附 梁的弯曲与圆柱的扭曲

除了拉伸压缩和剪切形变之外，连续弹性介质体内还会发生两种形变，一种是弯曲，另一种是扭曲。为了讨论方便，我们以方形的梁为弯曲的例子，以圆柱来讨论扭曲。 10、梁的弯曲

a b 梁的中部有负载时，梁将发生弯曲。将横梁分成 不同的层面，则梁弯曲后，梁的中间层CC将没 有被拉伸和压缩；梁中间层之上的各层面，将发 G

图6.7，梁的中间层没有被压缩，梁中间层之上的各层面，将发生不

生不同程度的挤压；而梁中间层之下的各层面， 如图6.7，考虑一两端有支撑的方形梁。如果

同程度的挤压；而梁中间层之下的各层面，将发生不同程度的拉伸。

将发生不同程度的拉伸。由此可见，梁的弯曲，是由不同程度的拉伸和挤压组成的。

如果梁的长为l、宽为a、厚为b，梁弯曲后形成弧角为θ、半径为R的圆弧，则考虑距中间层为z厚为dz的一层(如图6.8)，其长度将变为

θ(Rz) (Rz)相应地，该层的形变量就为 Δl其应变就为

llzl RRlz R lz (6.3.1) lR 现在考虑该层所受到的正应力，这正应力沿该层圆弧的切向。由胡克定律，应有

z (6.3.2) R而该层的横截面宽为a，厚为dz，面积就为adz，作用在该横

Y Y截面上相应的总内力就σadz。而该梁层上的内力对中间层的力矩就为

dJazdz

θ R

dz

z

图6.8，考虑距中间层为z厚为dz的一层。

R

F

Z F/

图6.9，内力对中间层的力矩。

Ya2zdz R注意到中间层之上各层的内力是挤压性的，中间层之下各层的内力是拉伸性的。它们对中间层的力矩由于对称性，大小相同，方向也相同。故将(2)式代入并对各层求和积分，就得到总的内力对中间层的力矩

Ya2Yab3zdz J2 (6.3.3) R12R0横梁弯曲平衡时，外力矩与内力矩大小相等，方向相反。故

b2Yab3 J (6.3.4)

12R

1

所以，横梁弯曲平衡时，横梁弯曲的曲率就为 112J (6.3.5) RYab3 显然，由于中间层无拉伸与压缩。因此，中间层无正应力。考虑到这一点，一般在工程上，作为钢梁，会采用工字钢或空心钢管。又考虑到横梁上部各层的内力是挤压性的，下部各层的内力是拉伸性的，所以对钢筋混凝土横梁，底层会多用钢筋，以利

Q y Q 用钢筋的抗拉能力；而上层会少用钢筋，多用水 a b 泥，以利用混凝土的抗压能力。

下面我们考虑如图6.10横梁中部压有重物

o x x G时，如何计算梁中部的扰度。

建立坐标系如图，曲梁中性层曲线 G yf(x)在x点处的曲率为

图6.10，梁的中间层没有被压缩，梁中间层之上的各层面，将发生不

1y (6.3.6) 232R(x)[1(y)]在横梁弯曲微小的情况下，y0，从而

同程度的挤压；而梁中间层之下的各层面，将发生不同程度的拉伸。

1y(x) (6.3.7) R(x)在梁平衡时，考虑从x到右端支点一段横梁的受力，左端面受如图6.9内力偶(F,F)的作用，右端受支撑力Q的作用。内外力矩平衡，有

lYab3 Q(x) (6.3.8)

212R既有 y(x)112Nl(x) (6.3.9) 3R(x)Yab2注意到横梁弯曲微小的情况下，支点处横梁所受的支撑反力Q可看成是竖直向上的。由于对称性，应有Q = G/2。现对x积分，并由边界条件y(0)0，y(0)0定出积分常数，就得到 y(x)将x

3Gl213(xx) (6.3.10) 33Yab2l

代入，就得到右端点的y值，也就是横梁中点的挠度，即 2

Gl3  （6.3.11） 34Yab这样，只要测到横梁的挠度，就能得到横梁材料的杨氏模量。

2

20、圆柱的扭曲

取半径为r宽为dr的圆环。在微小形变的情况下，环上某

点处将由于扭曲而偏移了r的距离。若圆柱的长度为l，

dr 则环上该点处的切应变就为

r  (6.3.12) φ r l

若假设该点处的切应力设为，由胡克定律可有

N

放大 而整个环上的内力对中心轴线的力矩就为 ψ l 对于半径为R的圆柱，如果一端固定，另一端在外力作用下转动时，则外力对中心轴线就有一个扭力矩的作用。此时，圆柱会发生扭曲形变。若把圆柱分为一层层横截层面，则每一层都作了切变。假设在受力一端的横截面上，任意一条矢径都会被扭转一个角度φ(如图6.11)。而在这横截面上， dJ2rdrr

对柱的整个横截面积分，就得到整个横截面的内力矩

R J2N0lr3dr

图6.11，在放大的截面上，任意一条矢径都会被扭转

一个角度φ，而半径为r、宽dr的圆环，则整体扭转了rφ.

扭曲到达平衡时，内力矩与外力矩大小相等，即有 JNR42l (6.3.13)

如果圆柱为一细长的金属丝(杆)，下悬一转动惯量为I的水平金属棒，这就可以构成卡文迪许扭秤，也可以是扭摆。作为扭摆，其运动微分方程为 I

图6.12，长为l的金属丝，下悬

一水平的金属棒，可作扭摆。

dNR （6.3.14） 22ldt224取 NR42Il (6.3.15)

则扭摆的周期为 T22R22Il （6.3.16） N 又若金属丝（杆）下悬转动惯量为I1的水平金属棒时，扭摆的周期为T1，再在金属棒上叠加一转动惯量为I2的物体后，测得扭摆的周期为T2，则有

T128I1l NR4 3

T228l(I1I2) 4NR后式减前式，并用金属丝(杆)的直径d代替半径R，就得到切边模量 N

128I2l (6.3.17)

d4(T22T12) 4