2010届高三数学教学质量检测试题1

2010年高三教学质量检测（三）

数 学 试 题（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.其中第II卷第15题为选做题，其它题为必做题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；

非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写、字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．做选考题时，考生按照题目要求作答． 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 柱体体积公式VSh 如果事件A、B相互， 其中S为底面面积，h为高 那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次重复试验中恰好发生k次的概率kkPn(k)CnP(1P)nk V锥体体积公式V1Sh 3其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式 S4R2 球的体积公式 V球4R3 3样本数据x1,x2,xn的标准差 1S[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] n 其中x为样本平均数 第Ⅰ卷 其中R表示球的半径

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的） 1．已知全集UR,集合A{x|x2,nN}与B{x|x2n,nN}，则正确表示集合

A、B关系的韦恩（Venn）图是

（ ）

n

2．已知(1i)z1i，则复数z等于

A．1+i

B．1-i

C．i

D．-i

（ ） （ ）

3．在ABC中，ABC120，|BC|1,则|AB2BC|= ,AB=（2，0）

A．3

B．23

C．4

D．12

4．命题：对任意aR,方程ax23x20有正实根的否命题是

A．对任意aR,方程ax23x20无正实根； B．对任意aR,方程ax23x20有负实根； C．存在aR,方程ax23x20有负实根； D．存在aR,方程ax23x20无正实根.

（ ）

5．如果函数y3sin(2x)的图像关于直线x

A．

4对称，那么||的最小值为（ ） 3D．

 6B．

 4C．

 3 2

6．某程序流程框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数，

f(x)sin224x,f(x)cosx,则 ，f(x)tan333（ ）

可以输出的函数是f(x)=

2x 32B．f(x)cos

34x, C．f(x)tan3A．f(x)sinD．非上述函数

x,7．由2所确定的平面区域的面积为 21cosxy0

A．

B．2

C．2

（ ）

D．2

8．若(1x1)2009a0a1x1a2009x2009，则2a122a222009a2009值为

A．2

B．0

C．-1

D．-2

（ ）

9．已知f'(x)是f(x)的导函数，在区间0,上f'(x)0，且偶函数f(x)满足

1f(2x1)f()，则x的取值范围是

3

A．(,)

（ ）

1233B．,

1233C．(,)

1223D．,

1223x2y21于A、B两点，10．点P在直线2x3y60上，若存在过点P的直线交椭圆94且|PA|=|AB|，则称点P为“好点”，那么下列结论中正确的是

（ ）

A．直线l上的所有点都是“好点” B．直线l上仅有有限个点是“好点” C．直线l上有无穷多个点是“好点” D．直线l上的所有点都不是“好点”

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.把答案填在答题卡中对应题号后的

横线上，其中必做题11—14题，选做题15题）： 11．在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式如从f(x)lgx可

抽象出f(x1x2)f(x1)f(x2)的性质，那么由h(x)= （填一个具体的函数）可抽象出性质h(x1x2)h(x1)(x2).

12．在正方体6个面的中心点之中，任意选两个点连成直线，则这些直线中，相互平行的对数有 .

2

13．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm）为 .

|cos14．在区间[0，2]上随机取一个数x，

2x|的值介于0到0.5之间的概率为 .

15．选做题（考生只能从A、B、C题中选作一题）

x12t, A、已知直线（t为参数）与圆4cos()相交于A、B两点，则|AB|=

3y3t. .

B、若关于x的方程x24x|a1||a1|0有实根，

则实数a的取值范围为 .

C、如图，⊙O的直径AB=6cm，P是延长线上的一点，过

点P作⊙O的切线，切点为C，连结AC，若CAP30， 则PC= .

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分） 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinBcosC0,A上的中线AM的长为7.

（I）求角B的大小； （II）求ABC的面积. 17．（本小题满分12分）

某校选派4人参加上级组织的数学竞赛，现从甲、乙两个竞赛班各选派2人.设甲、

乙两班选派的人员获奖概率分别为

6,BC边

21和,且4位选手是否获奖互不影响. 32 （I）求甲、乙两班各有1人获奖的概率； （II）求该校获奖人数的分布列与期望.

18．（本小题满分12分）

已知四棱锥P—ABCD的侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且AB=AP=a. （I）若E、F分别是PA、BC的中点，证明EF//平面PCD； （II）若G为AB中点，求证：二面角G—PC—D的大小为90. 19．（本小题满分12分）

已知数列{an}的首项a12，其前n项和为Sn，当n2时，满足an2nSn1, 又bann2n; （I）证明：数列{bn}是等差数列； （II）求数列{Sn}的前n项和Tn. 20．（本小题满分13分）

已知Fx2y21(1,0),F2(1,0)是椭圆a2b21的两个焦点，点G与F2关于直线

l:x2y40对称，且GF1与l的交点P在椭圆上.

（I）求椭圆方程；

（II）若P、M(x1,y1),N(x2,y2)的椭圆上的不同三点，直线PM、PN的倾斜角互补，问

直线MN的斜率是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)axlnx图像上点(e,f(e))处的切线方程为与直线y2x平行（其

中e2.71828），g(x)x2tx2. （I）求函数f(x)的解析式；

（II）求函数f(x)在[n,n2](n0)上的最小值；

（III）对一切x0,e,3f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围.

参

一、选择题：

1—5 ACBDA 6—10 BBDAC 二、填空题

11．任意指数函数均可，如h(x)2x; 12．6对； 13．843 14．13 15．A、4 B、[2,2] C、33 三、解答题 16．解（I）A6,由sinBcosC0, 得sinBcos(6B)0，

即sinBcos6cosBsin6sinB0,

332sinB2cosB, 即tanB33. 故三角形内角B6. （II）由（I）知，AB6ACBC且C23. 设AC=x，则MC12x, 又AM7.

在AMC中由余弦定理得

AC2MC22ACMCcosCAM2,

即x2(x)22xx22(12)(7)2, 解得x2,

故S122ABC2xsin33.

17．解：设Ak表示甲班有k人获奖，

3分

6分

8分

10分12分„„„„„„„„ „„„„„„„„ „„„„

K0,1,2;

Bi表示乙班有i人获奖，i=0，1，2. P(Ak)C2()() 据此算得

k23k132k11,P(Bi)C2I()i()2i

22„„„„3分

144,P(A1),P(A2). 999111 P(B0),P(B1),P(B2).

424 P(A0) （I）所求概率为P(A1B1)P(A1)P(B1) （II）的所有可能值为0，1，2，3，4，且

412. 929„„„„6分

111,943611411 P(1)P(A0B1)P(A1B0),

9294613P(2)P(A0B2)P(A1B1)P(A2B0),36P(0)P(A0B0)P(A0)P(B0)P(3)P(A1B2)P(A2B1)

41411,94923411P(4)P(A2B2),949

„„„„10分

综上知的分布列

 P 0 1/36 1 1/6 2 13/36 3 1/3 4 1/9 从而，的期望为E011131171234.„„„„12分 36636393„„„„2分

18．证明：（I）取PD中点M，连接EM，MC则EM//AD，

EM=0.5AD=0.5BC=FC，

∴四边形EFCM是平行四边形，即EF//CM. 又CM平面PCD，

EF平面PCD，因此EF//平面PCD. „„„„6分 （II）由（I）知交于A点的三条棱互相垂直， 如图建立坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），

C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a），G(0.5a,0,0)

PC(a,a,a),GC(0.5a,a,0),DC(a,0,0)

„„„„8分 设平面PCD的法向量为n{0,1,2}， „„„„10分

设平面PCG的法向理为m(x,y,z) 则DCn0且PCn0,

ax000ayaz0得一组解x0,yz1. ax∴设平面PCD的一个法向量为n(x,y,z), 则GCm0且PCm0,

0.5axay000得一组解x2,y1,z1 axayaz∴平面PCG的一个法向量为m(2,1,1)

nm021(1)110， nm.即平面PCD⊥平面PCG，

故二面角G—PC—D的大小为90.

„„„„12分

19．解：（I）由题意知得，a212,a22S1a12,a26.

n2时,a1n2nSn1,an12nSn,

两式相减得ann1an2an, 即an12ann2,(n2)

„„„„3分

于是

an1an12n12n2, 即b1n1bn2(n2) 又b11a21,ba2312222,b2b12. 所以数列{bn}是首项为1，公差为0.5的等差数列. „„„„6分

（II）由（I）知，

bn1(n1)1n1,an2nbn(n1)2n1. 22又n2时an2nSn1,Sn1(n1)2n1(n1)2n1,

Snn2n.

„„„„9分

Tn121222323n2n, 2Tn122223(n1)2nn2n1, Tn2n12n2n(n1)2n12.

„„„„12分

20．解：（I）F2（1，0）关于直线l:x2y40对称点G（-1，4）

又GF1与l的交点P在椭圆上，

„„„„3分

2a|PF1||PF2||GF1|4

b2a2c23.

x2y21. 因此，所求椭圆方程为4332 „„„„5分

（II）由条件知直线PM，PN的斜率存在且不为0，

易得点P(1,)，设直线PM的方程为yk(x1)由椭圆方程与直线PM方程联立消去y，

整理得(4k3)x4k(2k3)x4k12k30, ∵P在椭圆上，∴方程两根为1，x1，

2223， 24k212k34k212k31x1,x1. 224k34k3∵直线PM，PN的倾斜角互补，

∴直线PM，PN的斜率互为相反数，

„„„„9分

4k212k3x2.

4k23 „„„„11分

24k68k2,x1x22. 则x1x224k34k3又y1k(x11)33,y2k(x21), 2268k212ky1y2k(x1x22)k(22)2.

4k34k3∴直线MN的斜率KMNy1y21（定值）

x1x22„„„„13分

21．解：（I）由点(e,f(e))处的切线方程与直线2xy0平行，

得该切线斜率为2，即f'(e)2.

又f'(x)a(lnx1),令a(lne1)2,a1,

所以f(x)xlnx.

（II）由（I）知f'(x)lnx1，

显然f'(x)0时xe1当x(0,1e)时f'(x)0,

所以函数f(x)在(0,1e)上单调递减. 当x(1e,)时f'(x)0， 所以函数f(x)在(1e,)上单调递增，

①

1e[n,n2]时,f(x)11minf(e)e; ②1enn2时，函数f(x)在[n,n2]上单调递增， 因此f(x)minf(n)nlnnn;

1,(0m1所以f(x)minee),

1nlnnn,(ne).（III）对一切x0,e,3f(x)g(x)恒成立，

又g(x)x2tx2,3xlnxx2tx2, 即tx3lnx2x. 设h(x)x3lnx2x,x0,e, „„„„4分

„„„„7分

„„„„10分

则h'(x)132x23x2xx2x2(x1)(x2)x2, 由h'(x)0得x1或x2,

x(0,1),h'(x)0,h(x)单调递增， x(1,2),h'(x)0,h(x)单调递减， x(2,e),h'(x)0,h(x)单调递增，

h(x)极大值h(1)1,且h(e)e32e11,

所以h(x)maxh(1)1.

因为对一切x0,e,3f(x)g(x)恒成立，

th(x)max1.

故实数t的取值范围为1,.

14分

„„„„