湖北省襄阳市第四中学、第五中学2018年自主招生考试数学试题(无答案)

一、选择题(每题5分,共计50分) 1.下列运算结果中正确的是

11A.2x•x2x7 B.x31x1x2x1

2433C.a22a1a1 D.27x3的立方根是3x 2.直线ya2xm21(其中a、m是常数)一定不经过的象限是

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.根据如下三视图,计算出该几何体的表面积是

A.36π B.34π C.30π D.40π

4.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题,“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔几何”,问鸡、兔的只数分别是

A.21,14 B.22,13 C.23,12 D.24,11

5.如图,正方形ABCD对角线交于一点O,又O是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且两个正方形的边长相等都为a,正方形A1B1C1O绕O在转动,则两正方形重叠部分的面积为

A.不确定 B.a2 C.a2 D.a2

6.在直角坐标系中,一束光线经过点A(3,2),先后经过x轴、y轴反射后再经过点B(1,4),则光线从A到B经过的路线长为

A.5 B.213 C.25 D.26 7.下列五个图像中,能表示y是x的函数的图像的个数是

181416

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8.如图,直线xa从左往右运动,将△ABC分成左右两部分,左边阴影部分的面积为S,则S关于a的函数图像是

9.有下列四个命题: ①若x24，则x2；

②若

241则x； 2，2x14x12③命题“若am2＞bm2，则a＞b”的逆命题；

④若一元二次方程ax2bxc0的两根是1和2,则方程cx2bxa0的两根是-1和1 2其中真命题的个数是

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.函数yx21x23x0的最小值与最大值分别是

A.3,9 B.

3,9 C.1,9 D.3,10 4二、填空题(每题5分,共计30分) 11.函数yx2x02x中自变量x的取值范围是___________. x112.

42327423423_________.

13.方程x2x10的较大的根为a,a的小数部分为b,则a2b2ab______. 14.⊙O的内接梯形ABCD，AB过点O，AB∥CD，AC交BD于E，OD交AC于F，AB=10，∠DAB=60°，则EF=____________.

15.二次函数yx22xm与x轴有两个不同的交点A、B,现有下列四个命题: ①m的取值范围是m＜ 1；②A、B的距离AB21m；

③若m15，当y＞0时,x的取值范围是x＜3或x＞5； ④点C2，5mm＞5，则△ABC的面积最大值3. 其中正确命题的序号是________________.

16.如图所示,在直角坐标系中的整点(横纵坐标为整数)处：

b11，0，b21，1，b30，1，b41，1，b51，0，b61，1，b70，1，b81，1，b92，1，…，以

此类推,b2018________【参考公式:123n1nn1). 2

三、解答题(共计70分) 17.(6分)已知a

18.(6分)为绿化环境,现引进一批同类的树,三年后,这些树的树干的周长情况如图所示:

1a求a4，1的值. a

(1)这批树共有________棵；

(2)这批树干周长的中位数在第________组(从左到右)；

(3)从这批数据中任取一个,落在50～60这一组的概率为__________； (4)求这批树干周长的平均数。

19.(8分)如图,E在矩形ABCD的边CD上,沿AE将△ADE折叠使D落在边BC上的F点。已知AB=55,tan∠EFC=

3. 4(1)求证:△ABF∽△FCE； (2)求AB和BC的长.

20.(8分)如图,已知正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内部画半圆: (1)求阴影部分的面积；

(2)现将1000粒豆子(大小忽略不计)均匀撒在此正方形内,问大约有多少粒豆子落在阴影部分(π取3.1416).

21.(10分)已知,⊙O的半径为10,圆内一定点M,OM=6,过M作相互垂直的弦AC与BD,O到AC、BD的距离分别为d1、d2,求四边形ABCD面积的最大值.

22.(10分)新华商场经市场调查得知,某商品的月销售量y(单位:吨)与销售价格x(单位:万元/吨)的关系可用如图的折线ABC表示: (1)求出y与x的函数关系式；

(2)若该商品的进价为5万元/吨,销售该商品的每月固定成本为10万元,问该商品每吨的定价多少元时,销售该商品的月利润w(单位:万元)有最大值?并求出最大值。

23.(10分)若△ABC的三边长分别为a、b、c,记pabc,我国南宋时期著名数学家秦，22122a2b2c2ab九韶推出三角形的面积公式为:S42① 古希腊数学家海伦推出三角形的面积公式为：Sppapbpc②

(1)已知a8，b10，c12，,利用上面公式,求△ABC的面积； (2)请你由公式①推出公式②。

24.(12分)抛物线yax2bxca0的顶点为C(1,4),与x轴交于点A、B,与y轴交于点D,其中B点坐标为(3,0). (1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,过点A的直线与抛物线交于E,交y轴于F,其中E点的横坐标为2,直线PQ为抛物线的对称轴,点G是PQ上一动点,在x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点围成的四边形的周长最小?若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在,说明理由；

(3)如图2,抛物线上是否存在一点T,过T作x轴的垂线,垂足为M,过M作直线MN∥BD交线段AD于N,连接MD,使△DMM∽△BMD?若存在,求出点T的坐标；若不存在,说明理由。