专题12 探究弹簧弹力与形变量的关系(解析版)

2023届高三物理一轮复习度导学与分层专练

专题12 探究弹簧弹力与形变量的关系

导练目标 目标1 目标2 【知识导学与典例导练】 一、教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理 1.实验目的：探究弹簧弹力与形变量的定量关系。 2.实验器材

导练内容 教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理 新高考的改进创新实验

弹簧、毫米刻度尺、铁架台、钩码若干、坐标纸。 3.实验原理：

用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹力大小与弹簧伸长量间的关系。 4.数据处理：

（1）以弹力F为纵坐标,以弹簧的伸长量x为横坐标,建立坐标系,选取合适的单位,用描点法作图。用平滑的曲线连接各点,得到弹力F随弹簧伸长量x变化的关系图像。

（2）以弹簧的伸长量为自变量,写出曲线所代表的函数。首先尝试一次函数,如果不行,则考虑二次函数等。

（3）得出弹力和弹簧伸长量之间的定量关系,解释函数表达式中常数的物理意义。

5.误差分析：

（1）钩码标值不准确、弹簧长度测量不准确以及画图时描点连线不准确等都会引起实验误差。

（2）悬挂钩码数量过多,导致弹簧的形变量超出其弹性限度,不再符合胡克定律(F=kx),故图像发生弯曲。

（3）水平放置弹簧测量其原长,由于弹簧有自重,将其悬挂起来后会有一定的伸长量,故图像横轴截距不为零。

【例1】某学习小组用如图甲所示的装置来“探究弹簧弹力与形变量的关系”，主要步骤如下：

（1）把弹簧平放在水平桌面上，测出弹簧的原长x0； （2）测出一个钩码的质量m0；

（3）将该弹簧悬吊在铁架台上让弹簧自然下垂，测出此时弹簧长度l0； （4）挂上一个钩码，测出此时弹簧长度l1；

（5）之后逐渐增加钩码的个数，并测出弹簧对应的长度分别为li（i为钩码个数）；

（6）计算出xlix0，用x作为横坐标，钩码的总质量作为纵坐标，作出的图线如乙图所示。请根据以上操作、记录和图像回答以下问题： ①你认为m-x图像不过原点的原因是_________；

②已知钩码质量m0=0.20kg，重力加速度g=9.8m/s2，利用图乙求得弹簧劲度系数k=_________N/m（保留两位有效数字）；

③m-x图像没过坐标原点，对于测量弹簧的劲度系数_________（选填“有”或“无”）影响； ④将xlil0作为横坐标，钩码的总质量作为纵坐标，实验得到图线应是图中的_________。（填写下列四幅图的对应的字母选项）

A．B．C．D．

【答案】 弹簧自重的影响 2.6102 无 A

【详解】①[1] m-x图像不过原点，即弹簧自然下垂时其长度大于平放在水平桌面上的长度，这是由于弹簧自重的影响；

②[2]图像的斜率与g的乘积表示劲度系数，即kmg2.6102N/m x③[3]设由于弹簧自重引起的伸长量为l，则根据胡克定律有im0gk(xl)

由上式可知实际作出的图像的斜率由劲度系数决定，所以图像没过坐标原点，对于测量弹簧的劲度系数无影响；

④[4]将xlil0作为横坐标，钩码的总质量作为纵坐标，则此时的x为弹簧伸长量的真实值，消除了弹簧自重的影响，所作图像应为过原点的倾斜直线。故选A。 二、新高考的改进创新实验 1.实验方案的创新

【例2】2020年12月8日，中尼两国共同宣布了珠穆朗玛峰的最新高度为海拔8848.86米，此次珠峰高度测量使用了重力仪、超长距离测距仪等一大批国产现代测量设备。重力仪的内

部包含了由弹簧组成的静力平衡系统。为测量弹簧劲度系数，探究小组设计了如下实验，实验装置如图1所示，角度传感器固定在可转动的“T”形竖直螺杆上端，可显示螺杆转过的角度。“T”形螺杆中部套有螺母，螺母上固定力传感器。所测弹簧上端挂在力传感器上，下端“T”形螺杆转动时，固定在铁架台底座上，力传感器可显示弹簧弹力大小。力传感器会随着“T”形螺杆旋转而上下平移，弹簧长度随之发生变化。

（1）该探究小组操作步骤如下：

①旋转螺杆使弹簧初始长度等于原长，对应的角度传感器示数调为0； ②旋转“T”形螺杆使弹簧长度增加，记录力传感器示数F及角度传感器示数； ③多次旋转“T”形螺杆，重复步骤②的操作，记录多组对应F、值； ④用所测数据作出Fθ图像，如图2。

（2）若螺杆的螺距（螺杆转动一周杆沿轴线前进的距离）为6mm，则角度传感器示数为240时弹簧的伸长量x______m。

1（3）由Fθ图像可知弹力F与弹簧的伸长量_______成正比（填“x”、“x2”、“”），结合

x图像算出弹簧的劲度系数k______N/m。 【答案】 4103 x 15

【详解】（1） [1]转动的角度与移动的距离关系为

6x解得x4mm4103m 360240（2）[2]因为转动的角度与弹簧的伸长量成正比，而根据图像，转动的角度与弹簧弹力成正比，所以弹力F与弹簧的伸长量x成正比。

[3]由图可知，当角度为4000时，弹力为1N。此时的形变为

6x200mm弹解得x36040003簧的劲度系数

kF1000N/m=15N/m x20032.实验器材的创新

【例3】某同学做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验，轻质弹簧上端固定一个力传感器固定在铁架台上，如图甲所示，当手向左拉伸弹簧时，轻质弹簧弹力F可以从传感器读出，弹簧的长度可以通过左侧的刻度读出。

(1)图甲是在弹簧下端施加拉力后弹簧两端对应刻度数，已知弹簧上端对应的刻度值为7.10cm，则此时弹簧长度x_________cm。

(2)通过实验，测量出多组数据，并描绘出弹簧长度x与弹力F的关系图线，如图乙所示，由图像可得该弹簧的劲度系数k__________（用图中字母表示）。 (3)图乙中图像AB段发生弯曲，造成这种现象的主要原因是_________。

【答案】 7.55（7.53-7.57均可） 再满足线性关系

F1 AB段长度超过弹性限度，弹力和弹簧长度不x1x0【详解】(1)［1］由图可知弹簧上端对应的刻度值为14.cm，所以此时弹簧长度x=14.-7.10=7.cm

(2)［2］在F-x图象中，斜率代表弹簧的劲度系数kF1F xx1x0

(3)［3］图乙中图像AB段发生弯曲，造成这种现象的主要原因是AB段长度超过弹性限度，弹力和弹簧长度不再满足线性关系。 3.实验目的的创新

【例4】在探究弹簧形变与弹力的关系时，实验小组把两根轻弹簧I、II按如图所示的方式连B的示数LA、接起来，在弹性限度内，将质量为50g的钩码逐个挂在弹簧下端，得到指针A、LB见下表，取g=9.80m/s2。

钩码数 1 2 3 4 LA/cm LB/cm 15.76 19.77 23.67 27.76 29.96 35.76 41.51 47.36 （1）通过对比表中的数据可知，弹簧Ⅰ的劲度系数___________（选填“大于”“小于”或“等于”）弹簧Ⅰ的劲度系数。

（2）利用表中的数据计算出弹簧Ⅰ的原长为___________cm。（结果保留两位小数） （3）挂上一个钩码，待弹簧静止后，弹簧Ⅰ、Ⅰ的伸长量之和为___________cm，由此可知，若将弹簧Ⅰ和Ⅰ串联起来视为一个弹簧，其等效劲度系数等于___________N/m。（结果保留三位有效数字）

【答案】 小于 11.76 5.80 8.45

【详解】（1）[1] 挂上第二个钩码后，弹簧Ⅰ伸长量xA19.77cm15.76cm4.01cm弹簧Ⅰ

伸长量xB35.76cm29.96cmxA1.79cm根据胡克定律，弹簧Ⅰ的劲度系数小于弹簧Ⅰ的劲度系数。

（2）[2]设弹簧Ⅰ的原长为L0，则L0mg4mg15.76cmL027.76cm联立得L011.76cm kk（3）[3][4] 挂上一个钩码，待弹簧静止后，弹簧Ⅰ、Ⅰ的伸长量之和为

x35.76cm-29.96cm=5.80cm

由此可知，若将弹簧Ⅰ和Ⅰ串联起来视为一个弹簧，其等效劲度系数等于

mg501039.8k0N/m8.45N/m

x5.80102【度分层专练】

1．如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码，探究“在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系”实验。

（1）实验中还需要的测量工具有___________。

（2）如图乙所示，根据实验数据绘图，纵轴是钩码质量m，横轴是弹簧的形变量x。由图像可得结论：在弹簧的弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的伸长量成___________（填“正比”或“反比”），弹簧的劲度系数k=___________N/m（计算结果保留2位有效数字，重力加速度g取10m/s2）。

（3）如图丙所示，实验中用两根不同的弹簧a和b，作出弹簧弹力F与弹簧长度L的FL图像，下列说法正确的是___________。

A．a的原长比b的短 B．a的劲度系数比b的大 C．a的劲度系数比b的小 D．弹力与弹簧长度成正比

【答案】 刻度尺 正比 5.0 AB#BA

【详解】（1）[1]实验需要测量弹簧伸长的长度，故还需要刻度尺；

（2）[2]由于图像是一条过坐标原点的倾斜直线，故可得出结论：在弹簧的弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的伸长量成正比；

[3]根据Fkx由图线乙可得，图线的斜率等于弹簧的劲度系数，即

3F40101010kN/m5.0N/m

x82102（3）[4]A．由图丙知，FL图像横坐标的截距表示原长，所以a的原长比b的短，故A正确；

BC．斜率越大，劲度系数越大，所以a的劲度系数比b的大，故B正确，C错误； D．弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比，与弹簧长度不成正比，故D错误。故选AB。 2．某同学用如图所示的装置测量弹簧的劲度系数k。将弹簧竖直悬挂在铁架台上，指针固定在弹簧上P1处，将刻度尺竖直固定在弹簧一侧，在弹簧下端依次悬挂2个到7个砝码，当 砝码处于静止状态时，测出弹簧受到的拉力Fn与指针所指的刻度尺示数Ln，实验记录如下：砝码个数n 2 3 4 5 6 7 Fn（N） 0.98 1.47 1.96 2.45 2.94 3.43 Ln（cm） 17.65 19.82 21.98 24.15 26.32 28.45 弹簧伸长量xnLn3Lncm 6.50 ① 6.47 回答下列问题： （1）由表可知所用刻度尺的分度为___________； （2）将表中数据补充完整：①=___________；

（3）根据逐差法计算出弹簧的劲度系数k___________N/cm（结果保留三位有效数字）； （4）如图所示，若将固定在弹簧上P1处的指针改为固定在弹簧上P2处，重做上述实验，则测得的劲度系数k___________k（选填“大于”“等于”“小于”）。

【答案】 1mm 6.50 0.227 大于

【详解】（1）[1]表格中数据到了毫米的下一位，所以所用刻度尺的分度为1mm； （2）[2]根据公式xnLn3Ln代入数据得①L6L326.32cm19.82cm6.50cm （3）[3]根据Fkx结合逐差法计算出弹簧的劲度系数

kF4F5F6F1F2F3N/cm0.227N/cm

6.506.506.47（4）[4]如图所示，若将固定在弹簧上P1处的指针改为固定在弹簧上P2处，相当于测量时，少测量了弹簧的伸长量，则则测得的劲度系数变大。

3．某同学利用图（a）的装置测量轻弹簧的劲度系数。图中，光滑细杆和直尺水平固定在铁架台上，一轻弹簧穿在细杆上，其左端固定，右端与水平细绳连接；细绳跨过光滑定滑轮，其下端可以悬挂砝码（实验中，每个砝码的质量均为m=50.0g），弹簧右端连有一竖直指针，其位置可在直尺上读出，实验步骤如下：

①在绳下端挂上一个砝码，调整滑轮，使弹簧与滑轮间的细线水平且弹簧与细杆没有接触； ②系统静止后，记录砝码的个数及指针的位置；

③逐次增加砝码个数，并重复步骤②（保持弹簧在弹性限度内）；

④用n表示砝码的个数，l表示相应的指针位置，将获得的数据记录在表格内。

回答下列问题：

（1）根据下表的实验数据在图（b）中描点并作出n-l图像；( ) n 1 2 3 4 5 l/cm 10.48 10.96 11.45 11.95 12.40 （2）弹簧的劲度系数k可用砝码质量m、重力加速度大小g及n-l图线的斜率a表示，表达式为k=___________；若g取9.80m/s2，则本实验中k=___________N/m（该计算结果保留3位有效数字）。

【答案】 amg 98.0（96.0~100）

【详解】（1）[1]根据表中实验数据在坐标系内描出对应点，让尽可能多的点过直线，不能过直线的点对称分布在直线两侧，根据坐标系内描出的点作出图像如图所示

（2）[2][3]n-l图线的斜率an6200个/m由胡克定律弹簧弹力l(13.010.0)102Fkll0

由题意可知，弹簧弹力Fnmg已知每个砝码的质量均为m50.0g0.0500kg则弹簧的劲度系数表达式

kamg代入数据解得，弹簧的劲度系数k98.0N/m

4．橡皮筋也像弹簧一样，在弹性限度内伸长量x与弹力F成正比，即Fkx，k的值与橡皮筋的原长L、横截面积S有关。理论与实验都表明k材料力学中称之为杨氏模量。

YS，其中Y是由材料决定的常数，L

（1）在国际单位制中，杨氏模量Y的单位应该是___________。 A．N B．m C．N/m D．N/m2

（2）某同学通过实验测得该橡皮筋的一些数据，做出了外力F与伸长量x之间的关系图像

如上图所示。由图像可求得该橡皮筋的劲度系数k___________N/m。

（3）若该橡皮筋的原长是15.0cm，横截面积是1.0mm2，则该橡皮筋的杨氏模量Y的大小是___________（结果保留两位有效数字）。 【答案】 D 200 3.0107N/m2 【详解】（1）[1]根据Fkx，kYS将物理量间的换算关系变为单位间的换算关系，杨氏L模量Y的单位应该是N/m2。故选D。 （2）[2]根据图像得，劲度系数为kYS整理得YLkLS60N/m200N/m

31020（3）[3]由k3.0107N/m2

5．如图所示，在弹簧的悬点和下端之间系一根橡皮条，某同学用该器材探究弹力和弹簧伸长的关系时，在弹性限度内，将质量m50g的钩码逐个挂在弹簧下端，测得图中弹簧的长度L1如下表所示。

钩码个数 1 2 3 4 5 6 7 8 L/cm 30.00 31.04 32.02 33.02 33. 34.02 34.43 34.82 已知重力加速度g9.8m/s2，由表中数据分析在挂___________个钩码时橡皮条开始产生拉力，要求尽可能多地利用测量数据，计算弹簧的劲度系数k___________N/m（结果保留两位有效数字）。由表中数据___________（填“能”或“不能”）计算出橡皮条的劲度系数。 【答案】 5 49 能

【详解】[1]由表中数据分析可知，在挂前4个钩码时，每增加一个钩码，弹簧的长度增加

约为1cm，在挂第5个钩码时弹簧长度增加约为0.6cm，而挂后面3个钩码时，每增加一个钩码，弹簧的长度增加约为0.4cm，所以在挂第5个钩码时橡皮条开始产生拉力； [2]在挂前4个钩码时只有弹簧伸长产生拉力，要充分利用数据由逐差法有

xL4L2L3L11.0cm

4F49N/m x由胡克定律Fkx有k[3]根据表中数据可知，挂后面3个钩码时，每增加一个钩码，弹簧的长度增加约为0.4cm， 设橡皮条的劲度系数为k1，根据胡克定律有kx1k1x1mg则可以求得橡皮条的劲度系数。6．某同学想测量两根材料不同、粗细不同、长度不同的轻弹簧的劲度系数，他设计了如图（a）所示的实验装置。实验操作步骤如下：

①将一根粗细均匀的杆竖直固定在水平面上，在其表面涂上光滑材料；

②将轻弹簧A套在竖直杆上，将轻弹簧B套在弹簧A外面，弹簧A与杆之间以及弹簧B与弹簧A之间均有一定间隙；

③将刻度尺竖直固定在弹簧左侧，读出此时弹簧A、B的长度；

④将金属圆环套在竖直杆上并轻轻放在弹簧上，待圆环平衡后从刻度尺上读出弹簧A、B的长度；

⑤逐渐增加金属圆环（与此前所加的金属圆环完全相同）个数，重复步骤④；

⑥根据实验数据得出弹簧上方所加金属圆环的个数n及弹簧A对应的形变量x，通过计算机拟合出如图（b）所示的xn图像；

⑦用天平测量出一个金属圆环的质量为100g，实验过程中未超过弹簧的弹性限度，重力加速度g取9.80m/s2。

回答下列问题：

（1）弹簧A、B的劲度系数分别为kA___________N/m，kB___________N/m； （2）若把弹簧A、B串接在一起，将一端固定在天花板上，另一端悬挂一重力为G的物块，则物块静止时两弹簧的伸长量之和l___________（用kA、kB、G表示）。 【答案】 156.8 235.2 G(11) kAkB【详解】（1）[1][2]由题可知，圆环数为4个时，恰好压在弹簧B上，且不受到B的弹力，此前，圆环仅受弹簧A的弹力，此后受到A、B两个弹簧的弹力，对n4时4mgkAx1解得kA156.8N/m对n8时8mgkAx2kB(x2x1)解得kB235.2N/m

（2）[3]串联时，两个弹簧的拉力相等，则lAGG11；lB可得llAlBG()

kAkBkAkB7．某同学在研究性学习中，利用所学的知识设计了如下的实验：一轻弹簧一端固定于某一开口向右的小筒中（没有外力作用时弹簧的另一端也位于筒内），如图甲所示，如果本实验所用刻度尺的零刻度线恰好与弹簧左端对齐，在弹簧右端安装一个指针指向刻度尺，该同学通过改变细线上所挂钩码（未画出）的个数来改变弹簧的长度l，现将测量数据记录在图乙表中，现要求在图丙中作出Fl图线，并利用测量数据及描绘出的图线，对弹簧的有关特性进行研究，重力加速度g10m/s2。

m/kg l/cm 图乙

1.0 25 2.0 35 3.0 45 4.0 55

（1）根据题目要求在图丙中作出Fl图线______；

（2）该实验设计排除了________对实验的影响，由Fl图象可得出的结论是________； （3）弹簧的劲度系数为_________N/m，原长为_________cm。

【答案】 弹簧自身重力 在弹性限度内弹力与弹簧的伸长量成正比 100 15 【详解】（1）[1]根据实验数据在坐标系中描点连线如图所示

[2]把弹簧竖直悬挂进行实验时，（2）由于弹簧自身的重力往往使弹簧长度的测量存在误差，本实验把弹簧水平放置进行实验，排除了弹簧自身重力对实验的影响；

[3]根据图象结合数学知识可知，图线与横轴的交点的横坐标表示弹簧的原长，由图线可建立F与l的函数关系Fkll0图线的斜率为k长量成正比；

（3）[4]根据胡克定律有Fkll0说明弹簧的劲度系数大小等于图线的斜率，故

kF4010N/m100N/m l(5525)102F说明在弹性限度内，弹力与弹簧的伸l

[5]弹簧原长l015cm

8．在“探究弹力与弹簧伸长量的关系”实验中，某实验小组采用传感器进行实验探究。实验装置如图甲所示，将力传感器和位移接收器固定在铁架台上，弹簧竖直悬挂，两端分别与力传感器和位移发射器连接。

实验过程中在位移发射器的挂钩上依次挂上钩码，如图乙，待稳定后通过电脑采集力传感器和位移传感器的数据。力传感器记录力F，位移传感器记录发射端到接收端的距离L（两个端口间的位移可以看成竖直方向），采集到的数据如下表。 悬挂钩码个数 0 1 2 3 4 5 6 力F/N 0.75 0.95 1.13 1.34 1.53 1.73 1.93 位移L/cm 18.6 19.6 20.6 21.6 22.8 23.8 24.9 （1）悬挂钩码数为4时，由悬挂的所有钩码引起的弹簧伸长量为______cm；

（2）为了探究弹簧弹力和伸长量的关系，实验小组成员将悬挂1至6个钩码时的力和位移分别减去未悬挂钩码时的力和位移，通过电脑拟合得到ΔF−ΔL的关系图像； （3）由图像可得弹簧的劲度系数k=______N/m；（结果保留小数点后一位）

（4）取下所有钩码，用手托住位移发射器，使位移发射器恰对弹簧无拉力，发现此时位移传感器采集到的数据为15.8cm，由此可计算位移发射器所受重力为______N。（结果保留小数点后两位）

【答案】 4.2 18.6 0.52

【详解】（1）[1]由表中数据可得悬挂钩码数为4时，由悬挂的所有钩码引起的弹簧伸长量为x(22.818.6)cm=4.2cm； （3）[2]由图像可得劲度系数为kF1.931.13Nm18.6Nm L(24.920.6)102（4）[3]由题意知弹簧原长为15.8cm，故悬挂位移发射器时的伸长量为x'(18.615.8)cm2.8cm

所以位移发射器所受重力为mgkx'18.62.8102N0.52N