一阶电路的两种基本类型

5.1 动态电路的方程及初始值 .............................................................................................. 125

5.1.1 电路与方程 ............................................................................................................. 125 5.1.2 一阶电路的两种基本类型 ..................................................................................... 126 5.1.3 换路及换路定则 ..................................................................................................... 126 5.1.4 初始值的求法 ......................................................................................................... 128 5. 2 一阶电路的零输入响应 ................................................................................................. 130

5.2.1 RC电路的零输入响应 ............................................................................................ 130 5.2.2 RL电路的零输入响应............................................................................................. 134 5.2.3 电路零输入响应规律的总结 ................................................................................. 136 5. 3 一阶电路的零状态响应和全响应 ................................................................................. 138

5.3.1 RC电路的零状态响应和全响应 ............................................................................ 138 5.3.2 RL并联电路的零状态响应和全响应 ..................................................................... 142 5.4 三要素法 ......................................................................................................................... 145 5.5 一阶电路的阶跃响应 ...................................................................................................... 148

5.1.1 单位阶跃函数及其性质 ......................................................................................... 149 5.5.2 一阶电路的阶跃响应 ............................................................................................. 150 5.6 一阶电路的冲激响应 ...................................................................................................... 151

5.6.1 单位冲激函数及其性质 ......................................................................................... 151 5.6.2 一阶电路的冲激响应 ............................................................................................. 152 5.7 二阶电路的零输入响应 .................................................................................................. 156

5.7.1 RLC串联电路的零输入响应 .................................................................................. 156 5.7.2 GLC并联电路的分析 .............................................................................................. 163 5.8 二阶电路的全响应、零状态响应和阶跃响应 .............................................................. 165

5.8.1 RLC串联电路的全响应 .......................................................................................... 165 5.8.2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应 ..................................................................... 167 5.8.3 一般二阶电路的时域分析 ..................................................................................... 169 5.9 仿 真 ............................................................................................................................... 172 习 题 五 .................................................................................................................................. 176

124

第5章 动态电路的时域分析

学习要点

(1) 电路形式与微分方程的关系； (2) 换路的概念、换路定则； (3) 初始值的求法；

(4) 微分方程的列写与求解方法；

(5) 一阶电路零输入响应、时间常数的概念及求法； (6) 一阶电路零状态响应及全响应；

(7) 三要素法及电路稳态解的求法；

(8) 二阶电路微分方程的列写、求解与解的形式； (9) 阶跃函数与阶跃响应； (10) 冲激函数与冲激响应。

前四章以电阻电路为背景，所阐述的电路定律、定理和分析方法，可推广到各类电路的分析。本章涉及到动态电路中含有L或C，就会出现微积分方程。对单一L或C电路，方程仅是一阶微分方程，求解结果可归纳为三要素形式。当电路出现两个动态元件时，二阶微分方程的求解就比较繁琐，此时利用第11章讲的运算法进行分析将更加方便。

从分析方法上看，动态电路分析主要有3种方法。

① 动态电路的微分方程的列写与求解方法，虽然解题时不一定用这种方法，但是，这一方法是其他方法的基础，因此必须掌握。

② 典型电路的分析，典型电路本身就是常用电路，而非典型电路又可以用戴维宁定理等方法转化成典型电路。因此，只要熟练掌握了典型电路的分析方法，一般电路的分析也不成问题。

③ 三要素法是分析一阶电路零输入响应、零状态响应及全响应简便有效的方法；三要素法是对一阶电路各种微分方程求解结果规律的总结和概括。

在本章学习中，还要注意电路动态过程物理含义的理解。

各章讨论的问题在于电路、激励、响应、分析方法的不同。对本章而言，电路是动态电路（主要讨论一阶电路和二阶电路），激励是任意时间函数，所求响应为暂态响应或全响应（稳态+暂态），基本分析方法是直接在时域列写和求解微分方程，即时域分析方法。

5.1 动态电路的方程及初始值

5.1.1 电路与方程

前四章电阻电路，所列写的方程都是代数方程。当一个电路至少含有一个储能元件（电容、电感、耦合电感），这样的电路称为动态电路。储能元件的VCR为微分关系，因此，动态电路的描述方程可简化成微分方程。描述方程是一阶微分方程的电路，称为一阶电路；描述方程是二阶微分方程的电路，称为二阶电路。依次类推，描述方程是高阶微分方程的电路，

125

称为高阶电路。不同电路对应不同的方程形式，常见动态电路及方程形式见表5-1。

表5-1 常见动态电路及方程形式

电路名称 线性非时变动态电路 一阶电路 二阶电路 含一个的动态元件 含二个的动态元件 含非线性电阻或非线性动态元件 一阶线性常系数常微分方程 二阶线性常系数常微分方程或一阶状态方程组 非线性常系数常微分方程 线性非时变动态电路 电路构成特点 全部为线性非时变元件 电路描述方程 线性常系数常微分方程 非线性非时变动态电路 如果没有特别说明，本章讨论的电路是线性非时变电路。

动态电路响应的时域分析法的一般步骤是 ⑴求电路的初始值；⑵列微分方程；⑶求解微分方程满足初始值的解。该方法是需要掌握的基本方法。

5.1.2 一阶电路的两种基本类型

一阶电路可以依据基尔霍夫定律（KVL、KCL）及元件的电压电流关系（VCR）列写基本电路方程，再化简成标准微分方程求解，这种方法有时比较复杂。也可以先化简电路，再列方程。一阶电路通常只含有一个储能元件（电容或电感）。若将储能元件N2和电路分离，则剩下的电路为电阻性网络，或称单口N1，如图5-1(a)所示。单口N1可用戴维宁电路或诺顿电路来等效。因此，我们得到两种基本类型的一阶电路，如下图5-1（b）、 (c)所示。这种方法简单有效，本章讨论的重点是这两种基本类型的一阶电路。

i++-iR0+iiSC+N1u-（a）原电路uOCu-R0u-N2N2N2（b）用戴维宁电路等效（c）用诺顿电路等效

图5-1 一阶电路的化简

5.1.3 换路及换路定则

1. 换路

动态电路的结构或参数发生变化称为换路。动态电路换路时，电路将从原来一种稳定状态转变到另一种稳定状态，这期间需经历一个电磁过程，称为过渡过程（或暂态过程）。这种变化一般是由电路条件的变化引起的，如电路的接通、断开、接线的改变、激励或参数的骤然改变等。换路常用如图5-2所示，S表示开关，箭头表示动作方向，t=0表示换路时间。为

126

方便研究，通常把换路的瞬间作为过渡过程的起始时刻，记为t=0；把换路前的最终时刻记为t=0-；换路后的最初时刻记为t=0+，换路即发生在0-到0+之间。

S(t0)S(t0) 图5-2 换路的表达

在动态电路中，电容电压uC(t)和电感电流iL(t)是两个特殊的变量，我们称之为状态变量。下面先研究这两个状态变量的初始值问题。

2. 换路定则 ⑴ 对线性电容

1t由电容的伏安关系可知 uC(t)uC(t0)iC()d （5-1）

Ct010换路时刻为t=0 uC(0)uC(0)iC()d （5-2）

C0又由积分性质可知，当iC()为有限值，即MiC()M时

10有 iC()d0

C0所以，当iC()为有限值时， uC(0)uC(0) （5-3）

即，电容电流为有限值时，电容电压不能跃变。

当iC()为无穷大时，上式结果不确定，此种情况我们在冲击响应一节讨论。

⑵ 对非线性电容

qC(t)qC(t0)iC()d （5-4）

t0t当iC()为有限值时 qC(0)qC(0) （5-5） ⑶ 对线性电感

由线性电感的伏安关系可知 iL(t)iL(t0)1t uL()d （5-6）t0L当uL()为有限值时 iL(0)iL(0) （ 5-7）

⑷ 对非线性电感 L(t)L(t0)即，电感电压为有限值时，电感电流不能跃变。

ut0tL()d （ 5-8）

当uL()为有限值时有 L(0)L(0) （ 5-9）

以上讨论得换路定则：当电容电流为有限值时，电容电压不能跃变。当电感电压为有限值时，电感电流不能跃变。见表5-2。

表5-2 换路定则

元件 电容 线性电容 结论 uC(0＋) = uC(0 )或q(0) = q(0＋) 依据 iCCduC dt条件 iC为有限值 127

非线性电容 线性电感 电感 非线性电感 q(0) = q(0＋) iL(0＋) = iL(0)或 (0＋) = (0)  (0＋) = (0) dqC dtdiuLLL dtdL uLdtiCuL为有限值 5.1.4 初始值的求法

时域分析法中，初值是指t=0+时刻的值。一般先求t = 0 时刻 uC(0)、iL(0)值。 1. t = 0时刻的等效电路及uC(0)、iL(0)的求法

t = 0 时刻，即换路前一时刻，通常电路状态已经“稳定”，而新的状态过渡尚未开始。这种情况下，uC(0)、iL(0)值的求解要分两种情况加以讨论。

⑴ 激励为恒定直流

①按换路前的电路结构对电路进行化简，当t = 0电路稳定时，iC=0，uL=0，故将C看作开路，将L看作短路，激励、电阻及受控源保持不变，从而得到t = 0时刻的等效电路——特殊的电阻电路。

②根据0 时刻的等效电路，可求得电容两端的电压uC (0)和电感中的电流iL (0)。 ⑵ 激励为正弦函数 (此时利用第11章讲的运算法更加简便)

①若正弦激励作用于换路前的电路，且已稳定，求uC (0)和iL (0)，必须先按换路前的电路结构和参数，求出t≤0 时uC(t)和iL(t)的稳定值。

求uC(t)和iL(t)的稳定值有两种方法：一是用相量法求解（详见本书第8章）。另一种方法是高等数学中的待定系数法，设uC(t)=UCmcos(t + C)(或设定iL)，将其代入电路的微分方程，比较系数得到UCm和C。则uC(0)=uC(t)t0=UCmcosC。

 2. t = 0+时刻等效电路及0+时刻初值的求法 ⑴ t = 0+时刻的等效电路

根据换路后t = 0+时刻的结构，做如下处理

① 一般情况下，根据换路定则得uC(0+) = uC(0)、iL(0+) = iL(0)，根据替代定理，将C用电压为uC(0+)的电压源取代，将L用电流为iL(0+)的电流源取代。 ② 电压源、电流源分别取us(0+)，is(0+)值，电源性质不变。 ③ 受控源、电阻不变。

经以上处理的电路就是t = 0+时刻的等效电路——特殊的电阻电路。

⑵初值（t = 0+）的求解

t = 0+时刻的等效电路已变成一个电阻电路。那么根据静态电路的求解方法，就可求出任一元件的电压或电流值，也就是t =0+时刻的初值。

例5-1 电路如图5-3所示，开关S闭合已久，在t=0时打开，求初始值变量uC(0)、iL(0)、iC(0)、uL(0)

128

+US-S(t0)+R2iLR3iC+-+US-iL(0)R2R3++R2uL(0)R3iC(0)+-R1uL-LuCCR1uc(0)--iL(0)uC(0)(a)(b)图5-3 例5-1图

(c)

解 ⑴ t0时，S闭合已久，电路（a）处于稳态，电感相当于短路，电容相当于开路，电路（a）等效于图（b），由此可得

US

R1R2RUuC(0)R2iL(0)2S

R1R2电感电流和电容电压不能跃变，所以iL(0+) = iL(0) ，uC(0)uC(0)。

⑵ t=0+时，电路（a）S已打开，将电感用iL(0)的电流源替换，电容用uC(0)的电压

iL(0)

源去替换，作出t=0+时刻的等效电路，如图（c）所示。由图（c）得：

US

R1R2uL(0)R2iL(0)R3iC(0)uC(0)USUSUS R2R3R2R1R2R1R2R1R2RU3SR1R2例5-2 电路如图5-4(a)所示，求uC(0)、iC(0)、i1(0)

iC(0)iL(0)2i210A2S(t0)+iC1F0.25u1+-2u1-uC+i1(0)iC(0)1F0.25u1+u1-220V-3i1

（a） (b)

图5-4 例5-2图

解 ⑴ t0时，S闭合已久，电路处于稳态，电容相当于开路，由此可知

i10.25u110A； u12i1 得i1∴ uC(0)2i120.25u120A 320 V 3 129

⑵ t0时的等效电路如图5-4(b)

20 V 3u(0)5i1(0)C A

223uC(0)uC(0)5iC(0)0.25u1i1(0)0.5i1(0)i1(0)1.5A2.5A

35. 2 一阶电路的零输入响应

外加输入(激励)为零，由电路初始状态uC(0+) 和iL(0+) 产生的响应称为零输入响应。

5.2.1 RC电路的零输入响应

RC电路的零输入响应，通俗的说就是电容的放电过程。 问题：电路如图5-5，已知uC(0)U0，电路的零输入响应。

S(t0)i(t)RiC(t)+uC(t)-R

图5-5 RC零输入电路

1. 物理过程分析

t=0瞬间，因为电容电压具有连续性，不能发生跃变，所以uC(0)=uC(0)=U0；通过电阻的电流iR(0)U0du；得电容电压变化率cRdt=t0U1iR(0+) =0，所以uC(t)将从

RCCU0开始下降。既t0时，电阻不断消耗电容的储能，使电容电压不断下降。当储能消耗殆

尽时，两元件电压均降至0，电路达到新的稳定状态，过渡过程结束。 2. 电路的微分方程及响应

如图5-5，由t≥0+时，由KCL得 iRiC 由KVL得 uRuC 由元件VCR得 uRRiR

130

duC dtdu由以上四原始方程可得微分方程 RCCuC0 （5-10）

dt其初始条件为 uC(0)uC(0)U0

iCCst式（5-10）为一阶常系数齐次微分方程，设其通解为uCKe（其中K——待定积分常

数，由初始条件确定；s——微分方程对应的特征方程的特征根，又称为电路的固有频率）。将

st通解uCKe代入式（5-10）得

RCsKestKest0

化简得特征方程为 RCs10

1由上式求得特征根 s

RC所以 uCKe1tRC

因为，t0，uC(0)U0，代入上式，得KU0

uCU0e1tRC （t>0） （5-11）

由此，电路中的其他响应均可由uC求出

uRuCU0e1tRC （t>0）

1tuRU0RCe iR (t>0) RR1tU0RCiie C （t>0） RR画出各响应波形如图5-6。

uCuRU0U0RiiR0000tttU0R图5-6 零输入响应波形

iC

由表达式及波形可知，各响应均从某一初始值开始，然后按同样的指数规律单调的衰减至零。这些结果与上述的物理分析是一致的。 3. 时间常数及固有频率

⑴ 时间常数

131

式（5-11）表明，各响应衰减的快慢与RC的大小有关,令

=RC （5-12）

其量纲为 []=[RC]=[R][C]=[

VCVC][]=[][]=[s] AVC/sV，理论上，t时，电具有时间单位秒的量纲，所以称为时间常数。根据式（5-11）

压才下降至零；工程上，3~5时，uC=5.0%~0.67%U0，认为过渡过程结束。

 2 3 4 5 t 0 uC U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.0183U0 0.0067U0 τ越大，过度过程越长；反之则短。即决定了零输入响应衰减的快慢。

⑵ 时间常数的物理意义

如图5-7所示，以uC(t) 为例，从uC(t) 衰减的曲线上任意一点A做切线，与t轴的交点为C，从A点做t轴的垂直线，交点B，此时，时刻为t0 。

t0uC(t0)U0eABBC t0(t0)1tg uCU0e由上可得，在时间坐标上次切距BC的长度等于时间常数。说明曲线上任意一点，如果以该点的斜率为变化率衰减，经过时间将衰减到零。

特殊情况取t0=0，uC若按起始的速度衰减（过起点做切线如图5-7（b）），经过时间衰减结束。因为实际的衰减是越来越慢，因此，当t时，uC()0.368U0。

uCU0uCAu(t)C00.368U0uuC())C(0Bt0(a)Ct

00(b)t

图5-7 时间常数的几何意义

⑶ 固有频率s

方程特征根s称为固有频率，因为RC，所以s1或，显然[s]=1表示

s秒1固有频率s的量纲，与频率的量纲相同，故s有频率之称。从物理概念上讲，固有频率s 与电路的输入无关，仅取决与电路的结构与参数，体现了电路本身的固有的性质，因此称为固有

132

频率。

4. 能量关系

开关切换前，电容元件具有初始储能，其大小为

12CU0 （5-13） 2开关闭合后，电容元件通过电阻释放能量，将电场能转化为其他形式的能，在（0,）

WC整个过渡过程中，电阻元件所消耗的能量为

WRuRiRdtU0e001tRC1tU0RC12edtCU0WC R2在整个过渡过程中，电阻所消耗的能量恰好等于电容元件所储存的能量，即符合能量守恒定律。

例5-3 图5-8 (a)所示电路中，R13 k，R26 k，C1 μF，us18V。开关S原接于a端，t=0时，S突然换接于b端，求t>0的响应uC，i1和i2，并作出各响应的波形图。

解 (1) t0时，S合于a

uC(0)18612V； 63(2) 初值 t=0+，S合于b后的等效电路如图5-8 (b)所示，图中uC(0)uC(0)12V； (3) 时间常数 RR1R21 s； 2 k， RC500R1R2t (4) 零输入响应 uCuc(0)e12e500t V，

uCuc(0)e(t0)

u3500t所以 i1C410e A（t0+）

R1ui2C2103e500t A（t0+）

R2t12e500t各响应波形如图5-8（c）。

为了简化求解过程，直接采用（5-11）式求解，当然也可以先列出微分方程，然后求解。

133

aS(t0)R1+US-bi1C+UC1F-i2R26k3kC+UC-iRR(a)uC(V)21030(b)i1,i2(A)i212Vt0i14103t(c)图5-8 例5-3图

5.2.2 RL电路的零输入响应

问题：RL电路如图5-9，t0时，已知：iL(0)I0，求电路的零输入响应。

S(t0)+uLL-iLiRR

I0图5-9 RL零输入电路

1. 物理过程分析

t0瞬间，电感电流不会发生跃变，即iL(0)iL(0)I0；t0时，随着电阻不断

消耗能量，电感电流不断下降，直至iL(t)0时过渡过程结束。同RC零输入电路一样，RL电路的零输入响应也是储能元件L单一释放能量的过程。

2. 电路的微分方程及响应

t0时，由KCL得 iRiL 由KVL得 uRuL

134

diL uRRiR dtLdiL由以上四公式得微分方程 iL0 （5-14）

Rdt其初始条件为 iL(0)iL(0)I0 （5-15）

由元件VCR得 uLLst设其通解为iLKe，代入微分方程式（5-14），得

LsKestKest0 RL化简得特征方程为 s10

R11得特征根 s

L/RL电路的时间常数  (5-16)

R则(5-14)式的通解 iLKeKe代iL(0)I0得 KI0 则通解 iLI0etstt

 A （t0） （5-17）

tiRiLI0e A （t0）

tuRRiRRI0e V （t0）

tdiLuRRI0e V （t0） uLLdtiR,iLI0iL0I0iRtuLuR0RI0t 图5-10 零输入响应波形

3. 时间常数及固有频率

由5.2.1与5.2.2的分析可知，RL电路的零输入响应与RC电路的零输入响应有很多类似之处，例如，式（5-17）与式（5-11）相似；iL 、iR 、uR 、uL 各响应衰减的快慢与的

135

L RL亨韦伏秒][][秒] 其量纲为 [][][][R欧安欧安欧大小有关, 其中，在此，时间常数的物理意义，与RC电路完全一样，时间常数与电路的输入无关，仅取决与电路的结构与参数。

4．能量关系

电感元件的初始储能

W整个过渡过程中，电阻耗能为

1t12LI0 （5-18） 21tWRuRiRdtRI0e00(I0e)dt1LI02WL 2所以整个过程中电阻消耗的能量即为电感的初始储能。

5.2.3 电路零输入响应规律的总结

在线性电路中，零输入响应与初始状态两者之间满足奇次性和可加性。即，当初始状态为原初始状态的k倍时，相应的零输入响应为原响应的k倍；当初始状态为n个状态之和时，则相应的零输入响应为n个初始状态产生的零输入响应之和。

经过5.2.1与5.2.2分析可知，在同一个电路中，不管是哪条支路的电压或电流的零输入响应遵循同一个规律，如果支路的电压或电流用广义符号x(t)表示，相应的初始值用x(0+)表示，则 x(t)x(0)e

例5-4 图5-11 (a)所示电路中，R13,R26,R3R41，L=1 H,US=9 V，开关S闭合已久。t=0时，K打开，求t>0的零输入响应 iL,i1,i2,i3 。

t （5-19）

i1i3S(t0)i2R31iLiLR26R13R41+LRUS9V-L1H(a)图5-11 例5-4图

(b)

136

99A 1t=0时，S打开，∵iL不会发生跃变，∴ iL(0)iL(0)9 A

⑵ S打开后，R1,R2构成并联，然后与R3串联，电感两端所接入的端电阻

解 ⑴ t  0 时，S闭合已久，L短路，此时 iL(0)R1R23 

R1R2L1所以  s

R3 RR3（3）响应

iL9e3tA（t0） i3iL9e3t A（t0）

i1R2i36e3t A（t0）

R1R2R1i2i33e3t A（t0）

R1R2例5-5 电路如图5-12(a)所示，电压表量程50V，t=0时 , 打开开关K，发现电压表坏了，为什么？ 并分析开关K打开后，iL和uV随时间变化的规律。

分析：开关K打开前，忽略电压表的分流作用 ，则iL(0-) = 1 A ； 开关K刚打开瞬间，iL (0+) = iL(0-) = 1 A ，此时，

uV (0+)=  iL (0+)10000 = 10000V，因此，造成电压表损坏。

2502t开关K打开后，iL 随时间变化的规律 iL1et0

电压表上电压随时间变化的规律

uVRViL10000e2502t

t0

K(t=0) + 10V RV V 10k iL R=10 L=4H

uV – 图5-12 例5-5图

例5-6  电路如图5-13所示，已知R0 = 5 ，R1= 30 ，L= 0.1 H，us= 2202 cos314tV 。S在t = 0时闭合，S闭合前电路已经稳定。求S闭合时刻的电流i(0+)。

分析：该题激励是正弦函数，属交流的暂态分析，方程的求解比较繁琐，此时利用第11章讲的运算法更适合，因此，该题加有“”。

解 (1) 该题激励是正弦函数，为求iL(0)必须先求K闭合前的iL(t)。在K闭合前的电路方程为

137

LR0iLdiLR0R1 iLus dtR0Lus(0)i(0)R1iL(0) SiusR1 (a) (b)

图5-13 例5-6图

设iL =2IL cos (t + )，代入以上微分方程得

2LIL sin (t + ) + (R0 + R1)2IL cos (t + )=2220 cos t 整理得

ZIL cos t220 cos t

其中 arctgLR0R1arctg31.441.90 35 Z(R0R1)2(L)235231.4247.02 

比较得  =   =  41.

220 V220 IL A4.68 A

Z47.02所以 iL(t)= 4.682 cos (t 41.) A iL(0)=4.682 cos ( 41.) A≈4.93 A 根据换路定则 iL(0)= 4.93 A (2) t = 0＋时的等效电路如图5-13(b)所示。

us(0+)=2202 V

u(0)2202i(0+) =s iL(0+) = A  4.93 A=57.30 A

5R05. 3 一阶电路的零状态响应和全响应

初始状态为零，由外加于电路的输入产生的响应称为零状态响应。 电路在输入、初始值同时作用下产生的响应称为全响应。

下面讨论两个典型电路，讨论中我们先求全响应，零状态响应做为全响应的特例来进行讨论。

5.3.1 RC电路的响应

问题：电路如图5-14，已知： uC(0)uC(0)U0，求电路的全响应。

138

S(t0)+-RUSuC+-iCC

图5-14 RC串联电路

1． 电路的微分方程及初始条件

由KVL得 RiCuCUS 由元件VCR得 iCC由上式得微分方程为 RCduC dtduCuCUS （5-20） dt初始条件为 uC(0)uC(0)U0

2．全响应

求方程（5-20）的解 uCuchucp，其中uch对应齐次微分方程的通解

uchKetRC

ucp对应该方程的特解。设ucpQ（具有和输入函数相同的形式），代入(5-20)式得

QUS

所以 uCKetRCUS

令t=0，并代入uC(0)uC(0)U0得

uC(0)U0KUS

KU0US

令 有 uC(U0US)eRC

tUSUS(1e)U0ett

duC(USU0)tiCCe

dtR ⑴上例中，当U0=0时，全响应变成零状态响应

uCUS(1e) UStiCe

R⑵ 上例中，当Us=0时，全响应可变成零输入响应

t 139

uCU0e

t

U0tiCe

R所以 uCUS(1et)U0ett (5-21)

其含义为 全响应 =（零状态响应）+（零输入响应）

式(5-21)也可以写成 uCUS(U0US)e (5-22)

即 全响应 =（稳态分量）+（暂态分量） 或 全响应 =（强制分量）+（自由分量）

以上公式的各部分含义如下

稳态分量，当t时，暂态分量等于零，响应仍存在的部分； 暂态分量，暂时存在的量，例如，电容的零输入响应（放电），当t时uC()0。 强制分量，与输入形式相同，由输入强制产生；

自由分量，也称为固有分量，变化方式完全由电路本身确定，输入仅影响其大小。 3．时间常数与响应曲线 ⑴ 时间常数 τ=RC

⑶ 零状态响应的响应曲线，如图5-15。

即，uC从零值开始按指数规律上升趋向于稳态值US。

t时，uC()RIS(1e1)63.2%US t(4～5)时，uC(t)98.17%~99.3%US

∴工程上认为此时过渡过程即告结束。的物理意义与零输入响应相同，的大小直接决定了暂态过程的长短，越小暂态过程越快，反之越慢。

全响应的响应曲线，如图5-16。

uCuC(t)uCUS0.632USuC(t)0U00t234tUSetUS

图5-16 全响应曲线

图5-15 零状态响应曲线

电容的零输入响应，实际就是在零输入时（电源电压为零）的电容放电过程；电容的零状态响应，实际就是电容在初始值为零时的充电过程；电容的全响应，实际是电容在非零初始状态且非零输入情况下的响应。当输入值（即电源电压）大于电容电压的初始值时，电容充电至电源值，是充电过程；当输入值（即电源电压）小于电容电压的初始值时，电容放电至电源值，是放电过程。

140

4．能量

对零状态响应，C的能量初始能量为0。输入电源对C充电，最终C的能量

WC12CUS （5-23） 2

2 电阻消耗的能量 WR0RiC()d12CUS 2 所以充电率为 充电效率WC=50%。 （5-24）

WCWR例5-7 图5-17(a)中,R110 , R240 ，US10 V，IS1A，C0.5F，

uC(0)0。S在t=0时合上。⑴ 求t＞0响应uC、iR；⑵ 求uC达到4V时所需的时间。

a10+S(t0)a+R140R2iRbIS1ACR0++uC-CuC-US10V-uoc-b

(a) (b)

图5-17 例5-7图

解 ⑴ 图（a）比较复杂，直接列方程求解虽然可行，蛋比较麻烦。通常的做法是先将ab左端的含源一端口用戴维宁电路等效化简。设ab端的开路电压为uoc，则由节点分析法得

uocUSuocIS R1R2

求得 uoc16V 对应ab无源端口的输入电阻 R0(R1//R2)R1R28 

R1R2所以等效电路如图（b）所示。图（b）变成典型的RC电路，可以直接利用RC电路零状态的结果得到答案。

其中 R0C8 0.5 F4 s ；uC()uoc16 V

⑵ t＞0时，

tt4uCuC()uC()e16(1e) V

tuC2iR(1e4) A

R25⑶ 设uC4 V时所需的时间为t0，则有:

416(1et04)

141

解得 t04ln说明：

31.15 s 4① 这类题若所求的未知量较多时，可以根据5.4节三要素法求解。 ② 在将（a）化简时，一般先将C和L以外的电路等效为戴维宁定理电路。

5.3.2 RL并联电路的响应

问题：RL并联电路如图 5-18所示，已知： iL(0)iL(0)I0，求电路的全响应。 1、 电路的微分方程

uLiLIS Rdi由元件VCR得 uLLL

dtLdiLiLIS （5-25）由以上两式得微分方程 Rdt初始条件为 iL(0)iL(0)I0 （5-26）

t＞0时，由KCL得

S(t0)ISiRRiL+-LuL

图5-18 RL并联电路

2、全响应

求方程（5-25）的解

iL(t)iLhiLp

LtR其中 iLhKe，iLpIS

LtRIS

根据初始条件得 iL(0)KISI0

解得 KI0IS

令RL电路中时间常数为 则 iL(t)(I0Is)etiL(t)KeL RttIsIs(1e)I0et , t0

iL(t)Is(I0Is)e , t0 (5-27)

t diLuL(t)LR(IsI0)e , t0 （5-28）

dt以上恒定直流电源一阶电路的暂态分析是用经典法，即列写微分方程求解所得各变量结

142

果，其结果遵循一定的规律，下面探讨它们的规律。 3、 讨论

⑴ 当I0=0时，全响应变成零状态响应

tiL(t)Is(1e)

uL(t)RIse ⑵ 当Is=0时，全响应变成零输入响应

tt

iL(t)I0et

 t uL(t)RI0e时合上，求零状态响应iL、uL。



例5-8 图5-19（a）中，R12 , R24 , R33, L1 H, IS9 A。S在t=0

R2ISR1R3aS+aISCR0+LuLiL-LuLiLb-bb(a)图5-19例5-8图

(b)

解 先将ab左端的电路用诺顿电路等效化简，其中

R1IS3 A

R1R2R(R1R2)R0R3//(R1R2)32 

R1R2R3IabISC化简后的电路如（b）所示。

L1 s R02电感电流的稳态分量为电感短路时的电流值 所以 iL()ISC3 A

iLiL()(1et)3(1e2t) A ，(t0)

uLLdiL6e2t V ，(t0) dt例5-9 电路如图5-20(a)所示，假定开关闭合前电路已处于稳态。求（1）该电路零输入响应iL1(t)；（2）该电路零状态响应iL2(t)；（3）该电路全响应iL(t)；

解 ⑴ 求零输入响应iL1(t)

因为开关闭和前电路已处于稳态，电感相当于短路。

143

110 mA5 mA 2 因为状态不能跃变，所以iL1(0)iL1(0)5mA

所以 iL1(0) 开关闭合后，电路参照图5-22（a）

从电感两端看进去戴维宁等效电阻 R01k//(0.5k0.5k)500 时间常数 L1 s R0500t所以零输入响应 iL1(t)iL(0)e5e500t mA (t0)

0.5k1k+t1H0.5kiL(t)(a)10mA10V-1k+0.5k1k0.5k10V-1Hi0.5k1H0.5k10mA(b)电压源单独作用图5-20 例5-9图

（c）电流源单独作用

⑵ 求零状态响应iL2(t)

10V电源单独作用，电路如图5-20（b）所示。见⑴

1010 mA 3102(t)10(1e500t) mA (t0) 得 iL2()iL 10mA电源单独作用，电路如图5-20（c）所示

11025 mA 22(t)5(1e500t) mA， 得 iL2()iL'所以 iL2(t)iL2(t)iL2(t)15(1e⑷ 由⑴、⑵的结果，利用叠加定理得全响应为

''500t) mA

iL(t)iL1(t)iL2(t) 5e500t15(1e500t) mA1510e500t mA

144

5.4 三要素法

1. 三要素

§5.2与§5.3的分析方法是列写和求解微分方程，称为经典分析法，经典分析法相对繁琐，其结果遵循一定的规律，下面进一步探讨暂态分析结果的规律性。

如果支路的电压或电流用广义符号x(t)表示，相应的初始值用x(0+)表示，相应的稳态值用x()表示，则一阶电路全响应，即式（5-22）或式（5-27）可写成

tx(t)x()[x(0)x()]e （5-29）

式（5-29）就是著名的三要素公式，它是直流激励下一阶电路暂态分析结果的规律总结。只要知道x()、x(0)、三个要素，就可以写出全响应。式（5-29）具有普遍性，当x()0时，就是零输入响应，即式（5-19）；当x(0)0时，就是零状态响应，当x()、x(0)都不为零就是全响应。

实际解题过程中，同一个电路不管求哪条支路的电压或电流，时间常数是一个值，可根据具体电路求出。一般地，利用三要素法，对RC电路先求出uc (t），对RL电路先求出iL (t)，然后根据电路定律求出其它变量。或者求出每个相应待求量的初始值和稳态值，然后代入式（5-29）求出其它变量，这样解题相对繁琐一些。

式(5-29 )称为三要素公式，适应对恒定直流电源一阶电路的暂态分析，三要素法是恒定直流电源的暂态分析中零输入、零状态及全响应的概括与综合。三要素法是先求出三个要素，再直接套用 (5-29) 三要素公式，是恒定直流电源一阶电路的暂态分析的简便有效的方法。

2. 三要素的含义

在恒定直流输入下，三要素的含义见图5-21。

x(t)xx(t)x(0)x(0)txt

图5-21三要素的含义

初始值x(0+)是响应的起始点；稳态函数(值)x∞(t)，则是换路后当t时电路的稳态状态(实际上t = 3 ～5 时已接近这一状态）；而时间常数 则决定从起点到稳态这一“过渡过程”的时间(工程上，一般取3 ～5 )。

3. 三要素的求法 1）初值求法见§5.1。 2）时间常数 的计算

对RC与RL电路，时间常数分别为 RC、L/R。

145

对一般一阶电路而言，可将C和L以外的电路用戴维宁定理等效成如图5-22 所示的典型电路（此时，可以只求出R），再按以上公式计算时间常数。

i+-RC或L 图5-22一阶典型电路

3）稳态解x()的求法

⑴ 换路后，作用于电路的激励是恒定直流时，画出换路后的电路。当电路稳定时，C→开路， L→短路，电路变成电阻电路。求解该电路即得稳态解x()或称稳态值。

⑵ 换路后作用于电路的激励若是正弦信号，x∞(t)是换路后的稳态解，求解时必须根据换路后的电路和参数来求。求x∞(t)可用相量法（见第6章）或用待定系数法，还可以用运算法（见第11章）。

例5-10 已知图5-23(a)所示电路中的开关K原合在“1”端很久，在t = 0时S合向“2”端，求iC(t)，uC(t)并绘出其曲线。

解 本题是求一阶电路的全响应，下面用三要素法求解。 作t = 0时的电路如图5-23（b）所示，由此求出uC(0) uC(0) =

63Ｖ= 2 V 63 作t≥0＋时的电路如图5-23 (c)所示，电路的时间常数为

163  = RC = ()= 1 s

632uC/V2S(t0)-3V+13iC6+3V-(a)0.5FuC0-1-2123t/siC/A1+3V6-(b)323t/s+uC(0)--3V+3iC60uC0.5F-1-2(c)图5-23例5-10图

(d)

t =∞时，电路为直流稳态，则可求出uC()

146

uC()=

6(3) = 2 V 63－

－

又 uC(0+) = uC(0) = 2V

所以 uC(t) = uC()+[uC(0+)uC()]et/ = 2 + 4et V (t 0)

du(t)1d iC(t) = CC = (2 + 4et) = 2et A (t 0)

dt2dt作出uC(t)、iC(t)的波形如图5-23 (d)所示。画波形时，应掌握三要素的三个要点，从x(0+)

－

－

值开始，经过(3~5) 趋于x(∞)值，中间是按指数规律变化的。

例5-11 电路如图5-24 (a)所示，开关S闭合前电路已稳定。求S闭合后，2  电阻中电流随时间变化的规律iR(t)。

解 用三要素法求全响应。首先由S闭合前的电路计算iL(0)，由于是直流稳态，所以作t = 0+的电路如图5-24 (b)所示，根据换路定则有

iL(0+) = iL(0) = 0.5 A

+6V-S(t0)36+① +3V-2iR(0)6V-36iL(0)iRiL0.5H2+3V-②

(a)图5-24 例5-11图

(b)计算 iR(0+) ，图5-24 (b) 中，以②点为参考点，设节点①的电压为uR , 对①点列KCL方程

iR(0)iL(0)uR63uR3036uRiR(0)2解得 iR(0+) = 1.5 A 当t =∞时，L视为短路，故 iR(∞) = 0 从L两端看进去的一端口网络的等效电阻为

1 Req= =1 

111263时间常数 τ=L/Req= 0.5 s 所以 iR(t) = iR(∞) + [iR(0+) iR(∞)]e

－

t/ = 1.5 e

－

2t A

例5-12 电路如图5-25所示。已知us=1002 sin 100t V，Us=50 V，R0=5 ，R1=5 ，L=0.1 H， 当t = 0时，S从1切换到2，且换路前电路已稳定。求t≥0时的iL(t)。

147

解 用三要素法求解

⑴ 求初值iL(0)和iL(0+)

在t=0 时电路中Us作用于电路且电路已稳定，L相当于短路，所以 iL(0)=

Us50 A= 5 A R0R1552S(t0)1il+US-R0+uS-L 由换路定则得 iL(0+)= iL(0)= 5 A ⑵ 求时间常数，换路后的电路求时间常数

L0.1  = s0.02 s

R15 ⑶ 用待定系数法求换路后的稳态解 iL∞(t) 换路后的微分方程是

R1

图5-25 例5-12图

diLR1iL=us ① dt 设 iL(t)=2IL sin (100t+i) ②

L将式②代入式①得

20.1IL100 cos (100t+i)+25IL sin (100t+i)=2100 sin (100t)

则 IL10252 sin (100t +i +) = 100 sin 100t A 比较系数得

IL=

10010522=8.94 A

10 =  63.43 5所以 iL(t)=8.942 sin (100t63.43) A i =  = arctg ⑷ 用三要素法可写出iL(t)

iL(t)= iL(t) + [ iL(0 + )iL(0 + ) ]et/

=iL(t)  [5  8.942 sin (63.43)]e

－

－

50t A

= 8.942 sin (100t63.43)+16.31e

－

50t A

⑸ 求换路后的稳态解也可以用相量法:

U1000s IL=8.94 63.43 A RjL5j1000.1所以 iL(t)=8.942 sin (100t63.43) A

5.5 一阶电路的阶跃响应

在动态电路中，一般将单位阶跃函数激励下的零状态响应，称为单位阶跃响应。为方便描述电路的激励和响应，常应用阶跃函数（step function）来表示开关的动作。

148

5.1.1 单位阶跃函数及其性质

1. 单位阶跃函数的定义

① 单位阶跃函数，又称(t)函数，是一种奇异函数。单位阶跃函数如图5-26（a），可定义为

t00, (t) （5-30）

1t0,

② 延迟的单位阶跃函数，如图5-26（b）。

tt00,(tt0) （5-31）

tt1,0

2. 阶跃函数的性质

① 阶跃函数的起始性，如图5-27。

0,tt0f(t)(tt0)

ttf(t),0f(t)在t0作用于电路的换路描述就可用该函数替代。

(t)101(tt0)t(a)0t0t

图5-26 阶跃函数

(b)

② 可以用阶跃函数来表示电源的接入，即描述开关，如图5-28。

f(t)+t0kVN-0t0t==+k(t)V-Nf(t)(tt0)(a)电压源接入t00t0tkANk(t)AN

(b)电流源接入图5-27 阶跃函数的起始性

图5-28 阶跃函数表示电源接入

③ 合成矩形脉冲 两个延迟的单位阶跃函数相减可得到一个矩形脉冲。

如图5-29所示的矩形脉冲可写成f(t)(tt1)(tt2)

149

f(t)10t1t2t

图5-29 矩形脉冲

5.5.2 一阶电路的阶跃响应

(1) 定义：单位阶跃输入的零状态响应称为阶跃响应，记作：s(t)。要注意必须是在零状态下。

(2) 阶跃响应的求法与恒定直流作用下的零状态响应求法，本质上是相同的。

例5-13 如图5-30所示电路，开关S合在1时电路已达稳态。t=0时，开关由1合向2，在tRC 时又由2合向1。求t0时的电容电压uC(t)。

⑴ 方法1 （用阶跃函数表示激励，求阶跃响应） 由题意知，电源的激励方波uS(t)可表示为 uS(t)US(t)US(t) 波形如图5-31(a)。

∵RC电路的单位阶跃响应为

R2S(t0)+1US-uC+-C

t)(1e s(tt)(t)

t图5-30 例5-13题图

∴方波uS(t)的响应为

uS(t)uC(t)US(1e)(t)US(1e)(t)

US 其中第一项为阶跃响应，第二项为延迟阶跃函数

响应。uC(t)的波形如图5-31(b)。 ⑵ 方法2 （按时间分段求解） 在t[0,]区间为RC电路零状态响应 uC(0)uC(0)0 ∴uC(t)US(1e0t(a)US0.632US0uC(t)t)，RC

在t[,]区间为RC电路的零输入响应 uC()US(1e)0.632US

tuc()uc()0.632Us

∴uC(t)0.632USet(b)图5-31 例5-13题解附图

。

150

5.6 一阶电路的冲激响应

5.6.1 单位冲激函数及其性质

1. 单位冲激函数的定义

⑴ 单位冲激函数，又称(t)函数，也是一种奇异函数。单位冲激函数如图5-32（a），可定义为

(t)0t0, （5-32） t0,且满足

(t)dt1

⑵ 延迟的单位冲激函数 延迟的单位冲激函数，又称(tt0)函数，如图5-32(b)，可定义为

(tt0)0且满足

(t)tt0, （5-32） ,tt0(tt0)dt1

(tt0)1

t0t0t

图5-32(a) 单位冲激函数 图5-32（b） 延时的单位冲激函数

单位冲激函数(t)可以看做是单位脉冲函数的极限情况。如图5-33是一个单位脉冲函数

p(t)。假设脉冲的宽为，高为

越窄直到0，脉冲高度

11，在保证矩形面积1不变的情况下，它的宽度越来

1，在此极限情况下，可以得到一个宽度趋于零，幅度趋于无限大的面积仍为1的脉冲，这就是单位冲激函数(t)，可记为

limp(t)(t)

0

151

1t0△

图5-33 单位脉冲函数

⑶ 冲激强度 定义中的积分值称为冲激强度。k (t)的冲激强度为k。 2. 单位冲激函数的性质

⑴“筛分”性质

f(t)(tt0)f(t0)(t0)

f(t)(tt0)dtf(t0)(tt0)dtf(t0) （5-33）

冲激函数能把一个函数在某一时刻的值“筛”出来的功能，称“筛分”性质，又称取样性质。

⑵ 冲激函数 (t)与阶跃函数 (t)的关系

(t)d(t) （5-34） dtt(t)()d （5-35）

5.6.2 一阶电路的冲激响应

1. 定义

一阶电路在单位冲激函数(t)激励下的零状态响应称为一阶电路的冲激响应。记作h (t)。这里零状态一般是指t=0 时，电路中储存的能量为零。 2. 冲激响应h(t)与阶跃响应s(t)的关系

对同一电路同一变量而言，其冲激响应h(t)与阶跃响应s(t)之间满足

h(t)ds(t) （5-36） dtts(t)h()d （5-37）

3. 冲激响应的求解

一阶电路的冲激响应的求解过程是

（1）列出t≥0时电路的微分方程，设x(t)为uC(t)或iL(t)，则方程的形式为

adx(t)bx(t)(t) （5-38） dtx(0)0 （5-39）

（2）求x(0+)，其方法是对式（5-38）取积分

00dxt0[adtbxt]dt0tdt

152

x(t)不是(t)函数，否则式（5-38）不成立。因此

00x(t)dt0，而(t)dt1。

0000dxtdtbxt]dttdt00则得 0dt

a[x0x0]01a01x(0)x(0) （5-40）

a（3） 当t≥0+时，方程（5-38）、（5-39）变成（注意，t≥0+时， (t)=0）

dx(t) abx(t)0 （ 5-41）

dt x(0)1x(0) （ 5-42） a（4）解微分方程（5-41）、（5-42） 实际上已变成零输入响应(t≥0+)的求解问题。 由上述过程可以看出，冲激响应可分为两个过程

第一个过程是t从0→0+，在这瞬间x(t)从x(0)→x(0+)，产生跃变x(0)≠x(0+)。因为

(t)在t = 0时为无限值，这时已不满足换路定则的条件，因此，换路定则不成立。

第二个过程是t从0+→∞，这时(t)已不起作用，这一过程实际上是在第一过程产生的非

零状态x(0＋)激励下的一个零输入响应过程。

例5-14 求图5-34所示电路的i(t)，已知i(0) = 0。

+-10i5(t)2H

图5-34 例5-14题图

解 (1) 电路方程及初始值为

L

di + Ri =5(t) ① dt i(0) = 0 ②

(2) 对式①两边积分得

L0000didt0Ridt50(t)dtdt

i(t)为有限，且不能为(t)函数，否则式①不能成立，所以有

5i(0)A

2diRi0 ③ dt5 i(0)A ④

2t55t解式③、④得 i(t)e A2.5eA

2 (3) 当t＞0+时有 L 153

其中 L2()s0.2s R10或用三要素法，由第（2）步已得i(0)5A，L(2)s0.2s，i()0A，代入2R1055t三要素公式，得i(t)e A2.5eA。

2例5-15 求图5-35所示电路对单位冲激信号的响应。

RiC++t(t)-CuC(t)-

图5-35 例5-15题图

解 （1）求初始值

由KVL (t)= iCR+uC

求uC(0)，对上式两边积分

00(t)dticRdtuCdt0000 10uC(0)uC(0)

uC(0)=1V （2）t≥0+时，为uC(0)条件下的零输入响应

ttRCuC(t)uC(0)e=eV

5综合例题 图（a）所示电路中， R1=6Ω，R2= 4Ω，L=100mH， 当电源电压是(1) 当us=4V；

(2)当us=4(t)V； (3)当us=4δ(t)V，分别求出iL和uL。

R1

R

+ us 

iL L 5综合例题 图（a）

+ uL  R2

+ iL 5综合例题 图（b）

0.4us  + uL L 

解：(1) 当us=4V；属直流稳态电路，此时，L是短路uL=0V，ilus42A; R163(2) 当us =4(t) V；属直流动态电路分析，为了求时间常数，把图（a）等效变换为图（b），其中 RR1R22.4

R1R2求三要素， i(0+)=i(0) = 0A，

1

i() us0.442A R12.43L0.11s R2.424t代入三要素公式得， il(t)il()[il(0)il()]e2(1e24t)A (t0) ① 3ul(t)ldi20.1(24)e24tV1.6e24tV (t0) ② dt3 (3) 当us = 4δ(t) V，属直流动态电路分析，时间常数与（2）所求相同。此时电感电压uL不是有限值，所以iL(0)iL(0)不再成立，需根据电路图（b），列KVL方程，求出iL(0)

RiLL00diL0.44t dt0diL0RiLdt0Ldtdt1.60(t)dt L[i（（=1.6L0+）-iL0-）]i（16A L0+）i（0A L）il(t)il()[il(0)il()]et16e24t A (t0) ③

ul(t)ldi0.116(24)e24tV38.4e24t V dt(t0) ④

注意，t0的区间要求，在暂态分析中，尤其是明显的开关动作，主要关心的是换路后的情况，即t0，本题是冲激响应，主要的变化应在t=0时刻，因此，更全面的分析时间区间应该是（(,)，那么，③式应写成

il(t)16e24t(t)A

ul(t)ldi0.1[16(24)e24t(t)16e24t(t)] dt38.4e24t(t)1.6e24t(t)从以上分析可知，当求冲激响应时， t=0时刻的变化很关键，因此，更全面的分析，时间区间应该是(,)。

155

5.7 二阶电路的零输入响应

本节将通过实例说明二阶电路的微分方程的列写和动态响应的求解方法。

5.7.1 RLC串联电路的零输入响应

1. RLC串联电路、方程及特征根

零输入RLC串联电路如图5-36所示，设电路参数R、L、C已知，开关S 在t=0时闭合，初始状态不为零，则电路的响应由初始状态引起，是零输入响应。

u-C+iuR+-RCS(t0)+LuL-

图5-36 RLC串联电路

初始状态： uC(0)U0，iL(0)I0

则共有六个待求电路变量，即三个元件电阻、电感、电容的电压uR、uC、uL和电流iR、iL、iC。为求解这些变量首先要建立此电路的微分方程，通常以uC为变量列方程。

在图示参考方向下，由KVL可得

uRuCuL0 （5-43）

又知电容、电阻和电感的VCR方程

iR(t)iL(t)iC(t)CduC dt uR(t)RiR(t)RCduC dtd2uCdiL uL(t)L LC2dtdt将其带入（5-43）式得到以下微分方程 d2uCduC LCRCuC0 （5-44）

dtdt22这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为 LCsRCs10 由此求得两个特征根s1、s2的值

s1,2R2L(R21) （5-45） 2LLC若电路中所选R、L、C的参数不同，则上式中根号内的符号亦不同，可能为正值、负

值和零值。因此特征根s1,2也会有不同的值，应该有三种情况，下面分别讨论这三种情况下电路的响应形式。

156

2. 零输入响应

1） R2LC，过阻尼情况(非振荡放电过程)

R1，即L时，特征根s、s是两个不相等的实数根，此时齐次方程的当12R2C2LLC解, 设为

uC(t)K1es1t2K2es2t （5-46）

K1s1K2s2iL(0) C由电路的初始条件5-43得到 uC(0)K1K2

duCdtt0 联立两方程求解得 K11iL(0)su(0)2C s2s1C1iL(0)su(0) 1Cs2s1C K2将其代入式5-46中，得到

uC(t)uC(0)iL(0)(s1es2ts2es1t)(es1tes2t) （5-47）

s1s2C(s1s2) 电感电流iL(t)可由iL(t)iC(t)CduC求得 dtu(0)s1s2Cs1ti(0)iL(t)C(ees2t)L(s1es1ts2es2t)

s1s2s1s2 电路中的其它变量亦可由元件的伏安关系相应求得，这里就不再一一列举。

当电路中电容中有贮能，电感无贮能时，即uC(0)U0，iL(0)0，代入公式可得

uC(t)iL(t)U0(s1es2ts2es1t) （5-48）

s1s2U0s1s2Cs1tU0(ees2t)(es1tes2t) （5-49）

s1s2L(s1s2)uLLU0diL(s1es1ts2es2t) （5-50） dts1s2u,i这三个变量随时间变化的波形图如图5-37所示

U0uC0iLtmtuL

图5-37 过阻尼情况时电路的响应

从波形图上看，电容电压uC始终单调地下降，即不断地在减小，说明电容通过电阻和电

157

感放电；电感电流iL一开始是呈上升趋势，在tm时刻达到某一最大值，然后开始下降，最终趋向于零。由电感的伏安关系知电感电流iL达到最大值时，电感电压uL应该为零。所以令

diL0可求出此时间值 dttmln(s2/s1) （5-51）

s1s2从物理意义上来说，初始时刻后电容通过电感、电阻放电，它所贮存的电场能量一部分转变为磁场能存于电感之中，另一部分被电阻消耗。电感在时间ttm时吸收能量，建立磁场；由于电阻比较大（R2L/C），电阻消耗能量迅速，所以到ttm时电流达到最大值，而在ttm时，电感亦随着电流的下降而释放能量，磁场的贮能逐渐衰减，连同电容释放的电场能量一起供给电阻消耗。最终能量将全部被消耗，电路中的储能趋于零。这一过程中的能量转换可用表5-4表示。

表5-4 过阻尼电路能量转换表 R C L [0, tm] [tm,∞] 消耗能量 释放能量 释放能量 消耗能量 释放能量 吸收能量 由于电路中电阻值较大，消耗能量快，所以称电路的这种情况为过阻尼情况；从电容角度来讲，它的电压始终单调地下降，就是说整个过程中电容一直在释放能量，因此这种情况的过渡过程也称为非振荡的放电过程。

例5-16 如图5-38所示电路，已知Us= 300 V，R = 250 ，L= 0.25 H，C = 25 F，原来开关S是闭合的，电路已达稳态，t=0时将S打开。求S打开后电容和电感上的电压、电流的变化规律。

+S(t0)RC+US-L-uC

iL

图5-38例5-16图

iC解 当S闭合电路达到稳态时，有 uC (0+)=Us=300 V， iL(0+)=根据换路定则有

uC(0＋) = uC(0 ) = 300 V

Us=1.2 A RiL(0＋) = iL(0) = 1.2 A

du因为 iC＝CC＝iL

dtduCi(0)＝L=  4.8104 可求出

dtt０C＋ 158

S打开后RCL串联电路不再有外施激励，故电路电压、电流只是零输入响应。与微分方程相应的特征方程的根为

R s1、＝－22LR21 LC4L2s1 =  200 s2=  800 200tK2e800t 因此电容电压 uC =u=K1e将初始条件代入，有

K1 +K2 = 300

 200K1  800K2 =  4.8104 解得 K1= 320，K2 =  20，故得到t≥0时 电容电压 uC320e电容电流 iCC200t20e800t V

duC1.6e200t0.4e800t A dtdu200t0.4e800t A 电感电流 iLiCCC1.6edtdi200te800t V 电感电压 uLLL80edt将t =0代入uC 和iL 进行校验，与初始值相符。

此外，还可由KVL列出电路方程uC =RiL + uL对上述结果加以校验。 2）R2LC，临界阻尼情况

R21，即R2L时，特征根s1、s2为两个相等的实数根 )2LLCCRs1s2 （5-52）

2Lt此时齐次方程的解答可设为 uC(t)(K1K2t)e （5-53）

当(

代人电路的初始条件5-43可得 uC(0)K1 duCdtK1K2t0iL(0) C联立两方程求解得 K1uC(0)

K2将其代入式（5-53）中，得到

iL(0) uC(0) CiL(0)t （5-）

teCuC(t)uC(0)(1t)et同第一种情况，可由电感的VCR求得

iL(t)iC(t)CduCuC(0)2CtetiL(0)(1t)et （5-55） dt 159

当电路中电容中有贮能，电感无贮能，即uC(0)U0，iL(0)0时，代入公式可得

U0tte，uL(t)U0et(1t) L由上式可知，三个电路变量随着时间的增长均趋于零，电容电压uC和电感电流iL不做振

t uC(t)U0(1t)e，iL(t)荡变化，即储能也不做振荡变化，能量单调地减少，有非振荡性质。三个变量随时间变化的波形图与过阻尼波形图相似，但它处于振荡与非振荡之间，所以称为临界阻尼情况。

1 例5-17 图5-39所示电路中，已知R2 k，L H，C1 μF，uC(0)2 V，

22iL(0)0，求零输入响应uC和i。

--RS(t0)uC+i+LuL-CuR+

图5-39例5-17图

解 2L0.5L22kR2，，电路属于临界阻尼情况。 6CC0.5102由式 求得固有频率为

R1RRs122000 1/s

2LLC2L2L2000t其解为 uC(t)(A1A2t)e

dui(t)CCC[A2e2000t2000(A1A2t)e2000t]

dt将初始条件 uC(0)uC(0)2V i(0)iL(0)0 代入uC(t)、i(t)表达式，得 A12

A220000A10

解得 A12 A2200024000

2000t则 uC(t)(24000t)e V

i(t)0.5106[4000e2000t2000(24000t)e2000t]4te2000t A

3）R2LC，欠阻尼情况(振荡放电过程)

R21)，即R22LLCRRs1,2()22L2LR式中 ——衰减系数

2L 当(L时，特征根s1、s2为一对共轭复数 C1R1Rj()2jd （5-56） LC2LLC2L 160

d 01R2()202——衰减振荡角频率 LC2L1——固有振荡角频率(或谐振荡角频率) LC此时齐次方程的解答设为

uC(t)et(K1cosdtK2sindt) （5-57）

（1） 解的表达形式1

u22K1C(t)etK1K2(cosK2K22dt22sindt) 1K2K1K2 Ketsin(dt) 式中 KK221K2, θarctgK1K 2将电路的初始条件(5-43)直接代入(5-57)得

uC(0)K1uc(0)

联立两方程求解得 K1uC(0) K1iL(0)2u(0)C dC（2） 解的表达形式2

如果将K1、K2表达式直接代入式(5-57)中，可得

(5-59)式是叠加定理的体现。

电感、电容电流可由iL(t)iduCC(t)Cdt求得

式中 22d0d，arctg 当 iL(0)0、uC(0)U0时

u(t)(t)

C、iL的波形图如图5-40所示。

161

（5-58）

（5-59）

5-60） （uC,iLU0iLβ0U0etd0πβπtuC0U0etd

图5-40 欠阻尼情况时电路的响应

由波形图可知，三个变量最终均趋于零，所以是放电过程，但电容电压并不是始终单调地下降，能量在整个时间段内有时释放有时吸收，因此称这种情况为振荡放电过程。α为衰减系数，其值越大，图中所示电压衰减越快；ωd为角频率，其值越大，电压波形周期越小，振荡加快；从包络线上看，电容电压是按指数规律衰减的。电路中各元件能量随时间的变化可由表5-5来表示。

表5-5 欠阻尼电路能量转换表 ωt R L C (0,β) 消耗能量 吸收能量 释放能量 (β,π-β) 消耗能量 释放能量 释放能量 (π-β, π) 消耗能量 释放能量 吸收能量 此种情况中电阻阻值较小，称为欠阻尼（underdamlped）情况。若阻值为零，即电路中无电阻，也就是没有能量消耗部分，则电路呈现等幅振荡形式。能量不断往返于电场与磁场之间，永不消失。

（3）解的表达形式3---无阻尼电路

在R0且uC(0)U0、iL(0)0时，0，则0这时uC、i、uL的表达式为

1LC，2

uCU0sin(0ti2 ) （5-61）

U0U0sin(0t)sin(0t) 0LL/CuLuCU0sin(0t)

2这时uC、i、uL诸量都是正弦函数，它们的振幅并不衰减，是一种等幅震荡过程。 尽管实际的震荡电路都是有损耗的，但若仅关心在很短的时间间隔内发生的过程时，则按等幅震荡处理不会带来显著的误差。

例5-18 强大脉冲电流可以由RLC放电电路产生。若已知放电电路U015 kV，

C1700 μF，R6104，L6109H，试问

162

（1） （2）

i(t)为多少？

i(t)在何时达到极大植？求出imax。

2 解 根据已知参数有

R5104 1/s 2L1Rj3.09105 rad/s

LC2Larctan1.41 rad

即特征跟为共轭复数，属于震荡放电情况。所以有

（1）电流i为

i4U0tesin(t)8.09106e510tsin(3.09105t) A L（2）当t，即当t464.56 μs时，i电流达到极大值 imax8.09106e5104.5610sin(3.091054.56106) A6.36106 A

5.7.2 GLC并联电路的分析

ｔ>0时GCLis并联电路如图5-41所示。

isiGGiCC+iL-uCL

图5-41二阶并联电路

它与RLCus串联电路是互相对偶的。所以二者的微分方程式、固有频率式、变量响应式都是互相对偶的。由此，我们可知t>0时解的变量iL(t)的二阶微分方程为

d2iLdi LC2GLLiLiS （5-62）

dtdt两个固有频率为 s1,2G1G （5-63）2C2CLC

2G、L、C的值不同时，特征根可能有三种情况 （1） 当G2（2）当G2C时，s1,2为两个不相等的实数根，电路是过阻尼的； LC时，s1,2为两个相等的实数根，电路是临界阻尼的； L 163

（3）当G2C时，s1,2为两个共轭复数根，电路是欠阻尼的； L

例5-19 如图5-42所示的电路中，S闭合已久，t = 0时将S打开，求uC、iL。

S(t0)1+1V-RuR500-++uL-L+u3.85HCiRiLiC-C100μF

图5-42 例5-19图 解:求初始值

1 ViL(0)iL(0)1 A uC(0)uC(0)0 V

1 iR、iL、iC方向如图，取关联参考方向，S打开后，由KCL得

iR + iL + iC =0

duCdi uLLL dtdt且 uR = uC = uL 而 iCC从而得到

d2iLLdiLLC2iL0

Rdtdt代入数据整理得

d2iLdi5 7721 0L210iL0

dtdt iL(0)iL(0)1 A uC(0)uC(0)0 V

可解得特征根为

s1、2=  10±j49.97 从而 iLe10tA1 cos 49.97tA2 sin 49.97t

diLdt0 V

0由初始条件可得 iL(0＋) =1 A，uC(0)L解得 A1 =１， A2 = 0.2

所以 iLe10t cos 49.97t0.2 sin 49.97t1.02e10t sin (49.9778.69) A

did uCuLLL3.851.02e10t sin (49.97t78.69) V = 200e10t sin 49.97t V

dtdt

1

5.8 二阶电路的全响应、零状态响应和阶跃响应

5.8.1 RLC串联电路的全响应

在图5-43 的RLC串联电路中，若电路的输入uS0，初始状态也不为零，则电路为全响应。这一节通过实例研究此种电路的全响应。为了方便，我们把t>0时的电路重画于图5-43中。

R++iL+uR-+uL-us-uC-C

图5-43 t>0时的RLC串联电路

与5.7节的串联电路方法一样，先列出电路的微分方程

d2uCduCLCRCuCuS （5-） 2dtdt这是一个非齐次的二阶微分方程，由高等数学的知识知，其解uC(t)等于非齐次微分方程的特解ucp(t)加上对应齐次微分方程的通解uch(t)。即

uC(t)uch(t)ucp(t)。

可令特解ucp(t)US，它是满足非齐次微分方程的一个解。特征根不同通解uch(t)形式也不同，情况与§5.7节零输入响应的结论相类似。如设特征根s1,2为两个不相等的实数，则电路的完全响应为 uc(t)K1e代入电路的初始条件可得

s1tK2es2tUS （5-65）

1iL(0) s(u(0)U)2CSs2s1C1iL(0) K2s(u(0)U)1CS s2s1C这与零输入响应的结果比较，主要差别仅在于K1、K2公式中的uC(0)US代替了uC(0)，

K1并且在解的表达式中多了US项；iL(0)前面的符号差别是由于uC(t)参考方向不同所引起。

例5-20 如图5-44(a)所示电路。已知Us=100 V，R =10 ，C= 2 F，L = 0.5 mH，原来开关S是闭合的，电路已达稳态。求Ｋ打开后uC的过渡过程。

和暂态分量uC 解 将解答分解成稳态分量uCuC uCuC因输入是直流电源，可直接得到稳态分量 =US=100 V uC暂态分量则取决于特征方程的根:

165

RR2144 s1、 10j310222L4LLC这是一对共轭复根，可知电路暂态分量为

267uC/VR+L100+us-CuC-S(t0)0100200t/(μs)(a)(b)图5-44 例5-20图

etA1 cos tA2 sin t uC10 =e uCuC变:

A cos 310tA sin 310t V

Acos 310tAsin 310t V u100e4t4412104t44C12 由初始条件确定常数A1、A2，设开关S打开瞬间为t =0，在此瞬间uC和i不发生突 uC(0＋)=uC(0) = 0 V i(0＋)=i(0)=而 iC故

duCdtUS=10 A RduC dti(0)5106 Ct0所以有 100 + A1=0

( 104)A1 + (3104)A2=5106 解出 A1=  100， A2 =133 则有

22A1A2167 A tg1136.9

A2 A最后得到当t≥0时的解为

uC[100167e10t sin (3104t -36.9)] V

将t =0和t→代入上式进行校验与已知的初始值和稳态分量均相符。 uC变化曲线如图5-46(b)所示。

4 166

5.8.2二阶电路的零状态响应和阶跃响应

二阶电路的零状态响应是全响应的特例，当二阶电路的初始状态uC(0)0且

iL(0)0时，在输入作用下产生的响应。

二阶电路的阶跃响应 二阶电路的初始状态uC(0)0且iL(0)0时，输入为阶跃函数所产生的响应。可见二阶电路的阶跃响应是零状态响应的一个特例。

二阶电路的零状态响应和阶跃响应的求法与全响应求法相似。其过程这里不在赘述，表5-6列出了RLC串联电路、GCL并联电路的阶跃响应。

表5-6 RLC串联电路、GCL并联电路的阶跃响应

电路名称 RLC串联电路 GCL并联电路 电路图 RiLusuRuLC uCiGisiCiLGCduRCCuCusdtuCL CLd2iLdt2 GLdiLiLis ……….（d） dt方程 初值 阶 激励 稳态解 跃 响 应 响 应 过 程 LCd2uCdt2 ….（ａ） uC(0+) = 0； iL(0+)= 0 us=Us(t）， R＞0时uC的稳态解uC(∞) =Us ① 若R＞2② 若R＜2③ 若R=2升到Us L，uC为单调上升到Us CL，uC为振荡上升到Us CL，临界情况，uC为单调上C IL(0+) = 0； uC(0+) = 0 is=Is(t) G＞0时，iL的稳态解iL(∞) =Is ① 若G＞2② 若G＜2③ 若G =2Is C，iL为单调上升到Is LC，iL为振荡上升到Is LC，临界情况，iL为单调上升到L 例5-21 如图5-45（a）所示电路，求电路的阶跃响应i(t)。

i(t)+iRi(t)200C4000.5μFL10mH20012ViCC4000.5μFL10mH

12(t)-(a) (b)

图5-45例5-21图

解 t＞时的等效电路开关闭合如图5-47(b)，设电流iR、iC的参考方向。

(1) 列写微分方程

167

由ＫCL得 iR + iC + i =0 ①

di由ＫVL得 uC400iL ②

dt iduCdid2 iCCdt400CdtLCdt2

iuus1diRC200200400iLdtus 把 i代入式①，并整理得 LCd2iLdiuC，iRsdt2400C200dt3i200 代入参数并化简得 d2i4didt2510dt6108i(t)12106 (2) 求方程的齐次解

特征方程为 s25104s61080 特征根 s1 =  2  104

s2 =  3  104

故，齐次解: it)B210th(1e4B3104t2e t≥0 式中B1和B2为待定常数。 (3) 求特解ip(t)

由于激励为直流电压源，故特解为常数，设

ip(t) = Ip ip(t) = I12106代入式③得p61082102 A ip(t)即为稳态时的电流i(t)（即为稳态响应）。 (4) 求B1、B2 零状态响应（通解）i(t)为

i(t)B2104t41eB310t2e2102 A 初始条件为 i(0＋)=0， uC(0＋)=0 由式②可知 didt1uC(0)400i(0)0 t0L故由式④得

i(0)=B1 + B2 + 2  102=0

didt2104B13104B20 t0解得 B1=  0.06， B2 = 0.04 故 i(t)(0.06e2104t0.04e3104t2102)(t) A

168

③

④ 5.8.3 一般二阶电路的时域分析

一般二阶电路可以转换成典型二阶电路进行分析，也可直接对电路列写KL和VCR方程，再整理得到二阶微分方程，最后求解二阶微分方程。

例 5-22 电路如图5-46(a)所示。已知iL (0＋) =1 A，uC (0＋) = 2 V。求t≥0时的uC (t)。 解 设各支路电流的参考方向如图5-48 (b)所示。

1HiL+L1HiL+iRL3uL-R1uC-C1FR21R13-+uR1uC+-iCC1FR21

(a) (b)

图5-46 例5-22图

⑴ 列写微分方程

由KVL得 uLuCuR10 ① uduC iRC

R2dtudu iLiCiRCCC ②

R2dt由于 iCCd2uCdiLLduC uLL LC2dtR2dtdtRduC uR1R1iL1uCR1C

R2dt把uL和uR1代入式①，并整理得

d2uC1R1duC1R1uC0 1 RCLdtLCRdt222把元件参数代入上式，得

d2uCduC 44uC0 ③ 2dtdt⑵ 求uC(t)

微分方程式③的特征方程为 s2 + 4s+ 4 =0 特征根 s1、2 = 2

故 uC(B1tB2)e2t ④ 由初始条件和式④得 uC(0＋) = B2 = 2 V

duCi(0)u(0)12LC1 由初始条件和式②得

dtt0CR2C11由式④得

duCdtB1e2t(B1tB2)(2)e2tt0t0= B1  2B2 = 1

求解 B2=2

169

B1－2B2=－1 得 B1=3， B2 =2

故 u(t)(3t2)e2t V t≥0

例5-23 图5-47含受控源电路处于零初始状态，已知us10(t)，试用经典法求各支路电流。

i1R120+R3R21030i2-R110i++R3R2+us-iL10.5HL2us-+1HuL1(0)-uL2(0)-

（a） (b)

图5-47 例5-23图

解 设各支路电流参考方向如图5-47(a)，用支路法列出电路的方程:

i1= i + i2 ①

di R1i1R2iL1us ②

dtdidi R3i2R2iL22L110i ③

dtdt将式①代入式②，并将元件数值代入，有

di 50i0.520i2us ②′

dtdidi 40i0.510i220 ③′

dtdtd引用微分算子 Ｄ=

dt方程②′、③′改写为

500.5D i20i2us ④ 400.5D i10Di20 ⑤ 为了解出变量i必须得到分别含有这两个变量的方程，令

500.5D20 Δ0.5D265D1 300

400.5D10D Δ1则 ius02010D(10D)us

Δ1(10D)us ⑥ Δ0.5D265D1 300由式⑥即可得到只含单个变量的微分方程

0.5D265D1 300 i10D us d2ididu或写为 0.52651 300i10uss

dtdtdt 170

dus0，代入上述方程得 dtd2idi 0.52651 300i100 ⑦

dtdt方程⑦的特征方程为 因为(t≥０＋时)us=10V，所以

0.5p2 + 65p + 1 300=0

解方程得 p1=  24.7，p2=  105.3

因为特征根是不等的实数，所以得齐次方程通解为 iA1e24.7tA2e105.3t

1001由式⑦求特解 i

1 300131完全解 iiiA1e24.7tA2e105.3t ⑧

13di对式⑧求导 24.7A1e24.7t105.3A2e105.3t ⑨

dt由初始条件确定积分常数，给定的条件为零初始状态，所以 i(0＋)=i2(0＋)=０

作出t = 0＋时的电路如图5-47（b），由此我们可以求出t = 0＋时的感元件均视为开路（因两电感的初始电流为零），得 uL1(0＋)= uL2(0＋)=10 V

diu(0)L120 所以

dtt0L1将初始值代入式⑧、⑨得

A1 + A2 + 1/(13) =０

 24.7A1  105.3A2=20

由此解出 A1= 0.1477 A2=  0.224 6 代入式⑧，即得出解答为 idi之值。在t = 0＋瞬间，两电dt40.278e24.7t0.0297e105.3t A （t≥0） 13di）/20 dt由②′得 i2 =（us  50i  0.5 =

40.227 8e24.7t0.029 7e105.3t A （t≥0） 13 i1ii250.130 3e24.7t0.2 3e105.3t A （t≥0） 13 171

5.9 仿 真

【仿真例1】一阶动态电路如图1所示

(1) 在t=0时，开关S1打开，开关S2闭合，在开关动作前，电路已达稳态，观察

L1两端电压的波形。

(2) 经过10s后，开关S1闭合，S2打开，观察L1两端电压的波形。

仿真图1

1. 启动Multisim,界面如图2

仿真图2

2.创建电路

通过菜单Place -> Conponent,选择所需元件，绘制电路，如图3

仿真图3

172

仿真图4

3..仿真

启动仿真，打开示波器 ①零状态响应分析

在S1,S2打开时，闭合开关S1，观察示波器，如图4 ②零输入响应分析

在S1闭合,S2打开时，打开开关S1，观察示波器，如图5

仿真图5

173

③全响应分析

在S1闭合,S1打开时，闭合开关S2，观察示波器，如图6

仿真图6

【仿真例2】 二阶过阻尼电路的零输入响应分析，电路如图1所示，开关J1在t=0时刻打到电源正极，(1) 将开关打到电源负极，观察示波器波形；（2） 将开关打到电源正极，观察示波器波形。 仿真图

2. 启动Multisim,界面如图2

仿真图2

174

2.创建电路

通过菜单Place -> Conponent,选择所需元件，绘制电路，如图3

仿真图3

3.仿真 启动仿真，打开示波器

① 零输入响应

鼠标左键点击开关S，或按空格键使开关打到电源负极，观察示波器波形，如图4

仿真图4

②零状态响应 待波形稳定后，点击开关S，观察示波器波形，如图5

仿真图5

175

习 题 五

§5-1动态电路的方程及初始值

5-1 题5-1图所示各电路在换路前都处于稳态，求换路后电流i的初始值和稳态值。

L+6V-(a)L1i6Ai2Ωt=02Ωi2Ω+6V-t=0C2Ω(b)t=02ΩL2+6V-t=0i2Ω2Ω2Ω(d)题5-1图C(c)5-2 题5-2图所示电路中，S闭合前电路处于稳态，求uL、iC和iR的初始值。 +uL-R2S

3kΩiRt=0iCiC R1 St=0 2kΩ4mAC3Ω6AC+ LuL6Ω -

题5-3图题5-2图

5-3 求题5-3图所示电路换路后uL和iC的初始值。设换路前电路已处于稳态。 §5-4 三要素法

5-4 题5-4图所示电路中，换路前电路已处于稳态，求换路后的i、iL和 uL。

1+10V-2S20ΩiiL40Ω20Ω+2H8Ω12ΩS+44V-i+t=0uL-t=01F3uC24Ω-题5-4图

176

题5-5图

5-5 题5-5图所示电路中，换路前电路已处于稳态，求换路后的uC 和i。

5-6 题5-6图所示电路中，已知开关合上前电感中无电流，求t0 时的iL(t)和uL(t)。

S6Ω100Ω25ΩS

iLt=0t=0 i2Ω+++ 3Ω24V+uC300Ω20V0.05F- --1HuL- 题5.6图题5.7图

5-7 题5-7图所示电路中，t=0时，开关S合上。已知电容电压的初始值为零，求uC(t)和i(t)。

5-8 题5-8图所示电路中，已知换路前电路已处于稳态，求换路后的uC(t)。

40ΩS4kΩ

t=0 St=060Ω+++

uC10μF20V8kΩ1mA10μFuC+ ---4kΩ10V

-

题5.8图题5.9图

5-9 题5-9图所示电路中，换路前电路已处于稳态，求换路后uC(t)的零输入响应、零状态响应、暂态响应、稳态响应和完全响应。

5-10 题5-10图所示电路中，换路前电路已处于稳态，求换路后的i(t)。

i S1R1R2++ 36Vt=0S212V- ++-1H6Ωt=0.2s uCUSCt=03Ω-- S 题5.11图题5.10图

5-11 题5-11图所示电路中，US=100V，R1=5kΩ，R2=20kΩ，C=20μF，t=0时S1闭合，t=0.2S时，S2打开。设uC(0-)=0，求uC(t)。

5-12 题5-12图(a)所示电路中，i(0-)=0，输入电压波形如图(b)所示，求i(t)。

uS/ V+2Ωi3Ω1HO(a)177

12uS-

t / s(b)题5.12图5-13 题5-13图(a)所示电路中，电源电压波形如图(b)所示，uC(0-)=0，求uC(t)和i(t)。

R+10kΩi+2uS/ V50μFuS-uC-O-20.20.6t / s(a)题5.13图(b)5-14 要使题5-14图所示电路在换路呈现衰减振荡，试确定电阻R的范围，并求出当R=10Ω时的振荡角频率。

2kΩRs2mHS Sit=0t=0

++++ 1H20μF10VUSuL1μFuCR- --- 题5.14图题5.15图

5-15 题5-15图所示电路中，换路前电路处于稳态，求换路后的uC、i、uL和imax。

5-16 图示电路中，若t0时开关S闭合，求t0时的iL、uC、iC和i。

μF 10 - iC + uC 0.1H i1 2 S（t=0） + 4V - + 1 2 20μF - i 120 + 50V - S 100 iL

iC

+ uC

100

2i1 - 题5-17图

题5-16图

5-17 图（a）所示电路中，开关S在t0时闭合，求t0时的uC及i1。 5-18 图（a）所示电路中，t0时开关S打开，求t0时的iL及u。 2 5A +

u S - 6u

题5-18图

178

6 0.2H iL

i + US - 0.8i 题5-19图

iL 0.2 1H + Req L

uL

-

5-19 图（a）所示电路中，US5V，在t0时开始作用于电路，求t0时iL及uL。 5-20 图示电路中，已知IS5A，R4，C1F，t0时闭合开关S，在下列两种情况下求uC、iC以及电流源发出的功率：（1）uC015V；（2）uC025V。

IS R S（t=0） iC

+ C uC

- 题5-20图

5-21 图示电路中，已知US12V，R1100，C0.1μF，R210，IS2A，

开关S在t0时由1合到2，设开关动作前电路已处于稳态。求uC和电流源发出的功率。

1 + S U -

R1 S + uC - C R2 2 IS

+ e(t) - R2 R3 2 S + 1 IS

C R1 uC - iC 题5-23图

题5-21图

5-22 在上题中，若开关S原合在2位置已处于稳态，t0时由2合到1，求uC及电压源

US发出的功率。

图示电路中，5-23 已知et2202cos314t50V，R16，R210，R320，

C0.1μF，IS10A。开关S在t0时由1位置合到2位置，设开关S动作前电路已处于

稳态，求uC。当IS取何值时，uC的瞬态分量为零。

5-24 图（a）所示电路中，已知R11，R22，C1μF，uC03V，g0.2S，

电流源IS12A从t0时开始作用于电路。求i1t、iCt和uCt。

179

IS i1 R2 + iC

+ C - R1

u1 - uC

iS(t) 1 1F + uC

gu1 题5-25图

- 题5-24图

5-25 t0时电路如图所示，初始值uC01V。当iSt1A时，uCt1V，t0；当

iSttA时，uCt2ett1V，t0。当iSt1tA时，且uC0仍为1V，在t0时，uCt为多少？

5-26 图示电路，t0时开关S由1合到2，经过t1s时，电容电压可由零充电至60V，

求R为多少？若此时开关再由2合到1，再经过1s放电，电容电压为多少？

2 S + 100V - 1 R C + 1F 1 1 2 2 - 10V + uC

- + 5V -

S（t=0） + uC - 0.01F 题5-26图

题5-27图

5-27 图示电路在换路前已达稳态，求t0时全响应uCt，并把uCt的稳态分量、暂态分量、零输入响应和零状态响应分量分别写出来。

1t 5-28 图（a）所示电路中，uC01V，开关S在t0时闭合，求得uCt65e2V。

若将电容换成1H的电感，见图（b），且知iL01A，求iLt。

+ - S（t=0） 电阻 10V 网络 C + 1F - + uC

- S（t=0） 电阻 10V 网络 L iLReq1H U OC

(a)((b()题528图 180

5-29 已知图（a）所示电路中，N为线性电阻网络，uSt1V，C2F，其零状态响应为 u2t110.25teV (t0)，如果用L2H的电感代替电容C [见图（b）]，28试求t0时零状态响应u2t。

+ uCC - + uLL - iC+ - S（t=0） iL+ + - S（t=0） uS(t)N u2(t)- (a

uS(t)N + u2(t)- (b

§5-5一阶电路的阶跃响应

题5-29

5-30 图示电路中，εtV为单位阶跃电压源。（1）iL00时，求iLt及it；（2）iL02A时，求iLt及it。

i + ε(t)V - 2 2 iL1H L + 3 1H iL(t) L 6 3 0 uS(t)/V uS(t)- （a）

题5-30图

题5-31图

1 （b）

t/s

5-31 图（a）所示电路中，电压源uSt的波形如图（b）所示。试求电流iLt。 5-32 已知RC电路对单位阶跃电流的零状态响应为st21e对图示输入电流的零状态响应。 i(t)/A

2

tεt，求该电路

1F9- 9 C + δ(t)V - + + uC 1 u

- 0 -1

1 2 3 4 t/s

181

题5－33图

题5-32图

§5-6一阶电路的冲激响应

5-33 电路如图所示，求单位冲激响应uCt和ut。若uC02V，再求uCt和ut。 §5-7二阶电路的零输入响应

5-34 图示电路中，已知C1μF，L1H，uC010V，iL02A，开关S在t0时闭合。在（1）R4000；（2） R2000；（3） R1000三种情况下，求t0时的uC、

i及uL。

+ uC -

S C + uR - i + L R uL

-

iR iL R L C + iC- uC

题5-34图

题5-35图

5-35 图示电路中，已知C1μF，L1H，iL02A，uC010V。在(1)R250；(2) R500；(3) R1000三种情况下，求t0时的uC、iL及iR。

182