思路方法 分类例析函数与方程思想的应用 ■周函数与方程思想是中学数学的重要数学思想， 贯穿了整个中学数学内容。关于此思想方法的试题 情境陌生，设问新颖灵活，解答时需要考生通过观 察、分析、归纳、概括，通过建立函数关系式或构造中 间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性 质，达到化难为易、化繁为简的目的。许多有关方程 的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题 强 项的平方与其余各项之和不超过１００，这样的数列 至多有——项。 解析：设ｏｌ，０２，…，％是公差为４的等差数列， 则 ：０ｌ＋４（ｎ一１），由已知，看成。Ｉ为未知数的 向“ 黠导 不等式有解的话，则应有△：（ｎ一１） —４（１ｎ２—２ｎ 。 一ｄ是析～超 氍 ，二、数单 、 、．：一 一函ｇ函二： 蟓而槭械 数 兰 啦 圳 豫 图 １００）≥０，则７ ２—６ｎ一４０１≤０，所以 二 ≤ｎ 也可以用方程的方法来解决。可以说两种思想交相 辉映且“无孔不入”，在不等式、三角、数列、解析几 何、立体几何等知识中都有所渗透，是高考命题者的 重要“耕耘地”，因而频频出现在卷中。现 采撷几道典型例题，分类剖析其特点和解法。 一、函数方程思想与不等式“综合” Ｌ 例１ 已知 ＝１（ｎ、ｂ、ｃ∈Ｒ），比较ｂ 与 ＪⅡ ４ａｃ的大小关系。 解析：依题设知，ｎ・５—６・√５＋ｃ：０＇．．．４３是实 系数一元二次方程 ＋ ＋Ｃ：０的一个实根， ・△＝６ 一４ｎｃｔ＞ｏ，．・．ｂ２≥４ｎｃ。 ．．例２实数ｎ、ｂ、ｃ、ｄ满足：８＜ ＝１，则 ６，ｃ＜ｄ，（ａ一 口、６、ｃ、ｄ的大 ， － ｜ ｄ ０ 一１ ＜ｄ＜６。 点评：以上两例均是函数与方程思想在不等式 中的具体应用，其中例１的切入点是由６ 与４ａｃ联 想到一元二次方程，而例２的关键在于构造函数厂 （ ）＝（ —ｃ）（ —ｄ），这类问题抽象程度高，关键是 合理的联想，若能构造出恰当的函数与方程，以此为 启动器，将有助于问题的顺利解决。 二、函数方程思想与三角“交汇” 例３在△ＡＢＣ中。若ｔａｎＡ与ｍｎＢ满足等式 ｔａｎＡ・ｔａｎＢ＝ｍｎＡ＋ｔａｎＢ＋３，则ｔａｎＣ的取值范围是 解析：设ｔａｎＡ・ｔａｎＢ＝ｍ，则锄Ａ＋ｔａｎＢ：ｍ一３， 即ｔａｎＡ与ｌａｎ曰是方程 ２一（ｍ一３） ＋ｍ＝０的两 根。 ①若ｔａｎＡ与ｔａｎ 都为正， ｆ（ｍ一３） 一４ｍ≥Ｏ，． ． ｛ｍ一３＞０， 贝 ｍ≥９； Ｌｍ＞０． ②若ｔａｎＡ与ｔａｎＢ一正～负，则ｍ＜０， 而ｔａｎＣ：一ｔａｎ（Ａ＋Ｂ）：卫 ：１一 ，则 Ｈ‘一ｌ ｆｎ— ｃ的取值范围是［｛，１）Ｕ（１，３）。 点评：本题综合性较强，通过三角函数，这个“媒 介”与函数方程知识有机地综合。再运用方程的实 根分布进行求解使得问题简化，另外构造方程是本 题求解的难点。 三、函数方程思想与数列“整合” 例４各项为实数的等差数列的公差为４，其首 ≤ ： ＜９，又因为 ＞８，所以ｎ的最 大值为８，即满足题设条件的数列至多有８项。 点评：本题不仅考查了等差数列的有关公式，而 且考查了一元二次不等式，很有新意，符合“在知识 的交汇点处命题”的高考命题原则。另外，本题中把 数列与方程、不等式，三者联袂，使呆板、平淡的数学 题，充满活力和无穷的魅力。 四、函数方程思想与解几“创新” 例５已知过Ａ（Ｏ，１）和Ｂ（４，。）且与 轴相切 的圆只有一个，求ｎ的值及圆的方程。 解析：设所求圆的方程为 ＋ｙＺ＋ ＋研＋Ｆ ＝０。因为点Ａ、Ｂ在此圆上，所以 ＋，十１＝０。① ４Ｄ＋ ＋Ｆ＋口 ＋１６＝０。②又知该圆与 轴（直 线Ｙ：０）相切，所以由△＝Ｏ Ｄ２—４Ｆ＝０。③ 由①、②、③消去Ｅ、Ｆ，可得÷（１一Ⅱ）Ｄ２＋４Ｄ ＋口２一ｎ＋１６＝０，④由题意方程④有唯一解，当０ ＝１时，Ｄ＝一４，Ｅ＝一５，Ｆ＝４；当口≠１时，由△＝０ 可解得口＝０，这时Ｄ：一８，Ｅ＝一１７，Ｆ：１６。 综上可知，所求ａ的值为０或１，当ａ＝０时圆 的方程为 ＋ 一８ｘ一１７ｙ＋１６＝０；当口＝１时，圆 的方程为 ＋１，２—４ｘ一５ｒ＋４＝０。 点评：上例运用熟悉的直线和圆的位置关系来 进行构造方程，把陌生问题转化成熟悉的问题，或把 未知问题转化成已知问题——这是解决数学问题 时，最常用的思想方法。 五、函数方程思想与立几“接轨” 例６设ｏ、６、Ｃ分别是一个长方体的长、宽、高， 且ｏ＋６一ｃ＝１，已知该长方体的对角线长为１，且ｂ ＞ｎ，则高Ｃ的取值范围是——。 解析：依题意有ａ０＋ｂ ＋ｃ２＝１，即ｎ ＋ｂ２：１一 ｃ２，口＋ｂ：１＋ｃ，所以ａｂ： 上 ｌ二 ： ：ｃ ＋ｃ，易知口，６是关于 的方 程 一（１一ｃ） ＋ｃ ＋ｃ＝０的两个不相等的正根， 所以， Ⅱ另Ｕ式Ａ＝（１＋ｃ） —４（ｃ ＋Ｃ）＞０， 可解得０＜ｃ＜÷。 点评：这是一道以立体几何熟知的内容为载体，深 入考查学生数学思维能力的上乘之作，把立几与方程 等基础知识，相互交汇和渗透，更是本题的闪光之处。 综上所述，运用函数与方程的思想解决问题“领 域”无处不在，这类问题蕴含的知识、方法和函数方程 思想，复杂多样，若能充分揭示其内涵，既可让学生更 广泛、深刻地掌握所学知识，又能激发学生求知的兴 趣，开阔视野，从而培养学生的创新思维和创新意识， 这对我们高考复习指导和改革应有一定的启示。 （作者单位：江苏省海安县曲塘中学）
