抽象函数图像对称性问题

函数图像对称性的问题

一、函数自身的对称性的问题

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是一个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，也是难点，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。

例题1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

例题2

①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对

（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

二、 不同函数对称性的问题

数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。全部数学大体上都是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。数和形的内在联系可使许多问题具有鲜明的直观性，数和形的结合也是数学教学中一个非常重要的环节。

例题3

① 函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三． 函数图像的中心对称与轴对称。

1、 函数的中心对称

定义在R上的函数y=f（x）对其定义内的任意的x，如果都有f（x）=2b－f（2a－x）（或f（a＋x）=2b－f（a－x）），那么y=f（x）关于点（a，b）成中心对称；反之亦然。

事实上：对任意x∈R，当都有f（x）=2b－f（2a－x）时，有点（x，f（x））与点（2a-x，f（2a－x））存在关系：

x(2ax)f(x)f(2ax)2bf(2ax)f(2ax)a,b222，这说明点（a，b）是点（x，（f（x））与点（2a

－x，f（2a－x））的中点，由x的任意性及中心对称的定义，可知函数 y =f（x）关于点（a，b）成中心对称；反之亦然。

特例：定义在R上的函数y=f（x）关于点（a，0）对称《=》对任意x∈R，都有f（a＋x） =－f（a－x）（或 f（x）=－f（2a－x））

axxa1的反函数f例4：已知函数

f(x)1(x)的图象的对称中心是（－1，3），则实数a等于（ ）

（A）2 （B）3 （C）－2 （D）－4

(a1)xax1

解：

f1(x)∵f1(x)关于点（－1，3）对称，∴f1(x) =6－f1（－1－x）

(a1)(1x)a(a1)(1x)a61x11x1即：，也即：（2a－4）x = 0

由等式的恒等性可知：2a－4 = 0 ∴ a = 2 选（A）

例5：已知f（x）+f（2－x）+2 = 0 对任意实数x恒成立，则函数f（x）图象关于 对称

解：由f（x）+f（2－x）+2 = 0 得：f（x）+1 = －[f（2－x）+1]

令φ（x）= f（x）+1，则φ（2－x）=f（2－x）+1 ∴φ（x）=－φ（2－x）

∴ φ（x）关于点（1，0）对称，又f（x）=φ（x）－1

故由平移知识可得：f（x）关于点（1，－1）对称。

例6：设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴的正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1

（1）写出曲线C1方程；

tsA(,)（2）求证：曲线C与C1关于点22对称。

3y(xt)(xt)s 解（1）：C1的方程是：

证

y2（2）：曲线C关于点

tsA(,)22的对称曲线方程是：

stt[(2x)3(2x)]s[(tx)3(tx)](xt)3(xt)s222 即为曲线C1 ∴ 曲线C与曲线

tsA(,)C1关于点22对称。

2、函数的轴对称

ab2定义在R上的函数y =f（x），如果满足：（fa＋x）=f（b－x），那么函数y =f（x）的图象关于直线成轴对称；反之亦然。

x事实上：对任意x∈R，都有f（a＋x）=f（b－x）时，有点（a＋x，（a＋x））与点（b－x，f（b－x））

axbxab22，f（a＋x）=f（b－x）存在关系：，由轴对称的定义可知：点（a＋x，f（a＋x））与点

（b－x，f（b－x））关于直线成轴对称，又由x的任意性可知：函数y =f（x）关于直线成轴对称。反之亦然。

特例：定义在R上的函数y＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ=a 成轴对称《=》对任意x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）。

例7：二次函数f（x）满足f（2＋x）=f（2－x），又f（2）=1，f（0）=3，若在[0，m]有最小值1，最大值3，则的取值范围（ ）

（A）0＜m≤2 （B）m≥2 （C）m＞0 （D）2≤m≤4

解：由函数的轴对称性可知：二次函数f（x）关于直线x =2对称，

又f（2）=1， f（0）=3，

∴ f（x）在[0，2]上是减函数，∴ f（x）在[2，+∞）上增函数，又由轴对称可知：f（2+2）=f（2－2）即f（4）=f（0）

∵ f（x）在[0，m]上有最小值1，最小值3，∴ 2≤m≤4 选（D）

13f(x)f(x)4例8：函数f（x）对一切实数x都满足4，并且f（x）=0有3个实根，求这3个实根

之和。

131f(x)f(x)x42对称，又∵f（x）=0有3个实根，∴f（x）解：由4可知：函数f（x）关于直线

=0必有一根是

x11113xx2x321x1x2x32，且其余两根x2、x3关于2对称，∴ 22 ∴

四． 函数对称性常用性质

函数的对称性一般体现在中心对称和轴对称。函数的奇偶性和周期性就是对称性的直接体现，常见的有以下结论。

【性质1】函数y=f(x)的图像关于原点O(0 ,0)对称f(x)=-f(-x)。（这是奇函数的数与形的体现）。

推论1：函数y=f(x)的图像关于点M（a，b）对称f(x)+f(2a-x)=2b

证明：因为函数y=f(x)的图像关于点M（a，b）对称，所以函数y=f(x)的图像按向量a=（-a,-b）平移后对应图像的解析式为：y=f(x+a)-b，关于原点0(0，0)中心对称，由性质1知f(-x+a)-b=-［f(x+a)-b］，即f(a-x)+f(a-x)=2b，即f(x)+f(2a-x)=2b。反之也成立。

推论2：函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点M(a ,b)成中心对称。

【性质2】函数y = y=f(x)的图像关于y轴对称f(x)=f(-x)。（这是偶函数的数与形的体现）。

推论3：函数y=f(x)的图像关于直线x = a轴对称f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)。

证明：因为y=f(x)的图像关于直线x = a对称，所以函数y=f(x)的图像按向量a=(-a,0)平移后图像的解析式为：y=f(x+a)，关于y轴对称，由性质2知f(x+a)=f(-x+a)，即f(a+x)=f(a-x)，即f(a+x)=f(a-x)。反之也成立。

推论4：函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。

【性质3】函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线y=x成轴对称。

推论5：函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。

证明：x-y=a可以看作y=x-a，x=y+a，代入到y=f(x)中即得。反之也成立。

推论6：函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。

【性质4】

①若函数y=f(x)的图像关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y=f(x)图像关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

③若函数y=f(x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

简单地说，就是一个函数有两个对称中心，或者两个对称轴，或者一个对称中心一个对称轴，则函数具有周期性。

以下证明②，其余结论可由读者自己证明。

证明：由已知和推论3，可得f(x)=f(2a-x)（*）和f(b+x)=f(b-x)（**），∵f(x)=f(2a-x)=f{b-［b-(2a-x)］}=f［（2b-2a）+x］∴y=f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

五. 函数对称性应用举例

对称性是指如果一个操作或变换使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说系统的状态在此操作或变换下不变，我们就说该系统具有对称性.

例9：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）

(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)

例10. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ）

(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5

解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B) 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我

们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。

总之，数学知识来源于生活，教师在数学教学中应关注学生的学习活动，充分挖掘生活中的数学素材，培养学生从数学的角度观察和分析周围事物习惯，用数学的方法解决问题