7大晶系的弹性模量矩阵元

来源：钮旅网

关于弹性常数的计算-弹性模量矩阵元 2010-06-29 10:44:06| 分类：默认分类|举报|字号订阅最近又开始辗转计算NH3BH3的弹性常数了。还是VASP软件，首先还是很感谢论坛上的各位前辈：）在计算弹性常数时，还是参考的是侯老师的指南，最近很迷恋这个。下面先转载一篇别人的日志：关键词：第一性原理计算（First-principles calculations）刚度矩阵（Stiffness matrix）晶系（Lattice system） 1. 弹性模量矩阵元对于足够小的变形，由胡克定律（Hooke's Law）可知，应力与应变成正比，即应力分量是应变分量的线性函数，用矩阵的形式可以表示为： T1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 S1 T2 C12 C22 C23 C24 C25 C26 S2 T3 = C13 C23 C33 C34 C35 C36 ? S3 T4 C14 C24 C34 C44 C45 C46 S4 T5 C15 C25 C35 C45 C55 C56 S5 T6 C16 C26 C36 C46 C56 C66 S6 式中Cij就是我们通常所说的弹性模量，可以证明，上述刚度矩阵为对称阵，Cij=Cji，因此，弹性模量的张量元数目至多只有21个。晶系的对称性越高，的张量元数目就越少。需要指出的是，Cij的数目只与晶系有关，而与晶系中具体的对称类型无关。

下面分别讨论七种不同晶系的弹性模量矩阵元： 1.1 三斜晶系（Triclinic system）

三斜晶系是所有七大晶系中对称性最低的晶系，因此拥有最多的矩阵元，其形式为：

C11 C12 C13 C14 C15 C16 C12 C22 C23 C24 C25 C26 C13 C23 C33 C34 C35 C36 C14 C24 C34 C44 C45 C46 C15 C25 C35 C45 C55 C56 C16 C26 C36 C46 C56 C66 共有21个的刚度矩阵元，求解过程也因此较为复杂。 1.2 单斜晶系（Monoclinic system） C11 C12 C13 0 0 C16 C12 C22 C23 0 0 C26 C13 C23 C33 0 0 C36 0 0 0 C44 C45 0 0 0 0 C45 C55 0 C16 C26 C36 0 0 C66 考虑对称性后，单斜晶系有11个的矩阵单元。 1.3 正交晶系（Orthorhombic system） C11 C12 C13 0 0 0 C12 C22 C23 0 0 0 C13 C23 C33 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 0 C66 从上式可以看出，正交晶系拥有相当高的对成性，其刚度矩阵元的数目为8个。 1.4 四方晶系（Tetragonal system） 1.4.1 四方晶系（4，-4，4/m）对于具有4，-4，4/m对称操作的四方晶系，其弹性矩阵的形式为： C11 C12 C13 0 0 C16 C12 C22 C23 0 0 -C16 C13 C23 C33 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C44 0 C16 -C16 0 0 0 C66 其刚度矩阵元的数目也为8个。 1.4.2 四方晶系（422，4mm，-42m，4/mmm）对于具有422，4mm，-42m，4/mmm对称操作的四方晶系，其弹性矩阵的形式为： C11 C12 C13 0 0 0 C12 C11 C13 0 0 0 C13 C13 C33 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C66 刚度矩阵元的数目仅为6个。 1.5 三角晶系（Trigonal system） 1.5.1三角晶系（3，3） C11 C12 C13 C14 C15 C12 C11 C13 -C14 -C15 C13 C13 C33 0 0 C14 -C14 0 C44 0 C15 -C15 0 0 C44 0 0 0 -C45 C14 0 0 0 -C45 C14 (C11-C12)/2 三角晶系（3，3）的刚度矩阵元的数目为8个。 1.5.2三角晶系（32，3m，32/m） C11 C12 C13 C14 0 C12 C11 C13 -C14 0 C13 C13 C33 0 0 C14 -C14 0 C44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C44 C14 0 0 0 0 C14 (C11-C12)/2 三角晶系（32，3m，32/m）的刚度矩阵元的数目为6个。

1.6 六角晶系（Hexagonal system） C11 C12 C13 0 0 C12 C11 C13 0 0 C13 C13 C33 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 C44 六角晶系共有5个的刚度矩阵元。 1.7 立方晶系（Cubic system） C11 C12 C12 0 0 0 C12 C11 C12 0 0 0 C12 C12 C11 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C44 立方晶系是所有晶系中对称度最高的晶系，其的刚度矩阵元数目仅为3个。

至此，我们列出了所有七大晶系的刚度矩阵元，只要求出各晶系对应的所有矩阵元，即可得到晶体的刚度矩阵。

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (C11-C12)/2

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