中考训练专题之相似三角形

中考训练专题之相似三角形

一、比例

1．第四比例项、比例中项、比例线段； 2．比例性质： （1）基本性质：（2）合比定理：（3）等比定理：

abababcdcdcdadbc abbmnabbcb2ac

cdd

ab.(bdn0)

2acmbdn3．黄金分割：如图，若PAPBAB，则点P为线段AB的黄金分割点．

结论：PA= AB． PBA4．平行线分线段成比例定理： 5．相似三角形： ADa（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形．

E（2）判定方法． Bb（3）直角三角形判定方法． CFc6．相似三角形性质．

（1）对应角相等，对应边成比例；

（2）对应线段之比等于 ； AD（3）周长之比等于 ；

DEA（4）面积之比等于 ． 7．相似三角形中的基本图形． CCBB（1）平行型：（A型，X型） （2）交错型：

AAA

E DEDD

BBCC

CB

（3）旋转型： （4）母子三角形：

C A E

DBCE

ADB2134231

23214

二、例题解析：

1．如果a4cm，b6cm，a3cm，则a，b，c的第四比例项是 ． 如果a3，c12，则a与c的比例中项是 ． 2．已知，

a2b4c5，则

a2c2bacb ．

3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= ． 4．如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若S△AEF=6，则S△CDF= ．

ADCADEDBECFAEBBC

5．如图，△ABC中，DE∥BD，AD∶DB=2∶3，则S△ADE∶S△ECB= ． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于D．

（1）若AC=4，BC=3，则AD= ，BD= ，CD= ； （2）若AB∶BC=1∶9，则AD∶BD= ．

7．如图，平行四边形ABCD中，BC=18cm，P、Q是三等分点，DF延长线交BC于E，EQ延长线交AD于F，则AF=_______． 8．如图，在△ABC中，AB>AC，边AB上取一点D，边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P． 求证：BP∶CP=BC∶CE．

9．如图，CD是Rt△ABC的斜边，AD是高线，∠BAC的平分线交BC，CD于E，F． 求证：（1）△ACF∽△ABE； （2）AC·AE= AF·AB．

A2134231

BDEPFAQBCADDPBCEACEFDB23214

10．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C． （1）求证：△ABF∽△EAD；

（2）若AB=4，∠BAC=30°，求AE的长； （3）在（1），（2）条件下，若AD=3，求BF的长．

11．如图，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到点B，C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E． （1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

2134231

BDECAABFDEC23214

自我训练： 一、判断题：

1．两个等边三角形一定相似（ ）

2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2（ ） 3．两个等腰三角形一定相似（ ）

4．若一个三角形的两个角分别是400、1000，而另一个三角形是顶角为1000的等腰三角形，则这两个三角形相似（ ） 二、填空题：

1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，若AC＝5cm ，CD＝4cm ，则AD＝ cm ，AB＝ cm ．

2．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F，若AB＝7cm，CF＝3cm，则AD∶CE＝ ．

CADADFADBBCE

BEC

3．如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，则AB的长为 ． 4．CM是△ABC的中线，AB＝12，AC＝9，AC上有一点N，且∠ANM＝∠B，则CN＝ ．

ADCCDMNEOFF

BC

AB

EBA

5．梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O作EF平行于底，与腰AD、BC相交于E、F，若DC＝14，OF＝8，AE＝12，则DE＝ ．

6．如图，正方形ABCD的面积为144cm2，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为112.5cm2，则BE的长为 cm．

2134231

23214

三、选择题： 1．已知（A）

12ab12，则

23aab的值为（ ）

13 （B） （C） （D）

34

2．如图，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE=∠C，则AD：AC=（ ） （A）AE：AC （B）DE：BC （C）AE：BC （D）DE：AB

AEDBCAADBEDCBEC

3．D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，如果的长是（ ）

（A） 10 （B） 22. 5 （C） 25 （D） 6 4．如图，△ABC中，DE∥BC，SADE2SDCE，则 （A）

14SADESABCADDB32，AE=15，那么EC

=（ ）

（B）

12 （C）

23 （D）

49

5．如图，DE是三角形ABC的中位线，△ADE的面积为3cm2，则梯形DBCE的面积为（ ）

A、6cm2 B、9cm2 C、12cm2 D、24cm2

ADEBBAAEDDEFCCBC

6．如图，E是平行四边形ABCD的边AD上的点，AE＝（ ） A、

1212ED，BE交AC于F，则

AFFCA＝

B、

13 C、

23 D、

14

D7．如图，△ABC中，D是AB上的点，不能判定△ACD∽△ABC的是以

BC2134231

23214

下条件中的（ ）

A、∠ACD＝∠B B、∠ADC＝∠ACB C、AC2＝AD·AB D、AD∶AC＝CD∶BC 8．如图FD∥BC，FB∥AC， A、

25FEBC35，则

23ADFB＝（ ）

58FEA B、

35D C、 D、

9．梯形ABCD的两腰AD和BC延长相交于点E，若两底的长度分别为12和8，梯形ABCD的面积等于90，则△DCE的面积为（ ）

BC A、50 B、 C、72 D、50

10．如图，已知△ABC的面积为4 cm2，它的三条中位线组成△DEF，△DEF的三条中位线组成△MNP，则△MNP的面积等于（ ） A、

116Acm2 B、

18cm2 C、

14cm2 D、1cm2

AMDECDFEFOEBNBFPCBCDA

11．如图，E是AC的中点，C是BD的中点，则 A、

12FEED＝（ ）

14 B、

13 C、

23 D、

1212．如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF＝

点O，若AC＝12，则AO＝（ ）

A、4 B、3 C、2.4 D、2 13．如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于点O，已知

△COE与△BOC的面积分别为2和8，则四边形AOED的面积为（ ）

A、16 B、32 C、38 D、40 14．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E为对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF∶FD的值等于（ ）

FADFD，EF交AC于

ECOBDCE2134231

AB23214

A、2 B、

53 C、

32 D、1

15．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB，AC于E，F． 求证：

16．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少？

DMGAAFADBEBD．

AEFCBD

BEHFC初三数学期末复习——相似三角形

三、比例

1．第四比例项、比例中项、比例线段； 2．比例性质： （1）基本性质：

abcdadbc

abbcb2ac

2134231

23214

（2）合比定理：（3）等比定理：

ababcdcdabbmncdd

ab.(bdn0)

2acmbdn3．黄金分割：如图，若PAPBAB，则点P为线段AB的黄金分割点．

结论：PA= AB． PBA4．平行线分线段成比例定理： 5．相似三角形： ADa（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形．

E（2）判定方法． Bb（3）直角三角形判定方法． CFc6．相似三角形性质．

（1）对应角相等，对应边成比例；

（2）对应线段之比等于 ； AD（3）周长之比等于 ；

DEA（4）面积之比等于 ． 7．相似三角形中的基本图形． CCBB（1）平行型：（A型，X型） （2）交错型：

AAA

E DEDD

BBCC

CB

（3）旋转型： （4）母子三角形：

C A E

DBCE

ADB四、例题解析：

1．如果a4cm，b6cm，a3cm，则a，b，c的第四比例项是 ． 如果a3，c12，则a与c的比例中项是 ． 2．已知，

a2b4c5a2c2bacb，则 ．

2134231

23214

3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= ． 4．如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若S△AEF=6，则S△CDF= ．

ADCADEDBECFAEBBC

5．如图，△ABC中，DE∥BD，AD∶DB=2∶3，则S△ADE∶S△ECB= ． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于D．

（1）若AC=4，BC=3，则AD= ，BD= ，CD= ； （2）若AB∶BC=1∶9，则AD∶BD= ．

7．如图，平行四边形ABCD中，BC=18cm，P、Q是三等分点，DF延长线交BC于E，EQ延长线交AD于F，则AF=_______． 8．如图，在△ABC中，AB>AC，边AB上取一点D，边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P． 求证：BP∶CP=BC∶CE．

9．如图，CD是Rt△ABC的斜边，AD是高线，∠BAC的平分线交BC，CD于E，F． 求证：（1）△ACF∽△ABE； （2）AC·AE= AF·AB．

10．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C． （1）求证：△ABF∽△EAD；

（2）若AB=4，∠BAC=30°，求AE的长； （3）在（1），（2）条件下，若AD=3，求BF的长．

DFCEABBDEPFAQBCADDPBCEACEFADB2134231

23214

11．如图，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到点B，C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E． （1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

自我训练： 一、判断题：

1．两个等边三角形一定相似（ ）

2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2（ ） 3．两个等腰三角形一定相似（ ）

2134231

BDECA23214

4．若一个三角形的两个角分别是400、1000，而另一个三角形是顶角为1000的等腰三角形，则这两个三角形相似（ ） 二、填空题：

1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，若AC＝5cm ，CD＝4cm ，则AD＝ cm ，AB＝ cm ．

2．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F，若AB＝7cm，CF＝3cm，则AD∶CE＝ ．

CADADFADBBCE

BEC

3．如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，则AB的长为 ． 4．CM是△ABC的中线，AB＝12，AC＝9，AC上有一点N，且∠ANM＝∠B，则CN＝ ．

ADCCDMNEOFF

BC

AB

EBA

5．梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O作EF平行于底，与腰AD、BC相交于E、F，若DC＝14，OF＝8，AE＝12，则DE＝ ．

6．如图，正方形ABCD的面积为144cm2，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为112.5cm2，则BE的长为 cm． 三、选择题： 1．已知（A）

12ab12，则

23aab的值为（ ）

13 （B） （C） （D）

34

2．如图，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE=∠C，则AD：AC=（ ） （A）AE：AC （B）

ADE：BC （C）AE：BC

2134231

BDEC23214

（D）DE：AB

AEDBC

3．D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，如果

DADDB32AE，AE=15，那么EC的长

BC是（ ）

（A） 10 （B） 22. 5 （C） 25 （D） 6 4．如图，△ABC中，DE∥BC，SADE2SDCE，则 （A）

14SADESABC=（ ）

（B）

12 （C）

23 （D）

49

5．如图，DE是三角形ABC的中位线，△ADE的面积为3cm2，则梯形DBCE的面积为（ ）

A、6cm2 B、9cm2 C、12cm2 D、24cm2

ADEBBAAEDDEFCCBC

6．如图，E是平行四边形ABCD的边AD上的点，AE＝（ ） A、

1212ED，BE交AC于F，则

AFFCA＝

B、

13 C、

23 D、

14

D7．如图，△ABC中，D是AB上的点，不能判定△ACD∽△ABC的是以下条件中的（ ）

BC A、∠ACD＝∠B B、∠ADC＝∠ACB C、AC2＝AD·AB D、AD∶AC＝CD∶BC 8．如图FD∥BC，FB∥AC， A、

25FEBC35，则

23ADFB＝（ ）

58FEA B、

35D C、 D、

9．梯形ABCD的两腰AD和BC延长相交于点E，若两底的长度分别为12和8，梯形ABCD的面积等于90，则△DCE的面积为（ ）

BC A、50 B、 C、72 D、50

2134231

23214

10．如图，已知△ABC的面积为4 cm2，它的三条中位线组成△DEF，△DEF的三条中位线组成△MNP，则△MNP的面积等于（ ） A、

116Acm2 B、

18cm2 C、

14cm2 D、1cm2

AMDECDFEFOEBNBFPCBCDA

11．如图，E是AC的中点，C是BD的中点，则 A、

12FEED＝（ ）

14 B、

13 C、

23 D、

1212．如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF＝

点O，若AC＝12，则AO＝（ ）

A、4 B、3 C、2.4 D、2 13．如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于点O，已知

△COE与△BOC的面积分别为2和8，则四边形AOED的面积为（ ）

A、16 B、32 C、38 D、40 14．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E为对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF∶FD的值等于（ ） A、2 B、

53FADFD，EF交AC于

ECOBDC C、

32 D、1

E

15．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF

分别交AB，AC于E，F． 求证：

B2134231

ABAFADBEBD．

AEFCD23214

16．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少？

DMGA

BEHFC2134231