第1讲 实数及其运算

【要点梳理】

1．实数的有关概念

(1)数轴：规定了____， 和 的直线叫做数轴，数轴上所有的点与全体____一一对应．

(2)相反数：只有____不同，而 相同的两个数称为互为相反数．a，b互为相反数⇔a＋b＝____．

(3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的____，叫做这个数的倒数．a，b互为倒数⇔ab＝____． （4）绝对值：在数轴上，一个数对应的点离原点的 叫做这个数的绝对值．

(5)科学记数，近似数： 科学记数法就是把一个数表示成 （1≤a＜10，n是整数）， (6)平方根，算术平方根，立方根：

2

如果x＝a，那么x叫做a的平方根，记作 ；正数a的正的平方根，叫做

3

这个数的算术平方根；如果x＝a，那么x叫做a的立方根，记作 ．

222222

(7)识记： 11＝________，12＝________，13＝__________，14＝________，15＝________，16

22222

＝__________，17＝________，18＝________，19＝__________，20＝________，21＝________，22223322＝__________，23＝________，24＝________，25＝__________. 1＝________，2＝________，33333333＝__________，4＝________，5＝________，6＝__________，7＝________，8＝________，9

3

＝__________，10＝__________. 2、实数的分类

3、零指数幂，负整数指数幂

4．实数的运算：实数的运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，如果有括号，先算 ，再算 ，最后算 ，同级运算应 5、实数的比较： 【三年中考】 1．(2014·安徽)(－2)×3的结果是( )

A．－5 B．1 C．－6 D．6 2．(2013·安徽)－2的倒数是( ) 11

A．－ B. C．2 D．－2

22

3．(2012·安徽)下面的数中，与－3的和为0的是( ) 11A．3 B．－3 C. D．－

33

4．(2014·安徽)据报载，2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为___ _．

5．(2012·安徽)2011年安徽省棉花产量约37800吨，将37800用科学记数法表示应是____ ．

考点跟踪突破1

一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2014·宁波)下列各数中，既不是正数也不是负数的是( A ) A．0 B．－1 C.3 D．2 2．(2014·湘潭)下列各数中是无理数的是( A )

1

A.2 B．－2 C．0 D. 3

3．(2014·舟山)2013年12月15日，我国“玉兔号”月球车顺利抵达月球表面．月球离地球平均距离是384 400 000米，数据384 400 000用科学记数法表示为( A )

A．3.844×108 B．3.844×107 C．3.844×106 D．38.44×106 4．(2014·)下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温：

城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰 气温(℃) －8 －16 －5 －25 其中平均气温最低的城市是( A ) A．阿勒泰 B．喀什 C．吐鲁番 D．乌鲁木齐 5．(2014·宁波)杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4筐杨梅的总质量是( C )

A．19.7千克 B．19.9千克 C．20.1千克 D．20.3千克

二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2014·碑林区模拟)计算3tan30°－

|1－2|2＝____. 22

3－

7．(2014·河北)若实数m，n满足|m－2|＋(n－2014)2＝0，则m1＋n0＝____．

28．(2014·铁一中模拟)用科学计算器计算：847－5sin20°＝__53.1__．(结果精确到0.1) 9．(2014·娄底)按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__．

10．(2014·白银)观察下列各式： 321＝1 13＋23＝32 13＋23＋33＝62

13＋23＋33＋43＝102 „

猜想13＋23＋33＋„＋103＝__552__． 三、解答题(共40分) 11．(6分)计算： (1)(2014·成都)9－4sin30°＋(2014－π)0－22； 解：原式＝－2

1－

(2)(2014·梅州)(π－1)0＋|2－2|－()1＋8.解：原式＝1＋2－2－3＋22＝2

3

12．(8分)(2012·广东)定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看

作分母为1的有理数；反之为无理数．如2不能表示为两个互质的整数的商，所以2是无理数．

a

可以这样证明：设2＝，a与b是互质的两个整数，且b≠0.

b

2a

则2＝2，a2＝2b2.因为2b2是偶数，所以a2是偶数，则a是不为0的偶数．设a＝2n(n是整数)，

b

所以b2＝2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．所以2是无理数．

仔细阅读上文，然后请证明：5是无理数．

aa22

证明：设5＝，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则5＝2，a＝5b2.因为5b2是5的倍数，

bb

所以a2是5的倍数，所以，a不为0且为5的倍数．设a＝5n(n是整数)，所以b2＝5n2，所以b也为5的倍数，与a，b是互质的整数矛盾．所以5是无理数

13．(8分)在数1，2，3，„，2014前添符号“＋”和“－”，并依次运算，所得结果可能的最小非负数是多少？

解：因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，„，2014之前任意添加符号“＋”或“－”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，„，2014中有2014÷2个奇数，即有1007个奇数，所以任意添加符号“＋”或“－”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n，n＋1，n＋2，n＋3之间添加符号“＋”或“－”，显然n－(n＋1)－(n＋2)＋(n＋3)＝0.这启发我们：将1，2，3，„，2014每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋„＋(2009－2010－2011＋2012)－2013＋2014＝1.所以，所求最小非负数是1

14．(8分)(2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：

22

(1)3－4×1＝5 ① (2)52－4×22＝9 ② (3)72－4×32＝13 ③ „

根据上述规律解决下列问题：

(1)完成第四个等式：92－4×( 4 )2＝( 17 )；

(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．

解：(2)第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边，∴第n个等式成立

15．(10分)已知数14的小数部分是b，求b4＋12b3＋37b2＋6b－20的值．

解：分析：因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定

下来，这种涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．

解：因为9＜14＜16，即3＜14＜4，所以14的整数部分为3.则依题意得14＝3＋b，两边平方得14＝9＋6b＋b2，所以b2＋6b＝5.b4＋12b3＋37b2＋6b－20＝(b4＋2·6b3＋36b2)＋(b2＋6b)－20＝(b2＋6b)2＋(b2＋6b)－20＝52＋5－20＝10