 53 531 51 1

4. 设

I20,I1I30 a11x22a12xya22y22a13x2a23ya330

表示两条平行直线，证明这两条直线之间的距离是

d证明：曲线的方程可简化为

4K1. I12yK1， 2I1这里当曲线表示两条平行的实直线时，K10. 所以这两条直线之间的距离是

d5. 试证方程

4K1. I12a11x22a12xya22y22a13x2a23ya330

确定一个实圆必须且只须I124I2,I1I20. 证明：当曲线

a11x22a12xya22y22a13x2a23ya330

表示一个实圆的充要条件是其特征方程

2I1I20

有相等实根且I1I20，即I124I20且I1I20，从而方程确定一个实圆必须且只须

I124I2,I1I20.

6. 试证如果二次曲线的I10，那么I20. 证明：因为I1a11a220即a11a22，所以I2而a11,a12,a22不全0，所以有I20.

7. 试证如果二次曲线的I20,I30，那么I10，而且I1I20.

证明：当I20,I30时，由5.2节习题7知，曲线为无心曲线，从而有I10，而且I1I20.

a11a12a12a22222a11a22a12(a11a12)，