数形结合思想

摘要：

数学方法是我们经过不断摸索的成功经验的总结，而数形结合思想作为一种重要的思想方法，实现了数和形的相互转化。这样的数学学习模式简缩了数学思维过程，使其呈现跳跃性，促进数学思维朝最优化方向发展。又考虑到现在学生的学习是题海战术，让学生从题海中解脱出来，避免在黑暗中摸索，做到举一反三，触类旁通，从盲目的学习转化为有意义的学习已迫在眉睫。在阅读教育著作的基础上，又结合我的实习经验，我对数形结合思想在中学数学的集合，函数以及不等式，方程，几何中的具体应用做了初步研究。

关键字：数形结合，数学思维，意义学习，中学数学

一.问题提出及意义

在数学的学习中，数形结合思想由来已久。由原始数学萌芽时期的数形的本能结合慢慢发展到古希腊时期的数形结合的特征；在希腊亚历山大时期的数形又有了进一步的发展，随着解析几何的创立，数形结合思想更加成熟；在近代与现代数学中，数形结合已经占据了不可忽视的地位。在历史的漫漫演化过程中，数形结合经历了一定的蜕变，发展。

数学的学习中，学生会遇到一些瓶颈，不能将数和形融合到一起解决问题，而数学是研究空间形式和数量关系的科学，因此数形结合思想能充分调动学生的形象思维和逻辑思维，并能创造性的的将疑难问题转化为学生可解问题。另外，数形结合思想传递给学生直觉思维并且简化活跃思维，还能激发学习兴趣，调动积极性和主观能动性。而且，数学中的很多概念、定理及公式，由于抽象难以理解和记忆，若借助图形理解与记忆，对数学的本质会有一个更为清晰的认识。虽然师生在数学的学习中会经常地运用数形结合思想解决问题，但是对数形结合缺乏实质的理解，因此在阅读了有关的文献将对数形结合作具体详细的研究。

二.数形结合思想应用的原则和途经

我们既已知道数形结合思想在数学学习中的重要性，但是要想把数形结合思想应用在具体的解题过程，就要遵循解题原则，和对解题途径有一个整体的认识。

原则：

（1）等价性原则：数的代数性质和形的几何转化是相对应的，形与数所反映的对应关系具有一致性。例如：求x32sinx的实根个数。表面看上去是求解方程，属于代数问题，而以高中生的水平很难解决这样的方程问题，但是数形结合思想的渗透能有利于学生形成发散思维能力，从另一个截然不同的方面思考问题，就

会有柳暗花明的感觉。转化为画出两个函数的图像找出他们的交点个数（也就是方程根的个数），此题就迎刃而解。但是在利用图像解题时由于画图不够精确可能导致漏解，但是考虑到等价性原则，代数和几何解题的结果应该有一致性，因此在画图时应该找出特殊点，这样能在很大程度上避免错误。

（2）双向性原则：几何直观的的形象分析和代数运算的探索。我们应该鼓励学生从多方位思考问题，辩证的解决问题，这样能逐渐形成发散思维能力和创造性能力，而且能在探索的过程中体会数和形的联系，找出更简便的方法。

（3）简单性原则：数形结合时尽可能使构图简单合理，使几何形象优美而且又使代数运算简洁明了。我们之所以倡导使用数形结合来解决问题就是想让问题简单化，把复杂或者我们不熟识的问题转化为我们容易理解的，因此在利用数形结合思想解决问题时，应该本着简单性原则去考虑问题。 途径

数形结合是一柄很好的解题利剑，分为两种途径： 1、由数到形的转换途径

(1)方程或不等式问题在大部分的情况下可以转化为两个图象的交点，位置关系的问题，然后借助函数的图象和性质解决问题。

(2)构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将a2与正方形的面积互化，将abc与体积互化，以及勾股定理的互化等等。

(3)结合曲线与方程的“形与数”的对应：把方程转化为：两点间距离，点至直线的距离，直线的斜率，直线的截距等。 2、由形到数的转换途径

(1)解析法:根据题中的已知条件，建立合适的坐标系，这样坐标的引进就把几何问题转化为代数问题。这在解析几何中是比较常用的一些方法，考虑到学生的思维水平的差异，有的学生抽象思维能力比较薄弱，三维空间对于他们来说理解起来比较困难，但是他们的逻辑思维能力相对的比较强，因此他们会优先选择建立直角坐标系也就是转化为他们熟识的代数问题来解决问题。 (2)三角法:把几何问题与三角形建立关系。利用三角函数图像解决定义域，方程根的个数，以及比较大小等问题。

(3)向量法:将几何图形转化为向量的问题，运用向量解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题，把抽象的几何推理转化为代数运算。对于抽象思维能力比较薄弱的学生，空间向量法使立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题有法可依。