广东省惠州市高一数学下学期期末考试试题(含解析)

惠州市 2015—2016 学年第二学期期末考试

高一数学试题

全卷满分 150 分，时间 120 分钟；本试卷分第Ⅰ卷 （选择题） 和第Ⅱ卷 （非选择题） 两部分． 考生注意：

1． 答题前，考生务势必自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号填写在答题卡上． 2． 第 I 卷每题选出答案后，用

2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，

用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水署名笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共

切合题目要求的。 1．已知会合 M

(A) 2．若 a (A)

12 小题，每题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项

x 1 x

(B) 1 ， N

x x2

(C) )

2 ，则（

）

M I N=N

b a 2 N M M I N

0

(D)

M U N

N 0, 以下不等式建立的是 ( b 2

(B)

a 2

ab

(C)

3．已知两条直线

① m // n, m // ③ m // n,m

m, n ，两个平面 ,

n // n

b

a

1

(D)

1 a n

1 b

，给出下边四个命题：

② ④

// ,m // n, m

, m //

m

此中正确命题的序号是（

） ②④

(A) ①③

(B) (C)

①④ (D) ②③

4．一个几何体的三视图如下图，

则该几何体的体积是（ (A) 12 (C)

） (B) 2 (D) 6

2

2

1 1

4

1

2

5．在 ABC 中， a,b, c 分别为内角 A, B,C 的对边， a 15,b 10, A

60 ，

则 cosB 等于 () 1

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(A)

2 2 3

(B)

2 2

3

(C)

6 3

(D)

6 3

6．正方体 ABCD (A)

A1 B1C1 D1 中，异面直线 B1C 与 DC 1 所成角的大小为（

(B)

）

30

45

(C)

60

(D)

90

7．已知 { an} 是公差为 1的等差数列， Sn 为 { an} 的前 n 项和，若 S8 (A)

4S4 ，则 a10 （

12

）

17 2

(B)

19 2

(C)

10

(D)

8．直线 kx y k 1

0 与圆 x 2

y2 4 的地点关系是（

(C)

） (D)

(A) 订交 (B) 相切 相离 不确立

9．已知点 (sin ,cos ) 到直线： x cos 则 d 的取值范围是 （ （ A） [ 1 ,1]

y sin

1 0 的距离为 d ，

）

（ B） [0, 2]

（ C） ( 2, 2]

（D） [0, 1]

2

10．已知 a

0 , b 0 , a b 2 ，则 y

1 4

a b

(C)

的最小值是 ( )

(A)

9 2

(B)

5

7 2

(D)

4

11．已知球 O 的半径为 R ， A, B, C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为

)

1

(A)

R ， AB AC 2 ， BAC

2

16 16

9

120 , 则球 O 的表面积为 (

(B)

3

(C)

9

(D)

3

12．已知圆 C1 ： (x 2) 2 ( y 3)2 1，圆 C2 ： ( x 3)2 ( y 4) 2 9 ， M 、 N 分别是

圆 C1 、 C 2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 (A)

PM

PN 的最小值为 ( 6 2 2

(D)

)

5 2 4

(B)

17 1

(C)

17

第Ⅱ卷

注意事项：

第 II 卷须用黑色墨水署名笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．

2

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二．填空题：本大题共 4小题，每题 5分。

13．在空间直角坐标系中，已知点A(2, 4, 3), B (0,6,

的面积等于 14．直线 y ．已知数列 15

则 Sn

1) ，则以线段 AB 为直径的圆

．

3x 1绕其与 y 轴的交点逆时针旋转 900 所获得的直线方程为

*

．

an 的前 n 项和为 Sn ，且知足 a1

2， 2

an

2

（此中

Sn

n

N ），

．

16．不等式 ax 2 + 2ax +1 > 0 对全部 x R 恒建立，则实数 a 的取值范围为

．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分 10 分） 某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品每吨需耗矿石

产品每吨需耗矿石 4 t 、煤 2 t ．假如甲种产品每吨能赢利

2 t 、煤 2 t ；生产乙种

600 元，乙种产品每吨能赢利 800

8 t 、煤不超出 6 t ．每日甲

元．工厂在生产这两种产品的计划中要求每日耗费矿石不超出

乙两种产品应各生产多少能赢利最大？最大收益为多少？

18．（本小题满分 12 分） 已知 a , b, c 分别为 （Ⅰ）求 A ；

ABC 三个内角 A, B,C 的对边， c 3a sin C c cos A

（Ⅱ）若 a 2, ABC 的面积为

3 ，求 b,c ． 19．（本小题满分 12 分）

已知数列

an 是等差数列，且 a3 7 ， a5 a7 26 ．

an 的通项公式；

1

*

（Ⅰ）求数列

（Ⅱ）设

bn

an2 1 （ n N ），求数列 bn 的前 n 项和 Tn ．

3

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20．（本小题满分 12 分）

如图， AB 为圆 O 的直径， PA 垂直圆 O 所在的平面，点 （Ⅰ）求证：

C 为圆 O 上异于 A, B 的点 .

BC 平面 PAC ；

2, BC3AC, PA

AB ，点 M

P

（Ⅱ）若 AB

为 PC 的中点，求三棱锥 B

MOC 的体积 .

M

A

O

B

21．（本小题满分 12 分）

已知圆 C 方程为： x2

y2

4.

C

( Ⅰ ) 直线 l 过点 P(1, 2) ，且与圆 C 交于 A 、 B 两点，若 AB 2 3 ，求直线 l 的方程；

( Ⅱ ) 过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ，设 m 与 y 轴的交点为 N ，若向量

uuur uuuur uuur

OQ OM ON ，求动点 Q 的轨迹方程．

22．（本小题满分 12 分）

已知圆 C： x2

y 2

2x 4y 3 0 .

（ I ）若圆 C的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求切线的方程； （ II ）从圆 C外一点 P

且有 PM

x1 , y1 向该圆引一条切线，切点为

M， O为坐标原点， PO ，求使得 PM 获得最小值的点 P 的坐标．

机密★启用前

惠州市 2015— 2016 学年第二学期期末考试

高一数学试题参照答案

一．选择题（共 12 小题 60 分，每题 5 分） 题号 答案

1 D

2 C

3 D

4 B

5 C

6 C

7 B 8 A

9 B

10 A 11 D

12 A

1．[ 分析 ] 由于 M

x 1 x 1 ， N x 2 x

2 ，因此 M U N N 。

4

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2． [ 分析 ] 由于 a

b 0, 因此

b

1。

3． [ 分析 ] ① m // n, m //

a n // m

还可能有 n 还可能是 m

④

, m //

或m / / 或m与 订交但不垂直

4． [ 分析 ] 这个几何体是底面为梯形，高为 因此体积为 V

2 的四棱锥，

1 (1 2) 2

2

2 .

3

2

b sin A

3

10 2

3 3

b ，故 B为锐

角。

5． [ 分析 ] 由正弦定理知 sin B

，又由于 a

a

6 。 3

15

因此

cos B

1 sin2 B

6． [ 分析 ] 如下图，直线 A1D / / B1C ，因此直线 A1D 与 DC1 所成

的 角

A1DC1 即 为 异 面 直 线 B1C 与 DC1

A1DC1 60 。 所 成 角 。 A1DC1为正三角形，

的前 n 项和，若 S 7． [ 分析 ] { a } 是公差为 的等差数列， Sn 为 { a }

n

1

4S ，

4

n

8

因此有

d

1

d

1

1

，故

，解得

a10

a1 9d

1

9

19 2

。

8a1 28d 4(4a1 6d )

a1

2

2

8． [ 分析 ] 直线 kx

y k 1 0 恒过圆 x 2 y 2 4内的必定点 (1,1) ，故直线与圆订交。 ysin

1

0 的距离为

9． [ 分析 ] 点 (sin ,cos ) 到直线： x cos

sin cos d

cos sin 1 sin

2

cos2

sin 2

1 , 因此 d 的取值范围是 [0, 2]

10． [ 分析 ] y

1 4 a b

( 2 a

11 4

b 4 )(a b)

1

当且仅当 a

2 (5 b 4a ) 2 a b

9

，（ a 0 , b 0 ） . 2

, b 时等号建立。 3 3

11． [ 分析 ] 半径为

如下图，

ABC 所在的截面圆的即

ABC 的外接圆的

r

2 2sin 30

2

所

以

有

5

5 / 13

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R

2

( 1

R)2

r 2即 R

2

(1 R) 2 22 2

2

解得 R2

16 , 故球 O 的表面积为 S 4 R2

。

3

3

12． [ 分析 ] 由题意知 , 圆 C1 ： (x

2) 2 ( y 3)2 1，圆 C2 ： ( x 3)2 ( y 4) 2

9

的圆心分别为 C1 (2,3), C2 (3,4) , 且 PM PN

PC1 PC2 4 ,

点 C1 (2,3) 对于 x 轴的对称点为 C (2, 3) ,

因此 PC1 PC2

PC PC2 CC2 5 2 ,

即 PM

PN

PC1 PC2

4 5 2 4 .

二．填空题：本大题共 4小题，每题 5分。

13

．

14． y

1 x 1, x 3y 3 0, x

y 1或其余等价方程皆可。

3 3

15 ．

2n 1

2

16 ． [0,1)

0 a 1, a 0

a

1 , x 0 x 1 等形式皆可

13.

[ 分析 ]

AB

(2 0)2 (4 6)2 ( 3 ( 1))2 2 3 ,

因此以线段 AB 为直径的圆的半径为

3 面积等于 S

( 3) 2

3 ．

14.

[ 分析 ] 旋转 900

所获得的直线与原直线相互垂直，在

y 轴上的截距不变。

Sn可得 2an Sn 1因此 an 15． [ 分析 ]

由题意知 2an 2 1 2

1 2an

因此数列为等比数列，

an 2n , Sn 2n 1 2.

16． [ 分析 ]

当 a 0时，1 0恒建立；

R恒建 当 a 0时，若 ax 2 + 2ax +1 > 0

对全部 x 立， a

0

则

2

，则有 0 a 1。

2a 4a

0

因此实数 a 的取值范围为 [0,1) 。

6 / 13

3

，6

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三．解答 ：解答 写出文字 明， 明 程或演算步 。 17．（本小 分 10 分）

[ 分析 ] 每日甲乙两种 品各生

x, y 吨， 每日的生 利

分

z 600x 800 y ......... 1

2x 4y 8 2x 2y 6

且 足

....................

3

分

x y

0 0 如右 ，作出可行域，⋯⋯⋯⋯

5 分

当 z 600x 800 y 点 A 获得最大

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分

由

2x 4 y 2x 2 y

8 6

解得 A(2,1) ,

故

zmax 600

2 800 1 2000 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分

2 吨，乙 1 吨 品能 利最大，最大利

答：当每日生 甲 2000 元。⋯⋯ 10 分

18．（本小 分 [ 分析 ] （Ⅰ） Q c

12 分）

3asin C

c cos A sin C 1

3 sin A sin C sin C cos A，且 sin C

2sin( A

0

⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分

3 sin A cos A

Q 0

A

)

6

sin( A A

) 6

3

1

, A 2 6

或 A 6

6

5 （舍） 6

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分

（2） Q a

2, ABC 的面 3 , A

bc sin A 3 2

a2 b2 c2 2bc cos A

1

3

7

7 / 13

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1

bc sin 60 2 3

即

bc 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

22 b2 b

c2

2bc cos60

b

c 4

解得

2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

c 2

19．（本小 分 12 分）

[ 分析 ]

（Ⅰ） 等差数列

an 的首 a1

，公差 d

Q a3 7 ， a5 a7

26 ．

a1 2d 7

解得 a1 3

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分

a1 4d a1 6d 26 d 2

an 2n

1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6 分

（Ⅱ）

1 Q bn

an2 1

bn

1

1

(2 n 1)

2

1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7 分

4n2

4n

bn

1

1 ( 1

1 )

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

9 分

4n(n 1)

4 n n 1

数列 b

前 n 和

n

Tn b1 b2 b3 L L bn

1 ( 1 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1

1

( ) ( ) L L

(

)

4 1 2 4 2 3 4 3 4

1 (1 1 1 1 1 1 L L

1

14 n n 1

) = 1 (1 1 ) 4 1 2 2 3 3 4

n n 1 4 n 1

n

4(n

1)

⋯⋯⋯ 12 分

20．（本小 分 12 分）

[ 分析 ]

（Ⅰ） 明： Q

ABO 的直径，点 CO 上异于 A, B 的点 . 8 / 13

10 分

12 分

P M

8

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O

A

B

9 / 13

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BC AC

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分

Q PA 垂直 O 所在的平面 , 即 PA

平面 ABC

且 BC 平面 ABC

BC PA

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分

Q PA I AC A, PA 平面 PAC, AC 平面 PAC

BC

平面 PAC

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分

（Ⅱ）解：取 AC 中点 N , 连接 MN

Q M 为 PC1

中点

MN

PA 1,且 MN / /PA

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2

7 分

Q PA 平面 ABC

MN

平面 ABC ，即 MN 三棱 M

BOC 的高

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

8 分

Q 在 ABC中， ACB 90 , AB2, BC

3AC

解

三

角

形

可

AC

1, BC 3

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分

Q O为 AB中点

S 1BCO

S ABC = 1 1

1 3

3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分

2 2 2

4

V

三棱锥 B MOC

V

三棱锥 M BOC

1 S

BOC

MN =

1

3 1 3

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分

3

3

4

12

21．（本小 分 12 分） [ 分析 ]

( Ⅰ ) 解：由 C ： x2 y2 4 的 心 (0,0) ，半径 r

2 ，

⋯⋯⋯⋯１

分

10 / 13

得 9

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若直 l 斜率不存在， 方程 x 1，

此 与 C 交于 A 、 B 两点，且

AB 2 3 ， 足 意；

分

若直 l 斜率存在，

k ，方程 y

2 k( x 1) 即 kx y

d

2

。 因此 心到直 的距离

k

k2 1

分

Q AB

2 3

由 直与相 交 的2

2 k 2

2

AB

2 r

d 即２ ３＝２ ４－（

k

2

1 ）

3

解得 k

，此 ，直

l 方程 3x

4 y 5

0

4 分

上所述，可知直 l 方程 ： 3x

4 y 5

0 或 x

1

分

( Ⅱ )

解： C 上的 点 M 坐 ( x0 , y0 ) ， 有 x0

2

y0 2 4

M 作平行于 x 的直 m ， 直 m 方程 y

y0 ，

m 与 y 的交点 N 的坐 (0, y0 ) 。

uuur

uuuur

uuur

点 Q 坐 ( x, y) ， OQ

( x, y), OM (x0 , y0 ), ON 分

uuur uuuur uuur

Q OQ OM ON

( x, y) ( x0 , y0 ) (0, y0 )

x0

x0 x

x

即

y 2 y0

y0 1 y

2

分

Q x0 2

y0 2 4

x2

y2 4

4

11 / 13

⋯⋯⋯⋯ 2

k 2 0

⋯⋯⋯⋯３

几 何 性可 得

⋯⋯⋯⋯５

⋯⋯⋯⋯６

(0, y0 ) ⋯⋯⋯

8 ⋯⋯⋯⋯ 10

⋯⋯⋯⋯ 11

10

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分

且直 m ∥ x ， 点

M 不在 x 上，即

y0 0 ，得 y 0 ）

0

⋯⋯⋯⋯ 12 分

因此 点 Q 的 迹方程

x

2

y2

4

4 （ y

（ 明：若没有 明 y 0

，只要扣掉 1 分）

22．（本小 分 12 分）

. 解：（I ）∵切 在两坐 上的截距相等

∴ ( 1 ) 当截距不 零 ，直 斜率

-1 ，可 切 方程 y

x b

|

1 2 b | 2

2, 解得 b

1或 b 3

故切线方程为 : x y 1 0或x y 3 0

kx,即kx y 0

2

⋯⋯⋯⋯ 2 分

(2)当截距为零时 ,可设切线方程为 y

| k k 2 2 | 1

2, 解得 k

2

6或 k 6

故切线方程为 : y (2

上 可 知 ， 切方 程：

6) x或 y (2 6) x

x y 1 0或 x y 3 0 或

y (2 6) x或 y (2 6) x ⋯⋯⋯ 4 分

（ II ） Q 切线 PM 与半径 CM 垂直

| PM |2 | PC |2 | CM |2 , 又 | PM | | PO | ， CM r

| PC |2 | CM |2 | PO |2 即( x1 1)2 ( y1 2)2 2 x12 y12 2x1 4y1 3 0

即点 P( x1 , y1 )在直线 2x

4 y 3

0上 ⋯⋯⋯⋯ 6

分

| PO |的最小值为点 O到直线 2x 4 y 3 0的距离 d

3 5 10

11

12 / 13

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又 | PM | | PO |,

3

5

| PM |的最小值为 ,

故 | PO |2

x12

y12 ( 3 5 )2 10

9 20 3 10 3 5

⋯⋯⋯⋯ 10 分

2 2

9 x1 y1

x1

y1

20

解得

2x1 4 y1

3 0

3 3 所求点坐标 P( , ) 。

10 5 y

⋯⋯⋯⋯ 12 分

（或许： 求出直 CP 的方程 2x

0 ，解出直 CP 与直 2x 4 y 3 0 交点坐

即得）

12

13 / 13