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代数基本定理

来源：钮旅网

学校代码：10200 学号：1212408014

本科毕业论文

代数基本定理

学生姓名：龚鹏指导教师：陈良云教授所在学院：数学与统计学院所学专业：数学与应用数学

中国·长春

2012年5月

摘要

本论文主要讲解代数基本定理的复分析证明方法和群论证明方法，主要分为两大部分.部分一主要介绍复分析和复函数的一些基础理论知识，为后面代数基本定理的复分析证明方法奠定基础.部分一分为三节：第一节是复函数和复分析；第二节是柯西-黎曼方程；第三节是保角映射和解析性.部分二主要介绍了运用伽罗瓦理论的知识来证明代数基本定理,使得代数基本定理更简单而且容易理解.部分二主要分为三节：第一节是伽罗瓦理论概述；第二节是有限群理论的一些结论；第三节是伽罗瓦扩张.

关键词：柯西-黎曼方程，保角映射，代数基本定理，置换群，伽罗瓦扩张

Abstract

This thesis explains the method of the fundamental of algebra, complex analysis to prove that the methods and group theory, divided into two major contents. The content one introduces complex analysis and complex function of the basic theoretical knowledge, to lay the foundation behind the complex analysis of the fundamental theorem of algebra to prove. The content one is divided in three: Section one is the complex functions and analysis; Section two is the Cauchy-Riemann equations; Section three is the conformal mapping and analytic nature. The contents of two main use of the knowledge of the Galois theory to prove the fundamental theorem of algebra, fundamental theorem of algebra is simple and easy to understand. The content two is mainly divided into three: Section one is an overview of the Galois theory; Section two is some of the conclusion of the Galois expansion.

Keywords: Cauchy-Riemann equations, Conformal mapping, Fundamental Theory of Algebra,

Permutation group, Galois expansion

摘要 ......................................................................................................................................................... 1 Abstract ................................................................................................................................................. 2 目录 ......................................................................................................................................................... 3 1 复分析和复函数 ................................................................................................................................. 4 1.1复函数和分析性 .............................................................................................................................. 4 1.2柯西-黎曼方程.................................................................................................................................. 6 1.3 保角映射和解析性 ........................................................................................................................ 10 2伽罗瓦定理 ........................................................................................................................................ 12 2.1伽罗瓦理论概述 ............................................................................................................................. 12 2.2有限群理论的一些结论 ................................................................................................................. 12 2.3伽罗瓦扩张 .................................................................................................................................... 15 参考文献 ............................................................................................................................................... 17 致谢 ....................................................................................................................................................... 18

1 复分析和复函数 1.1复函数和分析性

本章的最后部分给出代数基本定理的证明仅运用了两个变量的实值函数微积分.然而，证明表明了一个更为普遍的结论，叫做刘维尔定理.从这个结论出发，代数基本定理将是一个很简单的结论.为了解释这种方法，我们必须先介绍复分析，复变函数的基本概念.

复函数w=f(z)，函数f: CC.w，zC.那么为复变函数的复平面的几何解释，一个复函数是从一个复平面的映射(或变换)到复平面上.若z=x+iy=(x，y)，w=u+iv，u=u(x，y)，v=v(x，y)是二元实值函数.所以任何复函数是由两个实质函数构成.w=f(z)=u(z)+v(z) 函数u(z)称为f(z)的实部，记为Ref(z);v(z)称

为f(z)的虚部，记为Imf(z).f(z)的分析问题很多情况都回归到分析u(x，y)与v(x，y).

例1.1.1 考虑复函数f(z)假设z=x+iy，那么若

z2，决定于它的实部和虚部.

22z2(xiy)(xy2)i(2xy).因此Ref(z)=

xy22，Imf(z)=2xy.

z0C且z0的一个开领域记为N(z0) N(z0)=zC,|zz0|.

一个区域是任意复数集合.区域

UC是开的当且仅当对任意的

1CU,0满足(z)U.区域C是闭的当且仅当它的补集Cc是开集.等价的说，Nz0是闭集当且仅当所有的收敛序列

zCn都有

znzC.区域U是有界的当

Uz;|z|r,rR.复数域上一个闭集且有界的区域称为紧凑区域.从高深的微积分中可知，一

个实值函数在一个紧凑区域D上是有界的，且能够取到最大值和最小值.一个开区域U是连通的当U中任意的两点能够被有限序列的连结，且这些线段在包含在U内.

现在我们在本质上以单变量实值函数同样的方式定义复函数的极限. 定义1.1.1 limf(z)zz0w,0对0,0,当0|zz0|时,都有

|f(z)w0| .其中|f(z)w0|与|zz0|表示复平面上的距离.

所有的对初等微积分，求和，常数适用的极限定理都适用于复函数.实际上，计算极限通常转化为求函数的实部和虚部.

引理1.1.1 若f(x)=u(z)+iv(z)则limf(z)limu(z)ilimv(z).

zz0zz0zz0例1.1.2f(z)(由引理1.1.1

xy)i(2xy)，求lim22z1if(z).

a2i0.运用极限，我们可以研究连续和可微.

定义1.1.2 w=f(z)在z=

z0是连续的当limf(z)f(zz0z).f(z)在区域U上是连续的，当f(z)在U

0上的所有点是连续的.所有关于单变量的实值函数连续性的结论都适用于复函数.更进一步的说，连续性的问题归结于函数的实部和虚部的连续性.

引理1.1.2 f(z)=u(z)+iv(z)在(

z0(x0,y)是连续的当且仅当实函数u(x，y)，v(x，y)在点

0x,y)是连续的.

00复多项式是通过代数运算建立的，可以看做是f:CC.且复多项式在C上是处处连续.因为|

zn|当|z|;|f(z)| 当|z|.对任意的非常数多项式f(z)C[z]，|f(z)|是连续的

实函数且在任意紧凑的区域上有界.现在开始，我们将复多项式看成一个在复数域C上的多项式函数. 引理1.1.3 f(z)C[z]，则有: (1) (2) (3)

f(z)在C上是连续的.

lim|f(z)|当f(z)是非常值函数.

z|f(z)|在C中所有紧凑型区域上是有界的.

现在我们以定义实函数导数的方式来定义复函数的导数. 定义1.1.3 若f(z)是复函数，那么在

z0C的导数

f(z)是

0'f'(z0)limf(z0z)f(z0)zz0，当极限存在.若

f(z)存在，则f(z)在z0'0是可微的.若f(z)

在区域上的每一个点都可微，则f(z)在区域上是可微的.

引理1.1.4 若f(z)a0a1z....anzC[z]，则在每一个

nz0C存在，且

'f'(z0)a12a2z0...naznn10.若f(z)C[z]且degf(z)1，则

f(z)C[z]且

deg

f'(z)=degf(z)-1.若f(z)=a0是常值函数，则

0f'(z)=0.

0 若y=f(x)是单变量实函数，则f(x)是表示在x点的切线的斜率.复导数也能够有几何解释，

我们将在1.3进行说明.首先，我们介绍大致思路. 定义1.1.4 w=f(z)在

z0点是解析的当f(z)在区域

N(z)上是可微的.f(z)在区域U上是解析的当f(z)

0在U中每一个点都是解析的.若f(z)在C上是解析的，则称f(z)是整函数.

从引理1.1.4可知，每一个复多项式都是整函数. 我们以一个函数为例，此函数在需要先介绍下面的结论.

z0点复导数存在，但在

z0处不解析.为了理解这个例子，我们

fuvfuvi， i. xxxyyy 若f(z)u(z)iv(z)，则定义

引理1.1.5 若w=f(z)是实值函数，则当

f'(z0)存在，有

f'(z0)ff(z0)(z0). xy证明:从定义知

f'(z0)lim'f(z0z)f(z0)zx0，因为f(z)是实值函数，必须有相同的实部，

所以f(z)=u(z) 所以

f(z0)limu(xx,y)u(x,y)uf因为

x0xxxf(z)存在，所以极限是

0'的.沿着一条平行线接近实轴zx,y0，综上所述可知:

f''(z0)limu(xx,y)u(x,y)uf.类似的，沿着一条平行线接近虚轴，可得到

x0xxxf(z0)f. y例1.1.3 若f(z)=

|z|，f|z|22'(0)存在.但是f(z)是在z=0处不解析.

f(z0z)f(z0)z2若

z00，f(z)=

，limz0lim|z|z22z00.因此，

'f'(0)存在，且

f'(0)=0.但是f(z)在z=0处不解析.若z=x+iy，|z|x2y.若

f(z)存在，则由引理4.1.5

0可知:

f(z)x(z)2x00'f0f()yz022y0这导数存在仅仅在y=x这条线上，所以不存在

2我们将给出f(z)=|z|仅N(0)满足f(z)在N(0)上可微.所以f(z)=|z|在z=0处不解析.在下一部分，在z=0处是连续的.

1.2柯西-黎曼方程

若f(z)=u(z)+iv(z)在

z处可微，则0f'(z0)limu(z0z)iv(z0z)(u(z0)iv(z0))zz0

由于极限存在，让z以平行于实轴方向靠近0，这种情况下，

f(z)lim0'u(x0x,y)iv(x0x,y)(u(x0,y)iv(x0,y))0000xox00

=limu(x0x,y)u(x0,y)xxo+ilimv(x0x,y)v(x0,y)00xox--

uv(z0)i(z0) xy=

让z以平行于虚轴方向去靠近0，在这种情况下，

f(z)lim0'u(x0,yy)iv(x0,yy)(u(x0,y)iv(x0,y))0000yoiy0

=limu(x0,yy)u(x0,y)0yoiy+ilimv(x0,yy)v(x0,y)00yoiy

vu(z0)i(z0) yy因为导数存在，这两个表达式必须相等，因此在

z0点我们有:

uvvu ， 

xyxy这些关系我们称为柯西-黎曼方程.

定义1.2.1 u(x，y) v(x，y)满足柯西-黎曼方程如果

uvvu ， .

xyxy定理1.2.1 若f(z)=u(z)+iv(z)在

z可微，则0uuvv，，，在z0处存在且满足柯西-黎曼xyxy方程，即

f'(z0)uvvu(z0)i(z0)=(z0)i(z0) xxyy更一般地，若f(z)在区域U上是解析的，则它的实部和虚部在U上必须满足柯西-黎曼方程.若f(z)=u(z)+iv(z)，且u(z)，v(z)在Ｕ上连续且满足柯西-黎曼方程，则f(z)在U上是解析的.下面将给出证明.

z0U，我们必须证明

z0f(z)存在.考虑:

0＇limu(z0z)iv(z0z)(u(z0)iv(z0))z=limuivuvlimilim

z0z0zz0zzu用

因为u(x，y)，v(x，y)在(

x0,y)偏导连续，有

0uuxy1x2y和xy柯

西

-黎

曼

方

程

vvvxy3x4yxy.所以，运

uiv1uvlim((xiy)i(xiy)1x2y) 现在zxiyz0z0zxzxuvxy则上式成为lim(i12)其中有1,20当z0.

z0xxzz有:limyx||1.因此|x||z|，|y||z| ||1

zz

f(z)x(z)ix(z)，故 f(z)在

000'uvuvvu,处可微. xyxy定理1.2.2 (1)若f(z)=u(z)+iv(z)，若

f(z)在z0(x0,y0)处存在，则u(x，y) v(x，y)在(x0,y0)必

'0须满足柯西-黎曼方程.

(2)若f(z)=u(z)+iv(z)，若u(x，y) v(x，y) 在z0(x0,y)连续，且满足柯西-黎曼方程，则

0f(z)存

0'在，即f(z)在

z0处可微.

推论1.2.1 假若f(z)=u(z)+iv(z)，u(x，y) v(x，y)在UC上连续，则f(z)在U上是解析的当且仅当u ，v满足柯西-黎曼方程.

例1.2.1

f(z)excosyiexsiny，则f(z)在C处是解析的且有

f'(z)f(z).u(x，

y)=excosy v(x，y)=exsiny是连续可微的双变量实函数.因此，为了表明f(z)是解析的，我们必须验证它们满足柯西-黎曼方程.

uvuvexcosy，exsiny，exsiny，excosy. xxyy故

uvvu,对所有C中的点均满足此等式.所以f(z)在C上是解析的，即xyxy'f(z)uvxxiecosyiesinyf(z) xx以上例子中的函数是复指数函数

f(z)ez.若z=x+iy，则eezxiy所以

zezexeiyex(cosyisiny)=excosyexisiny.由欧拉方程和以上的例子可知:若f(z)=e，则

f'(x)ez满足指数函数的结论.

例1.2.2 运用柯西-黎曼方程证明f(z)=若z=x+iy，则f(z)=

z2在C上解析且

f'(z)2z.

2z22(xy)+i(2xy).u(x，y)=

2x2y，v(x，y)=2xy计算偏导数

uuvv2x,2y,2y,2x 很显然，u(x，y) v(x，y)在C上是连续的且满足柯西-黎曼xyxy得:

方程，所以

f'(z)uvi2xi(2y)2(xiy)2z. xx推论1.2.2 (1)唯一的实值解析函数是常值函数. (2)若

f'=0在区域U上均满足，则f(z)是常值函数.

证明:(1)f(z)是实值函数，则f(z)=u(z)且v(z)=0.若f(z)是解析的，则满足柯西-黎曼方程，所以

uvvuuu0,0.因此，0，故f(z)是常值函数. xyxyxy(2)若

f'0，则

f'uvvuuvvu0.因此u(x，y)，ii0.意味着

xxyyxxyyv(x，y)是常值函数.

例1.1.2中f(z)|z|2在z=0处可导但不解析.从这个结果可以看出它不能在任一处解析，因为

它是实值函数且不是常值函数.

定义1.2.2 实值函数u(x，y)是调和函数当存在二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程

2u2v20. 2xy引理1.2.1 若f(z)=u(z)+iv(z)是解析函数，则u(x，y)，v(x，y)是调和函数. 证明:若f(z)是解析的，则它必须满足柯西-黎曼方程:

uvvu ， .又因为二

xyxy2u2v2v2u阶偏导连续，偏微分可交换，故2，因此

x2xyyxyuuu2'2v2u，220.所以u(x，y)是调和函数.同理可证v(x，3yg(x)3y3x22xxyxyy)是调和函数.由引理的上下文，u，v被称为共轭调和函数.

例1.1.3 u(x，y)=y3x2y是共轭调和函数，找到它的共轭调和函数v(x，y)满足f(z)=u+iv是

32222uuuu2uu2解析的.y)是调和的，6xy,3y3x，所以26y,26y 故220.u(x，

xyxyxy假设v(x，y)是共轭调和函数，由柯西-黎曼方程

2222uvvuuv ， .得=-6xy，

xyxyxy--

v(x,y)3xyg(x)，其中g(x)是关于x的函数.

22'2v23yg(x)3y3x. x表明

2g(x)3x'2 g(x)x3c任意常数均满足，不妨取c=0v(x,y)x33xy2是

u(x，y)的共轭调和函数.f(z)(y33xy2)i(x33xy)是解析的.

21.3 保角映射和解析性

从初等微积分可知导数

g(x)是单变量可微实值函数y=g(x)曲线在点(x,g(x))切线的斜率.

0'00因此给出了几何意义:首先它表明了曲线移动的方向，角度.第二，它的大小是曲线改变的瞬时速率.复导数和解析性也有几何解释，我们现在来讨论.

定义1.3.1 曲线是连续函数:[a,b]C，(t)x(t)iy(t)其中x(t) 和y(t)是实函数，定义域是区间[a，b].若x(t)，y(t)在

t可微，则在0t'是可微曲线，且()t0x(t0)i0'y(t).曲线是可

0'微的当对所有的t[a,b]，(t)可微.一条曲线连续可微当它是可微的并且导数在[a，b]上连续.曲线

(t)在t0处是正则的当'(t0)0.(t)在正则点t0的方向是Arg(t0).一般的，一条正则曲线是指

它所有的点都是正则的.

例1.3.1 曲线(t)rcostirsint圆. 导数度是

'reit 0t2表示一个以半径为r圆心在原点的

''(t)rsintircost从不为零，所以(t)是正则曲线.在t=0，(0)ir是纯虚数，角

. 2更一般地，以若

z'为心r为半径的圆表示为: 0011(t)z0reit 0t2.

2212和122是C中两条曲线

't(t)(t)且和1在

tt12分别是正则的，则角从

到1是Arg(t)Arg(t)．若是曲线uC F:uC则F221仍是一条曲线. 在t0处是正则的，且

若F有一个复导数且

是可微的，则(F)(t0)'=

F((t0))(t0)'0'.若

F((t'0))0，则F在

t0处是正则的.

定义1.3.2 若uC且F:uC，则F是保形的，

'z0U若对任意曲线

在t0处正则

(t0)=z0，f(z0)F在t0是正则的且F在z0处保留角度.保留角度意味着若1(t)，2(t)是

两个曲线，

(t)=(t)=z11220，则角度从

到12在

z0处是等于角度F1到F2在F(z)0--

处.若F在u上是保角的，则称为保角映射. 定理1.3.1 (1)一个连续复函数f(z)在(2)f(z)是连续的，在

z0UC有两个非零复导数，则f(z)在z0是保角的.

z处是保角的且偏导存在并在0z处连续，则0f(z)存在且不为零.

0'证明:我们证明第一部分，第二部分留作联系. 若f(z)是连续复函数且在

'z00处导数不为零，则f在

z0处是保角的.若

和12是两个正则曲线，

(t)(t)=z，f(z)0

11220f1和f'2在

t和t1'2是正则的，角度从f''1到f'12在

f(z0)是Arg((fz.w=Arg(())Arg((f2)t2'())＝Arg(2)t1

1f((t))(t))Arg(f((t))(t))

2222111C'22有Arg(zw)=Argz+Argw

'1 故原=

式

1f((t)))Arg('22(t2))Arg(f((t1)))Arg((t1))然而

'1'(t)22(t)1，

原式Arg((t2))Arg((t1))角度从

在U上是解析的，且f(z)0，zU. 定义1.3.3 若f:UC 的倍率是M. 定理1.3.2 (1)f(z)在

到12.因此，f(z)在

z0处是保角变换.

推论1.3.3 一个连续复函数f(z)，所有导数存在且连续，则f(z)在U上是保形映射当且仅当f(z)

z0U M0，若 lim

|f(z0z)f(z0)|zz0=M，则称f(z)在z0处

z0处可微，则f(z)在

z处的倍率是|0f(z)|.

0'(2)UC，f(z)是连续函数.若z0U,M0，f(z)在z0的倍率为M，若在z0处所有偏导数存在且连续，

f是在t可微，对任意在t可微，

00z0(t0)，则要么f(z)在z0处可微，要么

f(z)在

_zz0处可微.

z例1.3.2 f(z)=e 证明它是C上的保形变换. f(z)=e=

xxf(z)0ecosyiesiny在

'C上是不为零，由前面的例子可知

f'(z)ez.故

f'(z)0.因此由定理1.3.2知f(z)是保形的.

2伽罗瓦定理

2.1伽罗瓦理论概述

在最后一章我们给出代数基本定理的代数证明.这依靠于我们总能够为给定的多项式构造出域，奇次实多项式有实根且复数总有平方根，这表明了任意二次多项式在C上是可解的.在本章我们给的最后的证明涉及到更一般的伽罗瓦理论的观点.

伽罗瓦理论是解决关系代数理论领域，理论方程和有限群理论的数学分支.大部分伽罗瓦理论的创立涉及到域的代数扩张也将在最后一章中介绍.

这一理论被伽罗瓦于1830年在他的研究关于五次多项式自由基可解变形中介绍.结果被鲁非尼和阿贝尔分别的证实了.伽罗瓦是第一个看到域的扩张和置换群之间的密切联系.在这种情况下，他开创了有限群的研究.他是第一个用群作为抽象概念的人.尽管他的解释仅仅是对一个置换群形成的封闭集合.

伽罗瓦发展的这个方法不仅仅促进了五次多项式求根的证明和更高阶的，而且导致其它方面的运用，也形成了一个更大的理论.在本章，我们仅仅解释与代数基本定理有关的部分理论.

伽罗瓦理论的主要想法是与某一代数域的延伸我们称为伽罗瓦扩张，群称为伽罗瓦群之间有联系.域的扩张的性质将延伸到群的性质，这些很容易验证.因此，例如通过自由基的可解性能够被转化到群上的性质被称之为群的可解性，这表明了每一个五次或者更高的存在一个域扩张，它的伽罗瓦群没有这个性质表明了在可解性上不存在一般的公式.

关于方程的理论如下:若f(x)=0是在域F上的多项式方程，我们能够形成一个域K.这也是一个伽罗瓦扩张，因此形成一个伽罗瓦群.同理，群的性质将反映了方程的性质.

伽罗瓦理论在部分上决定于有限群的理论，且在下一章我们将从这一章复习一些基本结论.在2.3节，我们介绍伽罗瓦扩张的正规分离性质.在后面的章节中介绍伽罗瓦群和它的结构.我们将在伽罗瓦基本定理中总结所有的结论.伽罗瓦基本定理描述了伽罗瓦群和伽罗瓦扩张二者之间的相互作用影响.在2.6节中，我们将给出第四种代数基本定理的证明方法.最后，我们通过给出两种伽罗瓦理论的运用来结束本章.第一个是描述五次多项式不存在根公式.另一个是讨论了几何法则，指南针结构和它们的代数解释.因为我们主要的目的是迅速得到伽罗瓦理论的主要结果且给出代数基本定理的第四种证明，很多复杂的证明将被省略.

2.2有限群理论的一些结论

本章我们复习了一些有限群理论的基本结论.群G是拥有如下二元运算的一个集合: (1)运算是相关联的.

(2)对二元运算存在一个单位元. (3)每一个g对于二元运算都存在逆元.

若运算是可交换的，则称群G是交换群.G中元素的个数称为G的阶，记做/G/.若/G/<，则称G为有限群.HG,若H且同G一样满足运算，则称H为G的子群.等价地，H是一个子群当

H且 H在运算下封闭且存在逆.

我们在6.4节中表明群常出现在可逆的集合到其自身的映射中.这种映射我们称之为置换.n个元素的集合的全体置换群称为n元对称群，记做S.

n由一个群置换的变化我们得到同构群.若R和S是代数结构(群，环，域，向量空间等等)，则映射

F:RS是一个同态当F保留了代数运算.即:

(1)f(r1r2)f(r1)f(r2)当R，S是群. (2)f(r1r2)f(r1)f(r2)且f(rr)f(r)f(r)当R，S是环或域.

1212(3) f(r1r2)f(r1)f(r2)且f(cr1)cf(r1)其中c是域中的元素，R是向量空间. 一个同态F:RS是双射，则F称为同构映射.

定义2.2.1 若R是一个代数结构，则R的自同构是:RR.我们用Aut(R)表示R上的自同构映射的集合，称为自同构群.

例2.2.1 G是循环群，|G|=n.若g是生成元，则G={1,g,g.....,g} 若(k，n)=1则g也是一个生成元.映射:gk2n1gk将定义一个G的自同构通过构造一个同态.更

进一步地说，对任意自同构映射:gAut(G)={;:gg1，其中

g是生成元.因此

1gk(k,n)1}.|Aut(G)|=(n)且(n)例2.2.2 考虑复数C.是C的一个自同构，对这样的自同构必须满足(0)=0 (1)=1

(-1)=-1 因此xzp(i2)((i))21

所以(i)=i.

因为1，i是C的基本部分，所以1，i的象决定了一个自同构.因此恰恰有两个C的自同构:

1:11,ii

p2:11,ii

例2.2.3 考虑有限群

z，p是一个素数，则

zp={0，1，….，p－1}用模p的算术运算.是一，因此在

个自同构(1)1,(n)n.故(x)x对所有x它的自同构群是平凡的.

zpzp上唯一的自同构是其本身，所以

定理2.2.1 对任意代数结构R，自同构Aut(R)形成了一个群，称为R的自同构群.若SR 且自同构映射Aut(R)满足S，即(s)s,sS形成一个子群. 例2.2.4 p是一个素数，G是p阶循环群，则Aut(G)是p－1阶的循环群. 由上一个例子知

Zp是一个有限域，|Z|=p.它的加法群是循环的，阶为p且在同构映射1g下

p--

同构于G，其中g是G的生成元.因为

是一个域，它的非零元素构成了一个乘法群，我们称此群为

kZpU.从例2.2.1知任意G的自同构取决于生成元的象:gg其中(k，p)=1

:1k其中

k0.

现在我们解释U是循环的.|U|=p－1，所以yp1=1对任意的y属于U.假设m是U中所有元素的

qmm最大阶，所以有mp1.若yU阶为p，则q/m.所以若y1,则y1.对 yU,y1.故每一个yU是多项式P(x)=xm1的根.这个多项式在一个域上，因此它至多有m个根，然而它至少有p－1个根，所以mp1且U有一个阶为p－1的元素并且U是循环群.

现在我们将讨论有限群的子群结构.若G是一个，H是G的一个子群，若gH={gh;hH}，称gH为H的一个左陪集.同理，Hg={hg;hH}.Hg称为H的一个右陪集.在群G中子群H的所有左陪集(右陪集)组成的集合是G的一个划分.群G关于子群H的左右陪集数相同.群G关于子群H的左陪集数称为H在G中的指数，记为/G:H/.运用这个想法于有限群中，我们能得到拉格朗日定理.

定理2.2.2 (拉格朗日定理)在有限群G的任一个子群H的阶必为群G的阶的因子.更精确的说，我们有|G|=|G||G:H|.

例2.2.1 每一个有限的素数阶群一定是循环群.

证明:设群G的阶位素数p.于是G中有非单位元a.由于|a|/p.因此|a|=p，于是G=a.

定义2.2.2 群HG是子群，gG，则g1Hg形成的一个子群称为H的共轭子群.若g使H正规化即g1Hg=H.所有能使H正规化的元素的集合记为NG(H).若gG都能使H正规化，则H是一个正规子群，用HG表示.

注明:若HG，则g1Hg=H，表明Hg=gH.换言之，左陪集等同于右陪集.我们用下面两个引理概括一些关于共轭，正规化和正规子群的性质. 引理2.2.1 以下几个命题等价: (1)

HG

(2)H的所有共轭子群等于H.

(3)G中关于H的每一个左陪集也是一个右陪集. (4)

NG(H)=H

引理2.2.2 HG是一个子群，则 (1) (2)

H的任何共轭子群都同构于H.

NG(H)是G的子群，且HNG(H).

例2.2.6 在交换群G中，每一个子群H都是正规子群，因为gHgH(g例2.2.7 若|G:H|=2，则有HG.

设gH，则有两个左陪集H， gH.所以G=HgH，且HgH.同理有两个左陪集G=HHg且HHg，故Hg=gH或gHgH，所以HG.

引理2.2.3 若HG，则G/H形成一个群称之为群G模正规子群H的商群. 正规子群和商群之间被同态映射紧密联系起来.

定义2.2.3 若f:GH是同态，则f的核记为kerf={gG;f(g)=1}.f的象集记为Imf={hH/f(g)h,对gG}.

定理2.2.3 (群同态基本定理)(1)设是GG'的一个同态，则同态象同构于商群G/ker，即

111g)H

G/kerIm.

(2)若HG，则存在一个同态f:GG/H满足kerf=H且Imf=G/H.

最后为了证明代数基本定理，我们需要了解一些关于p-群和p-子群的理论，其中p为素数. 定义2.2.4 若p为素数，群G中每一个元素的阶为p，则称为p-群.若G是有限的，表明|G|=对某一n.

引理2.2.4 若G是有限阶为

pnpn的p-群，则G有一个子群阶为

pn1且指数为p.

定义2.2.5 若G是有限群，|G|=群.

定理2.2.4 G是有限群，阶为(1) (2) (3) (4)

G有一个p-Sylow子群.

pmm.其中p为素数且(p，)=1.则p-Sylow子群是阶为

pm子

p，其中p是素数且(p，)=1，则:

所有p-Sylow子群在G轭.

任意G的p-子群包含于一个p-Sylow子群中.

p-Sylow子群数r模p同余于1，并且r是的因子.

2.3伽罗瓦扩张

伽罗瓦定理解决了某些特殊类型的有限代数扩张.特别地，我们需要两个性质正规性和分离性.正规性是较简单的，所以我们首先讨论它.本章剩余的部分将讨论有限扩张. 定义2.3.1 K是域F上的正规扩张，当K是在域F上的域.

有一些关于扩张的事实对我们是至关重要的，将在下面的定理中给出.

定理2.3.1 若K是F的正规扩张且FEKF，其中F是域F的闭包，则：（1）

F[x]中每一个不可约多项式在Ｋ上有根.

（2）K是E的正规扩张.

另一个重要性质是可分性，这关系到根的重数.

定义2.3.2 若是f(x)的根,且的重数m1.当f(x)(x)mg则是单根,否则是重根.

现在假设K是F的有限扩张，且K，则是在F上可分的当是

Irr(,F)的单根.Ｋ是可分扩张若每一个K在F上是可分的.在F的可分扩张中，若F，则

(x)，其中g()0.若m=1,

不是不可约多项式的重根.

尽管可分性是伽罗瓦扩张的本质性质，但是它在代数基本定理中并不占据着主要地位，因为我们研究的领域是有理数，实数和复数的扩张，所有的域特征为零，使得任何扩张都是可分的. 定义2.3.3 域F上的特征为n若在F上n是最小正整数使得(n)(1)=0,我们用charF=n表示.若不存在n满足(n)(1)=0,则F的特征为0，我们用charF=0表示.

例2.3.1 charQ=charR=charC=0且它们的任何扩张特征均为零.另一方面,charZ=p,则任何Z的

pp扩张特征为p.

下面我们给出简单的关于特征的事实.

引理2.3.1 任何一个域的特征要么是零要么是素数.

证明：设charFn0.假设n是可约的,则n=mk,mp别的，特征为零的域必是无限的.

定理2.3.2 任何特征为零的域扩张必是可分扩张.

事实上，任何一个有限域扩张是可分的，所以唯一不理想的情形是特征为p的无限域扩张.更重要的是Q，R和C的扩张是可分的.

定理2.3.3 若K是F的有限可分扩张，则K在F上的自同构数是有限的且等于 |K:F|.

定理2.3.4 若K是F的一个有限可分扩张，则K是单扩张.即K=F（），对某一K. 证明:因为K是有限扩张,K=F(,,....,),...12n1n，则K=F（）K.若K=F（,）

K.n=|K:F|.由定理2.3.3有n个自同构

P(x)=

,12,....,n,K/F

形成多项式

(()x()ijiij()xj())这是非零多项式,且存在cK,P(c)0.则元素

，则(c)是清楚的，则F(,)是在F上是n次.因此F（,）=F(c).若K=F（）

i--

称为K在F上的本原元素.

定义2.3.4 F上的伽罗瓦扩张是一个有限可分的正规扩张，即为一个F上的有限可分的域.注意到若charF=0，则伽罗瓦是一个在F上有限扩张域.

参考文献

[1] 丘维声.抽象代数基础,高等教育出版社,2003 [2] 钟玉泉.复变函数论,高等教育出版社,2004

[3] 本杰明,杰哈德.代数基本定理,清华大学出版社,2009 [4] 聂灵沼,丁石孙.代数学引论.北京:高等教育出版社,2000 [5] 赵春来,徐明耀.抽象代数.北京大学出版社,2004

[6] Hungerford T.W.代数学.冯克勤译,聂灵沼校.长沙:湖南教育出版社,1985

致谢

这次论文能够顺利完工，首先要感谢指导老师的在百忙之中对我的悉心指导，耐心讲解知识点，也指明了适合自己的论文方向.在论文的修改上老师尽职尽责，提出了很多宝贵的修改意见.其次，我要感谢和我一起做论文的同学们，因为跟他们一起讨论，对论文也有了自己的想法.最后，我感谢在论文期间一直都支持的我的朋友们！

东北师范大学本科生毕业论文评语

学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：龚鹏学号： 1212408014 毕业论文题目：代数基本定理

评语内容： 1. 论文选题是否符合专业培养目标并有一定的意义；2.运用中外文献是否充实、全面、理解是否准确；3.研究方法是否得当，数据是否可靠；4.是否论点明确、论证充分、有自己的观点并有新意；5.结构、语言、图表等是否符合写作规范。评语：评定成绩：＿＿＿＿＿（毕业论文成绩按优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级评定，标准详见《东北师范大学毕业论文成绩评定指标体系》）评阅人（签字）：＿＿＿＿＿＿年＿＿月＿＿日

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