周口市高二(下)期末数学试卷(文科)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数

等于（ ）

A． 8 B． ﹣8 C． 8i D． ﹣8i

2

2．曲线y=x+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k是（ ） A． 7 B． 6 C． 5 D． 4

2

3．已知命题p：∃a0∈（0，+∞），a0﹣2a0﹣3＞0，那么命题p的否定是（ ）

22

A． ∃a0∈（0，+∞），a0﹣2a0﹣3≤0 B． ∃a0∈（﹣∞，0），a0﹣2a0﹣3≤0

22

C． ∀a∈（0，+∞），a﹣2a﹣3≤0 D． ∀a∈（﹣∞，0），a﹣2a﹣3≤0

4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A． 1

B． 3

C． 7

D． 15

5．“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

2

6．过抛物线y=12x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（ ） A． 16 B． 12 C． 10 D． 8

x

7．函数f（x）=（x﹣3）e的单调递增区间是（ ） A． （﹣∞，2） B． （0，3） C． （1，4） D． （2，+∞）

2

8．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S3=a2，且S1，S2，S4成等比数列，则a10=（ ） A． 15 B． 19 C． 21 D． 30

1

9．已知F2、F1是双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称

点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A． 3 B． C． 2 D．

10．函f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜=sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（ ）

）的图象如图所示，为了得到g（x）

A． 向右平 C． 向左平

个单位长度 个单位长度

B． 向右平D． 向左平

个单位长度 个单位长度

11．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2+，则f（log220）=（ ） A． 1

12．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x）式f（x）＞

2

x

B． C． ﹣1 D． ﹣

，则不等

的解集为（ ）

A． （1，2） B． （0，1） C． （1，+∞） D． （﹣1，1）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在答题卡的横线上）

13．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.2+3．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元．

2

14．设变量x，y满足，若直线y=kx﹣2，（k＞0）经过该可行域，则k的取值范围

是 ．

15．观察下列一组等式：

①sin30°+cos60°+sin30°cos60°=， ②sin15°+cos45°+sin15°cos45°=， ③sin45°+cos75°+sin45°cos75°=，„，

那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ．

16．已知f（x）=x﹣x+2x+1，x1，x2是f（x）的两个极值点，且0＜x1＜1＜x2＜3，则实数a的取值范围为 ．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 温差x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数y/颗 23 25 30 26 16

（Ⅰ）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．

（Ⅱ）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+．

3

2

2

2

2

2

2

2

（参考公式：=，=﹣）

18．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两 种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．

（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的2×2列联表． （2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．

3

甲班 乙班 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考：

2

P（x≥k） 0.15 0.10 k 2.072 2.706 参考公式：K=

2

合计

0.05 3.841

0.025 5.024 ．

0.010 6.635

0.005 0.001 7.879 10.828

19．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C； （2）若向量

20．已知椭圆C：

=1的左焦点F1的坐标为（﹣

，0），F2是它的右焦点，点M是椭

与

共线，求a、b的值．

，且c=3．

圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），求直线l的方程．

32

21．已知f（x）=xlnx，g（x）=x+ax﹣x+2

（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为（﹣，1），求函数g（x）的解析式；

（Ⅱ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题后的方框涂黑【.选修4—1：几何证明选讲】

22．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上F．

4

上的点（不与点A、C重合），延长BD至

（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；

（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+

，求△ABC外接圆的面积．

【选修4—4：极坐标系与参数方程】 在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为

（α为参数），以原点O为极点，

）=4

．

x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+

（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．

【选修4—5：不等式选讲】 已知函数f（x）=|x﹣3|

（Ⅰ）若不等式f（x﹣1）+f（x）＜a的解集为空集，求a的范围； （Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．

5

河南省周口市2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数

等于（ ）

D． ﹣8i

A． 8 B． ﹣8 C． 8i

考点： 复数代数形式的混合运算． 分析： 先化简复数，然后进行复数幂的运算即可． 解答： 解：由

，

故选D． 点评： 本题考查复数代数形式的运算，复数幂的运算，是基础题．

2

2．曲线y=x+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k是（ ） A． 7 B． 6 C． 5 D． 4

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 根据求导公式求出y′，由导数的几何意义求出在点A（2，10）处的切线的斜率k．

2

解答： 解：由题意知，y=x+3x，则y′=2x+3， ∴在点A（2，10）处的切线的斜率k=4+3=7， 故选：A． 点评： 本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．

2

3．已知命题p：∃a0∈（0，+∞），a0﹣2a0﹣3＞0，那么命题p的否定是（ ）

22

A． ∃a0∈（0，+∞），a0﹣2a0﹣3≤0 B． ∃a0∈（﹣∞，0），a0﹣2a0﹣3≤0

22

C． ∀a∈（0，+∞），a﹣2a﹣3≤0 D． ∀a∈（﹣∞，0），a﹣2a﹣3≤0

考点： 命题的否定． 专题： 简易逻辑． 分析： 根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p的否定命题￢p即可． 解答： 解：根据特称命题的否定是全称命题，得；

2

命题p：∃a0∈（0，+∞），a0﹣2a0﹣3＞0，

2

那么命题p的否定是：∀a∈（0，+∞），a﹣2a﹣3≤0． 故选：C． 点评： 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．

4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

6

A． 1 B． 3 C． 7 D． 15

考点： 程序框图． 专题： 算法和程序框图．

12k

分析： 算法的功能是求S=1+2+2+„+2的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．

12k

解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+2+2+„+2的值， ∵跳出循环的k值为3， ∴输出S=1+2+4=7． 故选：C． 点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．

5．“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=

垂直”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 直线与圆． 分析： 当a=2时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足k1•k2=﹣1即可．利用直线的垂直求出a的值，然后判断充要条件即可．

解答： 解：当a=2时直线y=﹣ax+2的斜率是﹣2，直线y=满足k1•k2=﹣1

∴a=2时直线y=﹣ax+2与y=直线y=﹣ax+2与y=

垂直，

的斜率是2，

垂直，则﹣a•a=﹣1，解得a=±2，

垂直”的充分不必要条件．

“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=

故选A． 点评： 本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．

7

2

6．过抛物线y=12x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（ ） A． 16 B． 12 C． 10 D． 8

考点： 抛物线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

22

分析： 设过抛物线y=12x的焦点的直线方程为x=my+3，代入y=12x，利用韦达定理，求出m，即可求出|AB|．

2

解答： 解：设过抛物线y=12x的焦点的直线方程为x=my+3，

22

代入y=12x，可得y﹣12my﹣36=0， ∴y1+y2=12m，y1y2=﹣36，

2

∴x1+x2=12m+6=3， ∴m=0， ∴x=3，

∴|AB|=2×6=12． 故选：B． 点评： 本题考查弦长的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．

x

7．函数f（x）=（x﹣3）e的单调递增区间是（ ） A． （﹣∞，2） B． （0，3） C． （1，4） D． （2，+∞）

考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 若求解函数f（x）的单调递增区间，利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f′（x）＞0，解出x的取值区间，要考虑f（x）的定义域．

xxx

解答： 解：f′（x）=（x﹣3）′e+（x﹣3）（e）′=（x﹣2）e，求f（x）的单调递增区间，令f′（x）＞0，解得x＞2，故选D． 点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质，值得注意的是，要在定义域内求解单调区间．

2

8．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S3=a2，且S1，S2，S4成等比数列，则a10=（ ） A． 15 B． 19 C． 21 D． 30

考点： 等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由S3=a2，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由求和公式进而可求公差d，结合通项公式进行求解即可． 解答： 解：设数列的公差为d，（d≠0） ∵S3=a2，得：3

2

2

，结合等差数列的

，

8

∴a2=0或a2=3；

∵S1，S2，S4成等比数列， ∴∴

2

2

，

，

若a2=0，则可得d=﹣2d即d=0不符合题意，

2

若a2=3，则可得（6﹣d）=（3﹣d）（12+2d）， 解可得d=0（舍）或d=2， ∴a10=a2+8d=3+8×2=3+16=19， 故选：B． 点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，利用方程组思想是解决本题的关键．

9．已知F2、F1是双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称

点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A． 3 B． C． 2 D．

考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率． 解答： 解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c）， 一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为

=b．

设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A， ∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，

又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角， ∴△MF1F2为直角三角形，

222

∴由勾股定理得4c=c+4b

22222

∴3c=4（c﹣a），∴c=4a， ∴c=2a，∴e=2． 故选C． 点评： 本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

10．函f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜=sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（ ）

）的图象如图所示，为了得到g（x）

9

A． 向右平 C． 向左平

个单位长度 个单位长度

B． 向右平D． 向左平

个单位长度 个单位长度

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 分析： 由函数f（x）的最值求出A=1，求出函数的周期并利用周期公式算出ω=2．再由当x=

时函数有最小值，建立关于φ的等式解出φ=

，从而得到f（x）=sin（2x+

）．最

后根据函数图象平移的公式加以计算，可得答案． 解答： 解：设f（x）的周期为T，根据函数的图象， 可得=

﹣

=

，得T=π，由

=π，可得ω=2．

∵A＞0，函数的最小值为﹣1，∴A=1． 函数表达式为f（x）=sin（2x+φ）， 又∵当x=∴2∵|φ|＜

时，函数有最小值，

（k∈Z），解之得φ=﹣

，

）=sin[2（x+

）]， （k∈Z），

+φ=﹣

，∴取k=1，得φ=

因此，函数的表达式为f（x）=sin（2x+由此可得函数g（x）=sin2x=f（x﹣∴将函数f（x）的图象右移

），

个单位，即可得到g（x）=sin2x的图象．

故选：A 点评： 本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，确定其解析式并讨论函数图象的平移．着重考查了三角函数的图象与性质、函数图象平移公式等知识，属于中档题．

11．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2+，则f（log220）=（ ） A． 1

B．

C． ﹣1

D． ﹣

x

考点： 函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．

10

专题： 计算题． 分析： 根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．

解答： 解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）， ∴函数f（x）为奇函数 又∵f（x﹣2）=f（x+2）

∴函数f（x）为周期为4是周期函数 又∵log232＞log220＞log216 ∴4＜log220＜5

∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2） 又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2+， ∴f（log2）=1

故f（log220）=﹣1 故选C 点评： 本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）判断函数的奇偶性，并求出函数的周期是解答的关键．

12．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x）式f（x）＞

2

x

，则不等

的解集为（ ）

A． （1，2） B． （0，1） C． （1，+∞） D． （﹣1，1）

考点： 导数的运算；其他不等式的解法． 专题： 计算题． 分析： 所求解的不等式是抽象不等式，是与函数有关的不等式，函数的单调性和不等关系最密切．由f′（x）

，构造单调递减函数h（x）=f（x）﹣

，

，利用其单减性求解．

解答： 解：∵f′（x）∴f′（x）﹣＜0， 设h（x）=f（x）﹣

，则h′（x）=f′（x）﹣＜0，

∴h（x）是R上的减函数，且h（1）=f（1）﹣=1﹣=． 不等式f（x）＞即为f（x）

2

2

2

，

x＞，

11

即h（x）＞h（1），

2

得x＜1，解得﹣1＜x＜1， ∴原不等式的解集为（﹣1，1）． 故选：D． 点评： 本题考查抽象不等式求解，关键是利用函数的单调性，根据已知条件和所要解的不等式，找到合适的函数作载体是关键．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在答题卡的横线上）

13．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.2+3．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 0.2 万元．

考点： 线性回归方程． 专题： 概率与统计． 分析： 写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，得到家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加的数字，得到结果． 解答： 解：∵对x的回归直线方程=0.2+3． ∴当家庭年收入增加1万元时，=0.2（x+1）+3，

∵[0.2（x+1）+3]﹣[0.2x+3]=0.2． 故年饮食支出平均增加0.2万元． 故答案为：0.2． 点评： 本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值，注意本题所说的是平均增，注意叙述正确．

2

14．设变量x，y满足，若直线y=kx﹣2，（k＞0）经过该可行域，则k的取值范围

是 （﹣∞，﹣1]∪[） ．

考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用k的几何意义即可得到k的最值．

解答： 解：画出的可行域如图，k为直线y=kx﹣2的斜率，直线过定点P（0，

﹣2），

12

并且直线过可行域的A，B，两个临界点，1，﹣1） ∴k≥kAP=

=，∴k≤kBP=

=﹣1，

）

）．

，解得A（2，﹣1），解得B（﹣

∴k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[

点评： 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的计算，利用z的几何意义，利用数形结

合是解决本题的关键．

15．观察下列一组等式：

①sin30°+cos60°+sin30°cos60°=， ②sin15°+cos45°+sin15°cos45°=， ③sin45°+cos75°+sin45°cos75°=，„，

那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： sin（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°﹣x）+cos（30°﹣x）= ．

考点： 类比推理． 专题： 压轴题；规律型．

22

分析： 观察所给的等式，等号左边是sin30°+cos60°+sin30°cos60°，

2222

3sin15°+cos45°+sin15°cos45°„规律应该是sinx+sinxcos（30°+x）+cos（30°+x），右边的式子：，写出结果． 解答： 解：观察下列一组等式： ①sin30°+cos60°+sin30°cos60°=，

2

22

2

2

2

2

2

2

2

13

②sin15°+cos45°+sin15°cos45°=， ③sin45°+cos75°+sin45°cos75°=，„， 照此规律，可以得到的一般结果应该是

sinx+sinx）cos（30°+x）+cos（30°+x），右边的式子：， ∴sinx+sinxcos（30°+x）+cos（30°+x）=． 证明：sinx+sinx（=sinx+=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

）+（

﹣=．

2

） +

2

+﹣

故答案为：sinx+sinxcos（30°+x）+cos（30°+x）=．

点评： 本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．

16．已知f（x）=x﹣x+2x+1，x1，x2是f（x）的两个极值点，且0＜x1＜1＜x2＜3，则实数a的取值范围为 （3，

） ．

3

2

考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 先求出函数f（x）的导数，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．

2

解答： 解：f′（x）=x﹣ax+2， ∴x1，x2是f′（x）=0的两个根，

由0＜x1＜1＜x2＜3，结合二次函数的性质得：

，

解得：3＜a＜故答案为：（3，

， ）．

点评： 本题考查了导数的应用，考查二次函数的性质，是一道中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

14

17．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 温差x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数y/颗 23 25 30 26 16

（Ⅰ）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．

（Ⅱ）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+．

（参考公式：=，=﹣）

考点： 线性回归方程． 专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m，n的所有取值情况，分析可得m，n均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；

（Ⅱ）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程． 解答： 解：（Ⅰ）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况， m，n的所有取值情况有： （23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30）， （25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个 设“m，n均不小于25”为事件A， 则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26） 所以P（A）=

，

；

故m，n均不小于25的概率为

（Ⅱ）由数据得=12，=27，3•=972，xiyi=977，xi=434，3=432．

22

由公式，得==，=27﹣×12=﹣3．

所以y关于x的线性回归方程为=x﹣3．

点评： 本题考查回归直线方程的计算与应用，涉及古典概型的计算，是基础题，在计算线性回归方程时计算量较大，注意正确计算．

18．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两

15

种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．

（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的2×2列联表． （2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”． 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考：

2

P（x≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：K=

2

．

考点： 性检验的应用． 专题： 应用题；概率与统计．

分析： （1）由所给数据，结合40，即可补全2×2列联表；

（2）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，即可得出结论． 解答： 解：（1） 甲班 乙班 合计 优秀 6 14 20 不优秀 14 6 20 合计 20 20 40 „（6分） （2）K=

2

=6.4＞5.024 „（10分）

因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．„（12分）

2

点评： 本题考查了由茎叶图求分类变量的列联表，及根据列联表计算相关指数K的观测值，考查概率知识的运用，属于中档题．

19．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C；

16

，且c=3．

（2）若向量与共线，求a、b的值．

考点： 余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值；正弦定理． 专题： 计算题．

分析： （1）利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin（2C﹣30°）=1，结合C的范围可求C

（2）由（1）C，可得A+B，结合向量共线的坐标表示可得sinB﹣2sinA=0，利用两角差的正弦公式化简可求 解答： 解：（1）∵∴

，

∴sin（2C﹣30°）=1 ∵0°＜C＜180° ∴C=60°

（2）由（1）可得A+B=120° ∵

与

共线，

∴sinB﹣2sinA=0

∴sin（120°﹣A）=2sinA 整理可得，

即tanA=

∴A=30°，B=90° ∵c=3．

∴a=，b=2 点评： 本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用

20．已知椭圆C：

=1的左焦点F1的坐标为（﹣

，0），F2是它的右焦点，点M是椭

圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），求直线l的方程．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析： （1）由已知得，由此能求出椭圆C的方程．

17

（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为

y=kx﹣2，联立，得（1+4k）x﹣16kx+12=0，由此利用根的判别式、根与系数

22

关系、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程． 解答： 解：（1）∵椭圆C：

=1的左焦点F1的坐标为（﹣

，0）， ，

F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2

∴，

解得a=2，b=1， ∴椭圆C的方程为

．

（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，得（1+4k）x﹣16kx+12=0，

22

△=（﹣16k）﹣48（1+4k）＞0， 由根与系数关系得x1+x2=

，x1•x2=

，

22

∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，

2

∴y1y2=kx1•x2﹣2k（x1+x2）+4． ∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，

2

∴（1+k）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0， ∴

﹣

+4=0，

解得k=±2，

∴直线l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2． 点评： 本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、根与系数关系、向量知识的合理运用．

32

21．已知f（x）=xlnx，g（x）=x+ax﹣x+2

（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为（﹣，1），求函数g（x）的解析式； （Ⅱ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

18

专题： 导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）根据函数的单调区间可知﹣，1是导函数所对应方程的两个根，从而可求出a的值；

（Ⅱ）2xlnx≤3x+2ax﹣1+2在x∈（0，+∞）上恒成立将a分离可得a≥lnx﹣设h（x）=lnx﹣

，利用导数研究h（x）的最大值，可求出a的取值范围．

2

2

，

解答： 解：（Ⅰ）g′（x）=3x+2ax﹣1

由题意3x+2ax﹣1＞0的解集是（﹣，1），即3x+2ax﹣1=0的两根分别是﹣，1 将x=1或﹣代入方程3x+2ax﹣1=0得a=﹣1，

∴g（x）=x﹣x﹣x+2

2

（Ⅱ）由题意知，2xlnx≤3x+2ax﹣1+2在x∈（0，+∞）上恒成立 即a≥lnx﹣

，

3

2

2

2

2

设h（x）=lnx﹣，则

令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0

∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，． ∴a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）． 点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究函数在某点切线方程，同时考查了转化的思想和计算能力，属于难题．

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题后的方框涂黑【.选修4—1：几何证明选讲】

22．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上F．

（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；

（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+

上的点（不与点A、C重合），延长BD至

，求△ABC外接圆的面积．

考点： 与圆有关的比例线段．

19

专题： 选作题；推理和证明．

分析： （1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．

（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，则r+

r=2+

，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．

解答： （1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC． 又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF， 即AD的延长线DF平分∠CDE．„（5分）

（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC， 由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°， 设圆半径为r，则r+

r=2+

，得r=2，外接圆的面积为4π．„（10分）

点评： 本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查外接圆的面积，属于中档题．

【选修4—4：极坐标系与参数方程】 在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为

（α为参数），以原点O为极点，

）=4

．

x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+

（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．

考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．

分析： （1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程． （2）求得椭圆上的点

到直线x+y﹣8=0的距离为

，可得d的最小值，以及此时的α的

值，从而求得点P的坐标．

20

解答： 解：（1）由曲线C1：

，

即曲线C1的普通方程为：由曲线C2：

． 得：

，可得，两式两边平方相加得：

，

即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0， 即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．

（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点﹣8=0的距离为∴当

时，d的最小值为

，此时点P的坐标为

，

． 到直线x+y

点评： 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．

【选修4—5：不等式选讲】 已知函数f（x）=|x﹣3|

（Ⅰ）若不等式f（x﹣1）+f（x）＜a的解集为空集，求a的范围； （Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．

考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： （Ⅰ）由题意可得|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集，而|x﹣4|+|x﹣3|≥1，由此可得a的范围．

22222

（Ⅱ）要证的不等式等价于 （ab﹣3）＞（b﹣3a），再根据（ab﹣3）﹣（b﹣3a）=（a﹣1）（b﹣9）＞0，从而证得f（ab）＞|a|f（）成立．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣3|，不等式f（x﹣1）+f（x）＜a，即|x﹣4|+|x﹣3|＜a．

再根据f（x﹣1）+f（x）＜a的解集为空集，可得|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集． 而|x﹣4|+|x﹣3|≥|（x﹣4）﹣（x﹣3）|=1，∴a≤1． （Ⅱ）∵|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，

∴f（ab）＞|a|f（），等价于|ab﹣3|＞|a|•|﹣3|，等价于|ab﹣3|﹣|b﹣3a|， 等价于（ab﹣3）＞（b﹣3a）．

22222222

再根据（ab﹣3）﹣（b﹣3a）=ab﹣9a﹣b+9=（a﹣1）（b﹣9）＞0， 可得f（ab）＞|a|f（）成立．

2

2

2

21

点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．

22