教你怎么利用数学概率购买彩票

教你怎么利用数学几率采办彩票

之邯郸勺丸创作

时间：二O二一年七月二十九日 一些彩民朋友喜欢用数学知识来研究彩票规律,那么下面就一些简明易懂又行之有效的办法,希望能在大家采办彩票方面助上一臂之力.

第一讲 加法原则和乘法原则

在求排列组合时,经常要用到两条原则----加法原则和乘法原则.

先看下面的问题：

从甲地到乙地,可以乘火车,可以乘汽车,也可以乘轮船.一天中,火车有4班,汽车有2班,轮船有3班.问从甲地到乙地共有几种走法？

解：因为乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,因此从甲地到乙地共有 4+2+3=9种不合的走法. 一般地,有如下的原则：

时间：二O二一年七月二十九日

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加法原则：完成一件事,有n类办法,在第一类办法中有m1种不合的办法,在第二类办法中有m2种不合的办法,……,在第n类办法中有mn种不合的办法.那么,完成这件事共有 N＝m1十m2十……十mn 种不合的办法.

再看下面的问题：

从甲地到丙地必须经过乙地,从甲地到乙地有A,B,C,D四条道路；从乙地到丙地有H,I,J三条道路.问从甲地到丙地共有几种走法？

因为从甲地到乙地有4种走法,而采取每一种走法走到乙地后,又可有3种走法到丙地.所以共有 4*3=12种不合的走法. 一般地,有如下的原则：

乘法原则：完成一件事,有n个步调,第一步有m1种不合的办法,第二步有m2种不合的办法,……,第n步有mn种不合的办法,必须通过每一步调,才算完成这件事,那么完成这件事共有 N＝m1×m2×……×mn种不合的办法. 思考题：

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1,一件任务可以用两种办法完成.有5人会用第一种办法完成,另有4人会用第二种办法完成.选出1人来完成这件任务,共有多少种办法？

2,一件任务要通过两个步调完成,第一个步调有5种办法可以完成,第二个步调有4种办法可以完成.问完成这件任务共有几种办法？

第二讲 排列（一）排列的概念 关于排列,我们先看下面的例子：

例：由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重单数字的三位数? 解：题中所指“没有重单数字”就是三位数中的三个数字不克不及是同一数字.按照题意.

第一步,先确定百位上的数字.在1,2,3,4这四个数字中任取一个,共有4种办法；假设我们取3作为百位数.

第二步,确定十位上的数字.当百位上的数字确定以后,十位上的数字只能从余下的三个数字中1,2,4中去取,共有3种办法；假设我们取2作为十位数.

第三步,确定个位上的数字.当百位、十位上的数字都确定以后,个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取,共有2种办法.

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按照乘法原理,从四个不合的数字中,每次取出三个排成三位数的办法共有 4×3×2＝24 种.就是说,共可以排成24个不合的三位数.

定义1：一般地说,从n个不合元素中,任取m (m＜＝n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况),依照一定的顺序排成一列,叫做从n个不合元素中取出个m元素的一个排列.

从排列的定义知道,如果两个排列相同,不但这两个排列的元素相同,并且排列的顺序也必须完全相同.如果所取的元素不完全相同,如问题中的三位数“123”和“321”,虽然它们的元素相同,但排列顺序不合,也是两个不合的排列. 思考题：

由数字0,1,2,3,4可以组成多少个没有重单数字的三位数? 第三讲 排列（二）有重复的排列

上一讲我们讨论的排列中是不允许有重复的元素,但是很多情况下我们碰到的是有重复元素的问题,所以有需要对此作一下讨论.

在定义前,我们先看一下下面的例子：

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例：由1－9这九个数字,共可组成多少个六位数？（每个位置上的数字可以重复）

解：1,先确定十万位上的数字.在1－9这九个数字中任取一个,共有9种办法.

2,确定万位上的数字.在1－9这九个数字中任取一个,还是有9种办法.

3,千位,百位,十位和个位上的数字取法如上,都为9种. 4,按照乘法原理,共有 9×9×9×9×9×9＝531441 种取法. 定义2：一般地说,从n个不合元素中,任取m (m＜＝n)个元素(元素可以重复）,依照一定的顺序排成一列,叫做有重复的排列. 在我们身边,“数字型彩票”就是属于有重复的排列.它的游戏规则大家肯定不会陌生,是从0－9这10个数字中任取6个数字组成一个六位数,然后从0－4这5个数字中任取1个数字作为特别号码.只不过这个六位数和数学意义上的六位数有些不合,它允许0作为十万位上的数字.

由上述的定义2,不难算出“数字型彩票”共有每次开奖共有 特别号码个数×106 种 即五百万个不合的开奖号码.

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第四讲 排列（三）排列数的计算公式

前面两讲中我们讨论的是一些比较简单的排列问题,可以用穷举的办法来解决.但对于一些相对较庞杂的问题,就不克不及这样做了,需要按照具体的计算公式来解答.

定义3：从n个不合元素中,任取m (m＜＝n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不合元素中取出m个元素的排列数,用符号P(m,n) 暗示.

例如：从5个不合元素中取出3个元素的排列数暗示为P(3,5). 求排列数P(m,n)可以这样考虑：设有n个元素m1,m2,...,mn 从其中先任选1个元素排在第一个位置,因为m1,m2,...,mn中任选1个都可以,所以有n种办法；

排在第二个位置的元素,是除了选作第一位的元素以外的n-1个元素中再任选一个,所以有n-1种办法；

这样下去,选第三个,第四个......第m个位置的元素的办法,数目辨别是n-2,n-3,...,n-(m-1).

按照乘法原则,它们的总数是这m个排列办法的数目的积,即n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1),所以

P(m,n)=n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1).这里m<=n.

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这就是说,从n个元素中每次取出m个元素,所有的排列总数等于m个连续自然数的积,其中最大的一个数是n,这个公式叫做排列数公式.

当m=n时,叫做n个不合元素的全排列.

思考题： 计算排列数 P(2,4),P(4,6),P(7,7) 第五讲 排列（四）排列数计算公式的应用

学习了排列数的计算后,我们基本可以解决所有只牵涉到排列的问题.看一下下面的这两个例子.

例1：红,黄,蓝三种颜色不合的旗,按不合的次序排成一列暗示信号,可以单用一面,或两面,三面并用,问一共可以暗示多少不合的信号？

解：一面组成的信号有P(1,3)种； 两面组成的信号有P(2,3)种； 三面组成的信号有P(3,3)种. 按照加法原则,得：

P(1,3)+P(2,3)+P(3,3)=3+3*2+3*2*1=15 (种)

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例2：有一分,两分,五分的硬币各若干枚.从中挑出1-3枚硬币暗示一种代号.可以只用一枚,也可用两枚,也可用三枚,允许重复挑选.问一共有多少种不合的代号？

解：这个问题要按照元素重复的排列计算公式来解决. 一枚暗示的代号有31种, 两枚暗示的代号有32种, 三枚暗示的代号有33种.

按照加法原则,得： 31+32+33=3+9+27=39（种）

思考题：在设置电话卡的密码时,可以从0-9这十个数字选取,组成一个密码（密码至少要有四位,五位也可以,最多不超出六位）.问一共有多少个不合的密码？（按有重单数字和无重单数字两种情况讨论）

第六讲 组合（一）组合的性质 让我们先看一下下面的例子：

例：北京--天津--上海三个民航站的直达航线,一共有几种不合的飞机票价？

解：因为北京--上海,上海--南京,南京--北京三条航线的距离各不相同,所以有3种不合的飞机票价.

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这个问题与需要准备几种不合的飞机票是不合的.飞机票的总数,与两个城市的先后顺序有关,这是一个排列问题；而票价只与两个城市的距离有关,与两个城市的先后顺序无关,因此可以看作是从三个不合的元素中任选两个,不管怎样的顺序并成一组,求一共有多少个不合的组,这就是我们要研究的组合问题.

定义：一般地说,从n个不合元素里,每次取出m (1<=m<=n)个元素, 不管怎样的顺序并成一组,叫做从n个元素里每次取出m个元素的组合.

例如：从3个元素a,b,c里每次取出2个元素的组合,就是指下列三种组合ab,ac,bc.

由组合的定义可以知道,如果两种组合里所含的元素完全一样,只是排列的顺序不合,如ab和ba,那么它们仍是相同的组合.

由此可知,组合和排列是不合的.排列和元素排列的顺序有关,但是组合和这种顺序没有关系. 思考题：

1,从2,3,5,7,11,13这六个数中,每次取出3个数相乘.问可以得到多少个不合的积？

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2,一分,二分,五分硬币各一枚,一共可以组成多少种不合的币值？

第七讲 组合（二）组合数的计算公式

由于组合数的计算公式的推导过程比排列要麻烦,所以我们这里略去庞杂的推导过程,直接给出组合数的计算公式.

定义：从n个不合元素中取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不合元素中取出m个元素的组合数,用C(m,n)暗示. C(m,n)=n*(n-1)*...*(n-m+1) / (1*2*...*m) 当m=n时,C(m,n)=1.

让我们来看下面这个例题：

例：有七团体进行乒乓球角逐,采取单循环制,即每两人之间要进行一场角逐.问共要进行多少场角逐？

解：这个问题等同于从7个不合的元素中选取2个元素的所有组合个数.

所以角逐场数等于C(2,7)=7*...*(7-2+1)/(1*2)=7*6/2=21 思考题：

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袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,要求取出的顺序为黑白黑.问共有多少种这样的顺序？ 第八讲 组合（三）组合的推广

定义1:若r1+r2+......+rk=n,把n个不合的元素分红k个部分,第一部分r1个,第二部分r2个,......,第k部分rk个,则不合的分法有：

n! / (r1!*r2!*......*rk!) 种

这里n!叫做n的阶层,它的值为n！= 1*2*......*n ； 定义2:若n个元素中有n1个具有特性“1”, n2个具有特性“2”,......,nk个具有特性“k”,且n1＋n2＋......＋nk＝ n,从这n个元素中取出r个,使得具有特性“i”的元素有ri个(1<=i<=k),而r1＋r2＋......＋rk＝r ,这时不合的取法的总数为：

C(r1,n1)*C(r2,n2)*......*C(rk,nk) ,这里要求ri <= ni . 例：有10个砝码,其重量辨别为1克,2克,......,10克,从中取出三个；要求取出的三个砝码,一个小于5克,一个等于5克,一个大于5克.问共有多少种不合的取法？

时间：二O二一年七月二十九日

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解：由上述的定义2,我们认为1克－4克的砝码具有特性“1”,5克的砝码具有特性“2”,6克－10克的砝码具有特性“3”.从这10个砝码中取出三个,具有特性“1”、特性“2” 、特性“3”的各取一个,则不合取法总数为：

C(1,4)*C(1,1)*......*C(1,5)＝4*1*5＝20 (种) 思考题：

在一个装有n只白球,n只黑球,n只红球的袋中,任取m只球,要求取出的m只球中有m1只白球,m2只黑球,m3只红球(m1+m2+m3=m),问共有多少种不合的取法？

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