第二章 圆锥曲线与方程(A卷)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是( ) 11

A. B. C．2 D．4 42

2

xy21

2．设椭圆2＋2＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则mn2

此椭圆的方程为( ) x2y2x2y2

A.＋＝1 B.＋＝1 1216161222xyx2y2

C.＋＝1 D.＋＝1 4848

22xy

3．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物

ab

2

线y＝24x的准线上，则双曲线的方程为( ) x2y2x2y2

A.－＝1 B.－＝1 36102722xyx2y2

C.－＝1 D.－＝1 10836279

22xy

4．P是长轴在x轴上的椭圆2＋2＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的

ab

半焦距为c，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是( ) A．1 B．a2 C．b2 D．c2

5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) x2y2y2x2

A.－＝1 B.－＝1 444422yxx2y2

C.－＝1 D.－＝1 4884

22xy

6．设a>1，则双曲线2－＝1的离心率e的取值范围是( )

aa＋12A．(2，2) B．(2，5) C．(2,5) D．(2，5) 7.

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( ) A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线

8．设F为抛物线y＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝

0，则|FA|＋|FB|＋|FC|等于( )

2

A．9 B．6 C．4 D．3

x2y2

9．已知双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与

ab

双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A．(1,2] B．(1,2)

C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)

10．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )

A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2)

11．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是( ) 35A.2，4 B．(1,1) 39C.2，4 D．(2,4)

12．已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是( ) 3π3π，π B.，π A.444ππ3，π D.，π C.2241 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题 号 答 案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．

14．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．

bx2y2

15．设椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点2，0分成3∶ab

1的两段，则此椭圆的离心率为________．

x2y2

16．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：

4－kk－1

①曲线C不可能表示椭圆；

②当1③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；

5

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则12

其中所有正确命题的序号为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

x2y2

17．(10分)已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，

369

并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．

x2y2

18．(12分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．求

84

双曲线C的方程．

19.(12分)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．

x2y2

20．(12分)已知点P(3,4)是椭圆2＋2＝1 (a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，

ab

若PF1⊥PF2，试求： (1)椭圆的方程； (2)△PF1F2的面积．

5

21.(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，

2

求AB所在的直线方程．

22．(12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点． (1)写出C的方程；

(2)若OA⊥OB，求k的值．

第二章 圆锥曲线与方程(A)

11＝2×2，解得m＝.] m4

2

2．B [∵y＝8x的焦点为(2,0)， x2y2

∴2＋2＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2. mn

12

又e＝＝，∴m＝4.

2m2

∵c＝m2－n2＝4，∴n2＝12.

x2y2

∴椭圆方程为＋＝1.]

1612

3．B [抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，故双曲线中c＝6.①

x2y2b

由双曲线2－2＝1的一条渐近线方程为y＝3x，知＝3，②

aba222

且c＝a＋b.③

由①②③解得a2＝9，b2＝27.

x2y2

故双曲线的方程为－＝1，故选B.]

927

4．D [由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a－c，a＋c]， |PF1|＋|PF2|＝2a，

|PF1|＋|PF2|22

所以|PF1|·|PF2|≤2＝a， 当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号． |PF1|·|PF2|＝|PF1|(2a－|PF1|)

＝－|PF1|2＋2a|PF1|＝－(|PF1|－a)2＋a2 ≥－c2＋a2＝b2， 所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2－b2＝c2.] 5．B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a＝2，

y2x2

且双曲线的标准方程为－2＝1.

4b

根据题意2a＋2b＝2·2c，即a＋b＝2c.

222

又a＋b＝c，且a＝2， ∴解上述两个方程，得b2＝4.

y2x2

∴符合题意的双曲线方程为－＝1.]

442xy2

6．B [∵双曲线方程为2－＝1，

aa＋121．A [由题意可得2∴c＝

2a2＋2a＋1.

121＋12＋1. 2＋2＋＝ aaa11

又∵a>1，∴0<<1.∴1<＋1<2.

aa1

1＋2<4.∴2∴D1C1⊥PC1.∴PC1为P到直线D1C1的距离． ∵P到直线BC与到直线C1D1的距离相等， ∴PC1等于P到直线BC的距离．

由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．]

8．B [设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)， c∴e＝＝

a

∵FA＋FB＋FC＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.

又由抛物线定义知|FA|＋|FB|＋|FC|

＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.] 9．C [

如图所示，要使过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该

b

直线的斜率小于等于渐近线的斜率，

a22

bc2a＋b2

∴≥3，离心率e＝2＝2≥4， aaa∴e≥2.]

10．B [根据抛物线的定义可得．]

11．B [设与直线2x－y＝4平行且与抛物线相切的直线为2x－y＋c＝0 (c≠－4)，由2x－y＋c＝0 2y＝x

得x2－2x－c＝0.①

由Δ＝4＋4c＝0得c＝－1，代入①式得x＝1. ∴y＝1，∴所求点的坐标为(1,1)．]

x2y2

12．D [椭圆方程化为＋＝1.

11

－sin αcos α

11

∵椭圆焦点在y轴上，∴－>>0.

cos αsin α

π3π

又∵0≤α<2π，∴<α<.] 24

313.

2

c3

解析 由已知得∠AF1F2＝30°，故cos 30°＝，从而e＝.

a2

14．2x－y－15＝0

222

解析 设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21－4y1＝4，x2－4y2＝4， 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因为线段AB的中点为P(8,1)， 所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.

y1－y2x1＋x2

所以＝＝2.

x1－x24y1＋y2

所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)， 代入x2－4y2＝4满足Δ>0. 即2x－y－15＝0.

215.

2

b＋c2b3

解析 由题意，得＝3⇒＋c＝3c－b⇒b＝c，

b22c－2

cc2c212

因此e＝＝ ＝. 2＝ 22＝ aa22b＋c16．③④

5

解析 ①错误，当k＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k＝时，方程表示圆；验证

2

可得③④正确．

x2y2

17．解 设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．∵点M在椭圆＋＝1上，

369

22x0y0∴＋＝1. 369

∵M是线段PP′的中点，

x＝x，x＝x2200x0y0∴ 把yy代入36＋9＝1，

y＝，y＝0022x2y2

得＋＝1，即x2＋y2＝36. 3636

∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.

x2y2

18．解 设双曲线方程为2－2＝1.

ab

22xy

由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，

84

∴对于双曲线C：c＝2.

又y＝3x为双曲线C的一条渐近线， b

∴＝3，解得a2＝1，b2＝3， a

y22

∴双曲线C的方程为x－＝1.

3

19．解 将y＝kx－2代入y2＝8x中变形整理得： k2x2－(4k＋8)x＋4＝0， k≠0由，得k>－1且k≠0. 22

4k＋8－16k>0

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

4k＋8

由题意得：x1＋x2＝2＝4⇒k2＝k＋2⇒k2－k－2＝0.

k

解得：k＝2或k＝－1(舍去)， 由弦长公式得：

k＋192

|AB|＝1＋k2·＝5×＝215. 2k4

20．解 (1)令F1(－c,0)，F2(c,0)， 则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，

44

所以kPF1·kPF2＝－1，即·＝－1，

3＋c3－c

x2y2

解得c＝5，所以设椭圆方程为2＋2＝1.

aa－25916

因为点P(3,4)在椭圆上，所以2＋2＝1.

aa－25

解得a2＝45或a2＝5.

又因为a>c，所以a2＝5舍去．

x2y2

故所求椭圆方程为＋＝1.

4520

(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝65，① 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，② ①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，

1

所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.

2p

21．解 焦点F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2

5

若AB⊥Ox，则|AB|＝2p2

所以直线AB的斜率存在，设为k，

p

则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0.

2

py＝kx－2，

由消去x，

y2＝2px

整理得ky2－2py－kp2＝0.

2p

由韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p2.

k∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22

1＝ 1＋2·y1－y22

k1＝ 1＋2·y1＋y22－4y1y2

k15

＝2p(1＋2)＝p.

k2

pp

解得k＝±2.∴AB所在的直线方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．

22

22．解 (1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b＝22－32＝1，

22y故曲线C的方程为x＋＝1. 4

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y22x＋4＝1，

联立方程

y＝kx＋1.

消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0. 其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)>0恒成立．

2k3

故x1＋x2＝－2，x1x2＝－2.

k＋4k＋4

→→

若OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0.

而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，

33k22k2

于是x1x2＋y1y2＝－2－2－2＋1＝0，

k＋4k＋4k＋4

1

化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±.

2