2019届高三教学质量统一检测(一)数学理

株洲市2019届高三年级教学质量统一检测（一）

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上）

1. 设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2}，集合B={2,3}，则(CUA)?B( )

A．f B．{1,2,3,4} C．{2,3,4} D．{0,1,2,3,4} 2. 在区间2,2上任意取一个数x，使不等式xx0成立的概率为( )

2A．

1111 B． C． D． 62343.已知各项为正数的等比数列{an}满足a11,a2a416，则a6 ( ) A． B．32 C．16 D．4

ix4.欧拉公式ecosxisinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数

函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，

ei表

e4示的复数在复平面中位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

ix1,y1,5.已知M、N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的

xy10,xy6最大值是 ( ) A. 17 B. 1734 C. 32 D. 226．若均不为1的实数a、b满足ab0，且ab1，则（ ） A. loga3logb3 B. 3+3>6 C. 3abab13ab D. abba

7． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

2 2 正视图

2823 A. 8 B. 823 C. D. 10

338．如图，边长为1正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC，在旋转的过程中，记ABPx(x[0,32 侧视图 1 1 （第7题图）

])，BP所经过的在正方形2俯视图

ABCD内的区域（阴影部分）的面积为yf(x)，则函数f(x)的图像是 ( )

y 1 1 y

DPC

o A y 1 px 2o B y 1 x 2

AB（第8题图）

o 4C

x 2

o 4

x 2

D

9．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图， 若输入a、b、i的值分别为6、8、0，则输出a和

i的值分别为( )

A． 0,3 B． 0,4 C． 2,3 D． 2,4

（第9题图）

sin(xa),x010．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，则

cos(xb),x0ysinx的图象向左平移( )个单位，可以得到ycos(xab)的图象．

A．

4 B．

3 C．

2 D．

11．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD的的四个顶点，其中AB=4，BC=CD=

AD=2，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）

A．

33 B． C．3 D．23 4212．已知正方体ABCDA1BC11D1的棱长为2，M为CC1的中点．若AM⊥平面α，且B∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（ ）

A．32+25 B． 4+42 C． 22+25 D．62

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷上）

x2y213．已知点P（2,1）在双曲线C：221(a,bR)的渐近线上，则C的离心率为 .

ab114．2x（用数字作答） 的展开式中的常数项的值是 ．

x615．设

uuur1uuuruuur的外心P满足AP(ABAC),则cosBAC=错误！未找到引用源。 错3误！未找到引用源。 ． 16．数列即数列

an的首项为1，其余各项为1或2，且在第k个1和第k1个1之间有2k1个2，

an为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列an的前n项和为Sn，

则S2019 ．（用数字作答）

三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17.（本小题满分12分）

2=-、C的对边分别是a、b、c，已知cosA在DABC中，角A、Bc=3,sinA=6sinC．

1，3（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及DABC的面积．

18.（本小题满分12分）如图（1），等腰梯形ABCD， AB=2，CD=6， AD=22，E、F分别是CD的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF、BE折起，使得点C和点D重合，记为点P．如图（2），

（Ⅰ）求证：平面PEF平面ABEF；

（Ⅱ）求平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．

19. （本小题满分12分）

PDFECFABEAB图（1）

图（2）

x2y2已知F1,F2分别为椭圆C：221ab0的左、右焦点，点P(1,y0)在椭圆上，

ab且PF2x轴，PF1F2的周长为6． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点T(0,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数，使得OAOBTATB7恒成立？请说明理由．

20.（本小题满分12分）

某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要

检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为k+1次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是的，且每个人是阳性结果的概率为p．

（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若p=0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；

（Ⅱ）设为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数 ．

①当k=5，p=0.1时，求的分布列；

②试运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)4x24xmln,其中m为大于零的常数 （2x）（Ⅰ）讨论yf(x)的单调区间；

（Ⅱ）若yf(x)存在两个极值点x1,x2(x1x2) ，且不等式f(x1)ax2 恒成立，求实数a的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

ìx=1-tïïxoy在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为í（t为参数），在以原点o为极点，

ïy=tïîx轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1与曲线C2的极坐标方程分别为

r=3cosq,r=3sinq

（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程

，直线l与OA的交点为B，求（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的一个交点为点A（A不为极点）

|AB|.

23（本题满分10分）【选修4 -5：不等式选讲】 已知函数f(x)x1ax2（a为实数） （Ⅰ）当a1时，求函数f(x)的最小值； （Ⅱ）若a1，解不等式f(x)a.

2019届株洲市高三检测试题（一）参及评分标准

(理科数学)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 题号 1 答案 C 2 D 3 B 4 B 5 A 6 B 7 A 8 D 9 D 10 D 11 B 12 A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 51

13．2; 14．60; 15．; 16. 3993

2三、解答题（本大题共6小题，共70分．） 17（本小题满分12分）

2【解析】（Ⅰ）由cos2A12sinA 得sinA22 3QA(0,),sinA6 31, 3由sinA6sinC,得sinC由正弦定理

ac 得a32-------------------------------------------6分 sinAsinC（Ⅱ）角A为锐角，则cosA23 3由余弦定理得b2b150即b5,或b3（舍去） 所

以

△ABC

的

面

积

152-------------------------------------------12分 SABCbcsinA2218．（本题满分12分）

【解析】（Ⅰ）E,F是CD的两个三等分点， 易知，ABEF是正方形，故BE⊥EF 又BE⊥PE,且PEEF=E 所以BF⊥面PEF 又BF面ABEF

所以面PEF⊥面ABEF -------------------------------------------5分

（Ⅱ）过P作PO⊥EF于O，过O作BE的平行线交AB于G，则PO⊥面ABEF 有所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系 则

A(2

，

-1

，

0),B(2

，

1

，

0),E(0

，

1,0),P(0

，

0

，

3)-------------------------------------------6分

uuur所以AE(2,2,0),uuruuurEP(0,1,3),AB(0,2,0),uurPA(2,1,3)

ur设平面PAE的法向量为n1(x1,y1,z1)

则

uruuurn1AE0ruurun1EP0----8分

r2x12y0un1(3,3,3)-----------------------------------y13z10uur设平面PAB的法向量为n2(x2,y2,z2)则

uuruuurn2AB0uruurun2PA0--10分

uur2y20n2(3,0,2)------------------------------2x2y23z20uruurn1n2535cosu ruur2177n1n2即平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值-------------------------------------12分 19．（本题满分12分）

【解析】（Ⅰ）由题意，F1(1，0)，F2(1，0)，c1

5 7PF1F2的周长为6，PF1PF22c2a2c6

x2y21．-----------------------5分 a2，b3 ∴椭圆的标准方程为43（Ⅱ）假设存在常数满足条件。

（1）当过点T的直线AB的斜率不存在时，A0,3，B0,3，

∴OAOBTATB3＋[(3－1)(3－1)]32=7，

∴当2时，OAOBTATB7； ---------------------------------------7分 （2）当过点T的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，设Ax1,y1，

Bx2,y2，

x2y21联立4，化简得34k2x28kx80， 3ykx1∴x1x28k8. -----------------------------------8分 ，xx124k234k23

∴OAOBTATBx1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]11k2x1x2kx1x21

8(1＋)(1＋k2)8k2(8)[(2)k21]211=－7----------9分 224k34k34k3∴

21431，解得：2 即2时，OAOBTATB7；

综上所述，当2时，OAOBTATB7． ------------------------12分 20. （本题满分12分） 【解析】

（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是的，

1设事件A：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率P（A）=C30.10.920.243

----------------------------------3分

（Ⅰ）①当K=5，P=0.1时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.9，每人所检验的次数为

5165次，若混合检验结果为阳性，则其概率为10.9，则每人所检验的次数为次，故的551 56 5分布列为

 P 0.95 10.95 -----------------------------------7分

②分组时，每人检验次数的期望如下

1kP()（1P）k1kP(1)1（1P）

k111kkkE（1P）(1)[1（1P）]1（1P）kkk不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，

k1（1P）111 即 1Pk kk1kk时，用分组的办法能减少检验次数。

所以当1P-----------------------------------12分 21．（本小题满分12分） 【解析】

8x24xm(x0) -----------------------------------1分 （Ⅰ）f(x)x（1）当m分

（2）当0m1时，f(x)0,f(x)在(0,)在上单调递增 --------------------------2212时，设方程8x4xm0的两根为x1,x2 2则x1112m112m ,x24411x2, 4210x1,4f(x)在

(0,x1),(x2,)上单调递增，

(x1,x2)上单调递减

------------------------------5分 ）可知，0m（Ⅱ）由（（Ⅰ）

11m且x1x2,x1x2 228由f(x1)ax2af(x1) x2f(x1)4x124x1mln2x1(2x11)214x1(12x1)ln2x1

所

以

f(x1)f(x1)22(12x1)8x1ln2x1 1x212x1x12-----------------------------------6分 设t2x1,0t1 2令h(t)2(1t)212tlnt(0t) 1t21h(t)212lnt 2(1t)当0t11时，12lnt0 2(1t)2故h(t)在(0,)上单调递减，所以h(t)h()32ln2 综

上

所

述

，

1212a(,32ln2]时，

f(x1)ax2恒成立。

-----------------------------------12分

22.(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程 【解析】

（Ⅰ）rcosq+rsinq=1 -----------------------------------4分

（Ⅱ）

法1：由

ìïr=ïíïïîr=33qqscos3p得tanq=,\\q=

36in-----------------------------------5分

点A的极坐标A(,)又点B在直线OA上，所以设B的极坐标为B(r,) 由x+y=1,\\rcosq+rsinq=1得rB=3-1，所以B(3-1,3p26p6p) 6AB=rA-rB=5-23 ----------------------------------10分

法2：曲线C1与曲线C2的直角坐标为x2+y2-由

22ìïïx+y-3x=0í22ïïîx+y-3x=03x=0,x2+y2-3x=0

A

的

坐

标

得点

A(3433 ,)4----------------------------------5分 所以直线OA的方程为y=3x 33-233-1) 2由

ìx+y=1ïïïí3ïy=xïï3ïî

3,OB=23 得点B的坐标为

B(,----------------------------------7分 所以OA=3-1

AB=5-2 ---------------------------------10分

或者：AB=分

(33-323-)+(-4243-12)=237-53 ------------------94AB=

5-23 ---------------------------------10分

23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 【解析】

（Ⅰ）a1时，f(x)x1x2|(x1)(x2)|1 所

以

f(x)的最小值为

1--------------------------------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）①x2时，f(x)x1ax2aa,x3a1a1，

3a1a120 因为a1a1所以此时解得： 2x

② 1x2时，f(x)x1ax2aa,x1

，

3a1 --------------------------------------6分 a1此时： 1x2 ---------------------------------------------------7分 ③ x1时，f(x)1xax2aa,x1，

此时无解；----------------------------------------------------------------8分 综上： 1x3a1 -----------------------------------------------10分 a1