数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

1、设x0，x的相对误差为，求lnx的误差。

[解]设x*0为x的近似值，则有相对误差为r*(x)，绝对误差为*(x)x*，从而lnx的误差为*(lnx)(lnx*)(x*)相对误差为(lnx)*r1*x， *x*(lnx)lnx*lnx*。

2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。

[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为r*(x)2%，绝对误差为*(x)2%x*，从而x的误差为(lnx)(x)相对误差为(lnx)*rn*nxx*(x)n(x)**n12%x2n%x**n，

*(lnx)(x)*n2n%。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

*****385.6，x471.0。 x11.1021，x20.031，x356.430，x5***385.6有41.1021有5位有效数字；x20.0031有2位有效数字；x3[解]x1**71.0有2位有效数字。 56.430有5位有效数字；x5位有效数字；x4****,x2,x3,x44、利用公式（）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给的

数。

***x2x4（1）x1；

f********e(x1x2x4)(x)(x)(x)(xk124)xk1k[解]；

1111041031031.05103222n**x3； （2）x1*x2*1

f***e*(x1x2x3)k1xkn**********(x)(xx)(x)(xx)(x)(xx)(x)k231132123*[解](0.031385.6)1104(1.1021385.6)1103(1.10210.031)1103；

2220.59768103212.484881030.01708255103213.0992551030.213099255**/x4（3）x2。

f**e*(x2/x4)k1xkn*x21***(x)(x)(xk24)**2x4(x4)*[解]110.031156.461133。 10310102256.430222(56.430)(56.430)56.461135100.88610(56.430)225、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少

4*((R*)3)43[解]由1%r*((R*)3)可知，

43(R*)33444*((R*)3)1%(R*)3(R*)3*(R*)4(R*)2*(R*)， 333*(R*)111***1%从而(R)1%R，故r(R)。 *33003R**6、设Y028，按递推公式YnYn11783(n1,2,)计算到Y100，若取10078327.982（五位有效数字，）试问计算Y100将有多大误差

[解]令Yn表示Yn的近似值，e*(Yn)YnYn，则e*(Y0)0，并且由

11783可知， 27.982，YnYn11001001YnYnYn1Yn1(27.982783)，即

10012e*(Yn)e*(Yn1)(27.982783)e*(Yn2)(27.982783)，从

100100YnYn1而e*(Y100)e*(Y0)(27.982783)78327.982，

2

而78327.98211103，所以*(Y100)103。

227、求方程x256x10的两个根，使它至少具有四位有效数字（78327.982） [解]由x28783与78327.982（五位有效数字）可知，

x1287832827.98255.982（五位有效数字）。

而x2287832827.9820.018，只有两位有效数字，不符合题意。 但是x228783128783N1N11.7863102。

55.9828、当N充分大时，怎样求[解]因为N1N1dx 1x21dxarctan(N1)arctanN，当N充分大时为两个相近数相21x减，设arctan(N1)，arctanN，则N1tan，Ntan，从而

tan()tantan(N1)N12，

1tantan1N(N1)NN1因此N1N11。 dxarctan221xNN19、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2 [解]由*((l*)2)[(l*)2]*(l*)2l**(l*)可知，若要求*((l*)2)1，则

(l)***((l*)2)2l*111，即边长应满足l100。

210020020012gt，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t2增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。 10、设S[证明]因为*(S)(dS**)(t)gt**(t)0.1gt*， dt(S)*r*(S)S*gt**(t)2*(t)1，所以得证。 1t*5t**2g(t)211、序列yn满足递推关系yn10yn11(n1,2,)，若y021.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大这个计算过程稳定吗

3

y2[解]设yn为yn的近似值，*(yn)ynyn，则由0与

yn10yn11y01.411*可知，(y)102，ynyn10(yn1yn1)，即 02yn10yn11*(yn)10*(yn1)10n*(y0)，

11从而*(y10)1010*(y0)1010102108，因此计算过程不稳定。

2212、计算f(21)6，取21.4，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好

1(21)6，(322)3，

1(322)3，99702。

[解]因为*(f)11， 101，所以对于f162(21)611142106.1010，有一位有效数字； 722(1.41)e*(f1)f1e*(1.4)对于f2(322)3，

11e*(f2)f2e*(1.4)6(321.4)21010.12101101，没有有效数

22字； 对于f31(322)3，

61113102.6510102，有一位有效数422(321.4)e*(f3)f3e*(1.4)字；

11对于f499702，e*(f4)f4e*(1.4)7010135101101，没有

22有效数字。

13、f(x)ln(xx21)，求f(30)的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大若改用另一等价公式ln(xx21)ln(xx21)计算，求对数时误差有多大

[解]因为3021929.9833（六位有效数字），*(x)1104，所以 24

e*(f1)(f1)*e*(x)1104(303021)2，

1111040.29941023029.983321104xx212。

1e*(f2)(f2)*e*(x)111040.83361063029.98332x11010x2101014、试用消元法解方程组，假定只有三位数计算，问结果是否

x1x22可靠

101010102,x210[解]精确解为x110。当使用三位数运算时，得到

101101x11,x21，结果可靠。

15、已知三角形面积s1absinc，其中c为弧度，0c，且测量a，b，c22sabc。 sabc的误差分别为a,b,c，证明面积的误差s满足

n[解]因为(s)k1f111(xk)bsincaasincbabcoscc， xk222111bsincaasincbabcosccs2221sabsinc所以。 2cbccbccbtanccbc

5

第二章 插值法（40-42）

1、根据（）定义的范德蒙行列式，令

1Vn(x0,x1,,xn1,x)11x0xn1x2x02xn1x2nx0，证明Vn(x)是n次多项式，它的nxn1nx根是x1,x2,,xn1，且Vn(x0,x1,,xn1,x)Vn1(x0,x1,,xn1)(xx0)(xxn1)。

Vn(x0,x1,,xn1,x)(xixj)(xxj)n1i1n1[证明]由

i0j0j0Vn1(x0,x1,,xn1)(xxj)j0n1可得求证。

2、当x1,1,2时，f(x)0,3,4，求f(x)的二次插值多项式。

L2(x)y0(xx0)(xx2)(xx0)(xx1)(xx1)(xx2)y1y2(x0x1)(x0x2)(x1x0)(x1x2)(x2x0)(x2x1)[解]0(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)(3)4(11)(12)(11)(12)(21)(21)14537(x23x2)(x21)x2x23623。

3、给出f(x)lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.的近似值。

X lnx [解]若取x00.5，x10.6，

则y0f(x0)f(0.5)0.693147，y1f(x1)f(0.6)0.510826，则

L1(x)y0xx0xx1x0.6x0.5y10.6931470.510826x0x1x1x00.50.60.60.5，

6.93147(x0.6)5.10826(x0.5)1.82321x1.604752从而L1(0.)1.823210.1.6047520.98453341.6047520.6202186。 若取x00.4，x10.5，x20.6，则y0f(x0)f(0.4)0.916291，

y1f(x1)f(0.5)0.693147，y2f(x2)f(0.6)0.510826，则

6

L2(x)y0(xx0)(xx2)(xx0)(xx1)(xx1)(xx2)y1y2(x0x1)(x0x2)(x1x0)(x1x2)(x2x0)(x2x1)0.916291(x0.5)(x0.6)(x0.4)(x0.6)(0.693147)(0.40.5)(0.40.6)(0.50.4)(0.50.6)(x0.4)(x0.5)，

(0.510826)(0.60.4)(0.60.5)25.13(x20.9x0.2)45.81455(x21.1x0.3)69.3147(x2x0.24)2.04115x24.068475x2.217097从而

L2(0.)2.041150.24.0684750.2.2170970.595199342.19697652.2170970.61531984。

4、给出cosx,0x90的函数表，步长h1(1/60)，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

[解]设插值节点为x0xx1x0h，对应的cosx值为y0,y1，函数表值为

y0,y1，则由题意可知，y0y011105，y1y1105，近似线性插值多22项式为L1(x)y0xx0xx1y1，所以总误差为 x0x1x1x0R(x)f(x)L1(x)f(x)L1(x)L1(x)L1(x)xx0xx1f()(xx0)(xx1)(y0y0)(y1y1)2!x0x1x1x0xx0xx1cos(xx0)(xx1)(y0y0)(y1y1),x0,x12x0x1x1x0xx0xx11cos(xx0)(xx1)y0y0y1y12x0x1x1x0，从而

R(x)xx0xx1111(xx0)(xx1)10510522x0x12x1x01h21111111051056.941051053.47105242214400222。

5、设xkx0kh,k1,2,3，求maxl2(x)。

x0xx27

x0xx3maxl2(x)max(xx0)(xx1)(xx3)x0xx3(xx)(xx)(xx)202123[解]max(xx0)(xx0h)(xx03h)x0xx3(2h)h(h)1max(xx0)(xx0h)(xx03h)2h3x0xx3220230。

令

f(x)(xx0)(xx0h)(xx03h)x(3x04h)x(3x8x0h3h)x(x4hx3hx0)3202，则

2f(x)3x22(3x04h)x(3x08x0h3h2)，从而极值点可能为

x22(3x04h)4(3x04h)212(3x08x0h3h2)6，又因为

(3x04h)7h47x0h33474717571h)hhh(14720)h3， 333327474717751h)hhh(20147)h3， 333327f(x0f(x0显然f(x04747h)f(x0h)，所以 331471110773f(xh)(20147)h。 03272h32h327x0xx3maxl2(x)6、设xjn(j0,1,,n)为互异节点，求证：

kl(x)x1）xkjjj0n(k0,1,,n)；

2）(xjx)klj(x)xkj0(k1,2,,n)；

[解]1）因为左侧是xk的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。

2）设f(y)(yx)k，则左侧是f(y)(yx)k的n阶拉格朗日多项式，令yx，即得求证。

17、设f(x)C2a,b且f(a)f(b)0，求证maxf(x)(ba)2maxf(x)。

axbaxb88

[解]见补充题3，其中取f(a)f(b)0即得。

8、在4x4上给出f(x)ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过106，问使用函数表的步长h应取多少

[解]由题意可知，设x使用节点x0x1h，x1，x2x1h进行二次插值，则

R2(x)插值余项为

f()(xx0)(xx1)(xx2)3!e[x(x1h)](xx1)[x(x1h)],x0,x26，

令f(x)[x(x1h)](xx1)[x(x1h)]x33x1x2(3x12h2)xx1(x12h2)，则f(x)3x26x1x(3x12h2)，从而f(x)的极值点为xx1333233h(1)h(1)hh，而 33393h，故3x0xx2maxf(x)ee42333e43R2(x)maxf(x)hh，要使其不超过106，则有

6x0xx269273e43h106，即h276243e23.48632101020.472102。 27.3e9、若yn2n，求4yn及4yn。

444jj4yn(EI)yn(1)jEyn(1)jyn4jj0j0414243444[解](1)0y(1)y(1)y(1)y(1)0n41n32n23n14yn。 2n442n362n242n12n444j162n322n242n82n2n2n9

1(4j)j4122yn(EE)yn(1)EEynjj044j42jj4(1)Ey(1)njjyn2jj0j0444j1212414243444(1)0y(1)y(1)y(1)y(1)0n21n12n3n14yn2。 2n242n162n42n12n2162n2322n1242n282n22n22n210、如果f(x)是m次多项式，记f(x)f(xh)f(x)，证明f(x)的k阶差分

kf(x)(0km)是mk次多项式，并且mlf(x)0（l为正整数）。

[证明]对k使用数学归纳法可证。 11、证明(fkgk)fkgk1fkgk。 [证明]

(fkgk)fk1gk1fkgkfk1gk1fkgk1fkgk1fkgk(fk1fk)gk1fk(gk1gk)fkgk1fkgkn1n1。

12、证明fkgkfngnf0g0gk1fk。

k0k0[证明]因为

fk0n1kgkgk1fk(fkgkgk1fk)k0k0n1n1n1[fk(gk1gk)gk1(fk1fk)](gk1fk1fkgk)fngnf0g0k0k0n1，故得证。

13、证明：2yjyny0。

j0n1[证明]yj(yj1yj)yny0。

2j0j0n1n114、若f(x)a0a1xan1xn1anxn有n个不同实根x1,x2,,xn，证明

j1n0kn20,1。 f(xj)an,kn1nxkj[证明]由题意可设f(x)an(xx1)(xx2)(xxn)an(xxi)，故

i110

f(xj)an(xjxi)，再由差商的性质1和3可知：

i1ijnf(xj1nxkjj)j1nxkjan(xjxi)i1ijn1k1(xk)(n1)，从而得证。 x[x1,,xn]anan(n1)!15、证明n阶均差有下列性质：

1）若F(x)cf(x)，则F[x0,x1,,xn]cf[x0,x1,,xn]；

2）若F(x)f(x)g(x)，则F[x0,x1,,xn]f[x0,x1,,xn]g[x0,x1,,xn]。

F[x0,x1,,xn]j0nF(xj)(xi0ijnjxi)j0ncf(xj)(xi0ijnjxi)。

[证明]1）

cj0nf(xj)(xi0ijncf[x0,x1,,xn]jxi)F(xj)j0nF[x0,x1,,xn]j0nf(xj)g(xj)(xi0ijnnjxi)(xi0ijnjxi)。

2）

j0nf(xj)(xi0ij7njxi)j0ng(xj)(xi0ijf[x0,x1,,xn]g[x0,x1,,xn]jxi)f(8)()00。16、f(x)xx3x1，求f[2,2,,2]，f[2,2,,2] 8!8!4017018f(7)()7!1，f[20,21,,28]。 [解]f[2,2,,2]7!7!01717、证明两点三次埃尔米特插值余项是

R3(x)f(4)()(xxk)2(xxk1)2/4!,xk,xk1，

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。

8hmaxfk。 [解]见P30与P33，误差限为(h)270kn18、XXXXXXXXXX．

19、求一个次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足P(0)P(0)0，

P(1)P(1)1，P(2)1。

11

[解]设P(x)a4x4a3x3a2x2a1xa0，则P(x)4a4x33a3x22a2xa1，再由P(0)P(0)0，P(1)P(1)1，P(2)1可得：

0a00P(0)a00P(0)a0a119解得1P(1)aaaaaa2。从而 432101P(x)4a3a2aa4432132a31P(2)16a48a34a22a1a01a44143392x22x2(x3)2P(x)xxx(x6x9)。

4244420、设f(x)C[a,b]，把a,b分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数n(x)，并证明当n时，n(x)在a,b上一致收敛到f(x)。

supf(x)inf[解]令i(x)xi1xxixi1xxif(x),i1,2,3,,n。

221、设f(x)1/(1x2)，在5x5上取n10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，计算各节点中点处的Ih(x)与f(x)的值，并估计误差。 [解]由题意可知，h1，从而当xxk,xk1时，

Ih(x)fklkfk1lk1xxk1xxk111k2xkxk11(k1)2xk1xk11(xx)(xxk)k122h(1k)h[1(k1)]。

22、求f(x)x2在a,b上的分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。

[解]设将a,b划分为长度为h的小区间ax0x1xnb，则当

xxk,xk1，k0,1,2,,n1时，

12

Ih(x)fklkfk1lk1x(x2k12k22xxk1xxkxk21(xxk)xk(xxk1)xxk1xkxk1xk1xkxk1xk2k2k1kx)xxxxk1xk2k1kx

x(xk1xk)xk1xk从而误差为R2(x)f()(xxk)(xxk1)(xxk)(xxk1)， 2!h2故R2(x)(xxk)(xxk1)。

423、求f(x)x4在a,b上的分段埃尔米特插值，并估计误差。

[解]设将a,b划分为长度为h的小区间ax0x1xnb，则当

xxk,xk1，k0,1,2,,n1时，

Ih(x)fkkfk1k1fkkfk1k1(x)4xxk1xkxxk1k22xxk12xk1xk4xxkxk1xxkk122xxk1， 12xkxk13xxk13xxk4xk(xxk)4xk1xxkxkxk1k1(xxk1)f(4)()(xxk)2(xxk1)2(xxk)2(xxk1)2， 从而误差为R2(x)4!h4故R2(x)(xxk)(xxk1)。

162224、给定数据表如下： xj yj 试求三次样条函数S(x)，并满足条件： 1）S(0.25)1.0000,S(0.53)0.6868； 2）S(0.25)S(0.53)0。

[解]由h00.300.250.05，h10.390.300.09，h20.450.390.06，

13

h30.530.450.08，及（）式jhjhj1hj,jhj1hj1hj,(j1,,n1)可知，

1h1h20.0990.062， ，2h0h10.050.0914h1h20.090.065h30.084，

h2h30.060.087h0h10.0550.093， ，2h0h10.050.0914h1h20.090.065h20.063，

h2h30.060.087313由（）式gj3(jf[xj1,xj]jf[xj,xj1])(j1,n1)可知，

9f(x1)f(x0)5f(x2)f(x1)g13(1f[x0,x1]1f[x1,x2])3[]14x1x014x2x190.770.500050.62450.773()140.300.25140.390.3094775768192793()2.7114500149007000g23(2f[x1,x2]2f[x2,x3])3[2f(x2)f(x1)3f(x3)f(x2)]5x2x15x3x2。 。

20.62450.7730.67080.62453()50.390.3050.450.3927683463425634633()2.413590056001000g33(3f[x2,x3]3f[x3,x4])3[4f(x3)f(x2)3f(x4)f(x3)]7x3x27x4x340.67080.624530.72800.67083()70.450.3970.530.446334724463911814573()2.0814760078001400700。从而

5209142.711.00002.1112m11423，解得 1）矩阵形式为：2m2.4132.4132551.7871m32.081430.68684027714

m10.9078nm0.8278，从而S(x)[y(x)m(x)]。

jjjj2j00.6570m32）此为自然边界条件，故

g03f[x0,x1]3f(x1)f(x0)0.770.5000477332.862；

x1x00.300.25500f(xn)f(xn1)0.72800.6708572332.145，

xnxn10.530.45800gn3f[xn1,xn]3

2914矩阵形式为：000n005201423250274007100m02.862m2.7110m22.413，可以解得2.0814m337m42.1452m0m1m2，从而m3m4S(x)[yjj(x)mjj(x)]。

j025、若f(x)C2[a,b]，S(x)是三次样条函数，证明

1）[f(x)]2dx[S(x)]2dx[f(x)S(x)]2dx2S(x)[f(x)S(x)]dx；

aaaabbbb2）若f(xi)S(xi)(i0,1,,n)，式中xi为插值节点，且ax0x1xnb 则S(x)[f(x)S(x)]dxS(b)[f(b)S(b)]S(a)[f(a)S(a)]。

abba[f(x)S(x)]2dx2S(x)[f(x)S(x)]dxabab[f(x)S(x)]22S(x)[f(x)S(x)]dx[解]1）{[f(x)S(x)]2S(x)}[f(x)S(x)]dxab。

[f(x)S(x)][f(x)S(x)]dx[f(x)]2[S(x)]2dxaabb[f(x)]2dx[S(x)]2dxaabb2）由题意可知，S(x)A,xa,b，所以

15

baS(x)[f(x)S(x)]dx{S(x)[f(x)S(x)]}ba[f(x)S(x)]S(x)dxababS(b)[f(b)S(b)]S(a)[f(a)S(a)]A[f(x)S(x)]dxS(b)[f(b)S(b)]S(a)[f(a)S(a)]A[f(x)S(x)]baS(b)[f(b)S(b)]S(a)[f(a)S(a)]

。

补充题：1、令x00，x11，写出y(x)ex的一次插值多项式L1(x)，并估计插值余项。

[解]由y0y(x0)e01，y1y(x1)e1可知，

L1(x)y0xx0xx1x11x0y11ex0x1x1x00110，

(x1)e1x1(e11)xf()e(xx0)(xx1)x(x1),0,1， 余项为R1(x)2!2故R1(x)1111maxemaxx(x1)1。

0x12012482、设f(x)x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有

f(4)()R3(x)(xx0)(xx1)(xx2)(xx3)4!，

4!(x1)x(x1)(x2)(x22x)(x21)x42x3x22x4!从而L3(x)f(x)R3(x)x4(x42x3x22x)2x3x22x。 3、设f(x)在a,b内有二阶连续导数，求证：

maxf(x)[f(a)axbf(b)f(a)1(xa)](ba)2maxf(x)。

axbba8f(b)f(a)(xa)是以a，b为插值节点的f(x)的线性插值多项

ba式，利用插值多项式的余项定理，得到：

f(b)f(a)1f(x)[f(a)(xa)]f()(xa)(xb)，从而

ba2[证]因为f(a)16

f(b)f(a)1(xa)]maxf()max(xa)(xb)axbaxbba2ab。

111maxf()(ba)2(ba)2maxf(x)axb2ab48maxf(x)[f(a)4、设f(x)x75x31，求差商f[20,21]，f[20,21,22]，f[20,21,,27]和

f[20,21,,28]。

[解]因为f(20)f(1)7，f(21)f(2)275231169，

f(22)f(4)47543116705，所以f[20,21]f(2)f(1)1697162，

21f[21,22]012f(4)f(2)167051698268，

422f[21,22]f[20,21]8268162f[2,2,2]2702，

32220f(7)()7!f(8)()0018f[2,2,,2]1，f[2,2,,2]0。

7!7!8!8!0175、给定数据表：i1,2,3,4,5，

xi 1 2 4 6 7 f(xi) 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 [解]

xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 5 4 0 61 6 1 41 7 1 0 6由差商表可得4次牛顿插值多项式为： 1 2 4 1 -3 1 21 2 7 601 12 1 18017

57N4(x)43(x1)(x1)(x2)(x1)(x2)(x4)6601(x1)(x2)(x4)(x6)180，插值余项为

5743(x1)(x1)(x2)(x1)(x2)(x4)6601(x1)(x2)(x4)(x6)180f(5)()R4(x)(x1)(x2)(x4)(x6)(x7),1,7。

5!6、如下表给定函数：i0,1,2,3,4，

xi 0 1 2 3 4 f(xi) 3 6 11 18 27 试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。 [解]构造差分表：

xi fi fi 2fi 3fi 4fi 0 1 2 3 4 3 6 11 18 27 3 5 7 9 2 2 2 0 0 0 t(t1)2f02N4(x0th)f0tf0由差分表可得插值多项式为：

33tt(t1)233tt(t1)t22t32。

18

第三章 函数逼近与计算（80-82）

1、（a）利用区间变换推出区间为a,b的伯恩斯坦多项式；



（b）对f(x)sinx在0,上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与

2

相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。

[解]（a）令xa(ba)t，则t0,1，从而伯恩斯坦多项式为

Bn(f,x)f(k0nnk(ba)knk)Pk(x)，其中Pk(x)。 x(bax)kn（b）令x2nt，则t0,1，从而伯恩斯坦多项式为

Bn(f,x)f(k0knknk)Pk(x)，其中Pk(x)。 x(x)2n2k01011B1(f,x)f()Pk(x)f(0)xxf()xx012222k0；

sin0xsinx0xxx2221kB3(f,x)f(k03k6)Pk(x)303132f(0)0x(2x)f(6)1x(2x)323310f()x(x)f()x(x)322223。

sin0xsin3x(x)2sin3x2(x)sinx362322233323233223x(x)x(x)x(xx2x3)(xx3)x3222224223231x(23)x2(335)x38422、求证：（a）当mf(x)M时，mBn(f,x)M； （b）当f(x)x时，Bn(f,x)x。

k[证明]（a）由Bn(f,x)f()Pk(x)及mf(x)M可知，

nk0n319

mPk(x)mPk(x)Bn(f,x)MPk(x)MPk(x)，

k0k0k0k0nnnnnknkn而Pk(x)x(1x)[x(1x)]1，从而得证。 kk0k0nn（b）当f(x)x时，

nkknkBn(f,x)f()Pk(x)f()x(1x)nknnkk0k0nf(0)0nkn!(n1)!knkx(1x)xxk1(1x)(n1)(k1)。

k!(nk)!k1nk1(k1)![(n1)(k1)]!nx(n1)!xk(1x)(n1)kx[x(1x)]n1xk0k!(n1k)!n13、在次数不超过6的多项式中，求f(x)sin4x在0,2的最佳一致逼近多项式。 [解]由sin4x,x0,2可知，1sin4x1，从而最小偏差为1，交错点为

3579111315此即为P(x)H6的切比雪夫交错点组，从而,,,,,,,，

88888888P(x)是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得P(x)0。

4、假设f(x)在a,b上连续，求f(x)的零次最佳一致逼近多项式。 [解]令minff(x)，Msupf(x)，则f(x)axbaxbMm在a,b上具有最小偏差2Mm，从而为零次最佳逼近一次多项式。 25、选择常数a，使得maxx3ax达到极小，又问这个解是否唯一

0x1[解]因为x3ax是奇函数，所以maxx3axmaxx3ax，再由定理7可知，

0x11x1113当x3axT3(4x33x)时，即a时，偏差最小。

444

6、求f(x)sinx在0,上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。

2

f(b)f(a)[解]由a1f(x2)cosx2ba而最佳一次逼近多项式为

sin22sin0022可得x2arccos，从

20

ax21122y[f(a)f(x2)]a1(x)[sin0sin(arccos)](x2220arccos22)2421222412(xarccos)xarccos2227、求f(x)ex在0,1上的最佳一次逼近多项式。

f(b)f(a)e1e0x2f(x2)ee1可得x2ln(e1)，从而最[解]由a1ba10佳一次逼近多项式为

ax2110ln(e1)y[f(a)f(x2)]a1(x)[e0eln(e1)](e1)(x)2222。 e1ee1(e1)[xln(e1)](e1)xln(e1)22228、如何选取r，使p(x)x2r在1,1上与零偏差最小r是否唯一

[解]由maxp(x)max(x2r)1r，minp(x)min(x2r)r可知当与零偏

1x11x11x11x11差最小时，1rr，从而r。

2另解：由定理7可知，在1,1上与零偏差最小的二次多项式为

1111T2(x)(2x21)x2，从而r。

22229、设f(x)x43x31，在0,1上求三次最佳逼近多项式。 [解]设所求三次多项式为P3(x)，则由定理7可知

1114242，从而 T(x)(8x8x1)xx34882119P3(x)f(x)(x4x2)(x43x31)(x4x2)3x3x2。

888f(x)P3(x)10、令Tn(x)Tn(2x1),x0,1，求T0*(x)、T1*(x)、T2*(x)、T3(x)。

1[解]由Tn(x)Tn(2x1),x0,1可知，令x1t,t1,1，则

21T(x),x1,021*Tn(t1)Tn(t),t1,1，从而Tn(x)。 2T(1x1),x1,102221

Tn*(x)是在0,1上带权11、试证1xx2的正交多项式。

12、在1,1上利用插值极小化求f(x)arctanx的三次近似最佳逼近多项式。

2k1,(k1,2,3)， 81357即x1cos,x2cos,x3cos,x4cos，则可求得L3(x)。

8888[解]由题意可知，插值节点为cos13、设f(x)ex在1,1上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x)，若

fLn有界，证明对任何n1，存在常数n,n，使得

nTn1(x)f(x)Ln(x)nTn1(x)(1x1)。

f(n1)()[证明]由题意可知，f(x)Ln(x)nTn1(x),1,1，从而取

2(n1)!n1x1nminf(n1)(x)2(n1)!，n1x1nmaxf(n1)(x)2(n1)!，则可得求证。

14、设在1,1上(x)1113311655xx2xxx，试将(x)降低到282438438403次多项式并估计误差。

15511[解]因为x5T5x3x，x4T4x2，所以

88116~(x)1xx211331521165535x(x)(xx)282438483840416，

10291993123253xxx1024409610243072~(x)1511651230.0056。 误差为(x)3841638408409615、在1,1利用幂级数项数节约求f(x)sinx的3次逼近多项式，使误差不超过。

x3x5(1)nx2n1，取前三项，得到 [解]因为sinxx3!5!(2n1)!x3x51L5(x)x，误差为sinxL5(x)0.0002，又因为

3!5!7!x5155T5x3x，所以3次逼近多项式为 11622

x31535383273sinxx(xx)xx，此时误差为

3!5!416384321117.9861040.005。 7!1201616、f(x)是a,a上的连续奇（偶）函数，证明不管n是奇数或偶数，f(x)的最佳逼近多项式Fn*(x)Hn也是奇（偶）函数。

[解]f(x)的最佳逼近多项式是由切比雪夫多项式得到的，再由切比雪夫多项式的性质4即得。

17、求a、b使2[axbsinx]2dx为最小，并与1题及6题的一次逼近多项式

0误差作比较。

[解]由1dx202，xdx2028，xdx202324，d02sinxdx1，

000d12xsinxdx(xcosx)|022cosxdx1，可得

224a(4)0.b1328，解得。 23a1b8(3)0.1148282418、f(x),g(x)C1[a,b]，定义

（a）f,gf(x)g(x)dx；（b）f,gf(x)g(x)dxf(a)g(a)。

aaaa问它们是否构成内积

[解]（a）因为f(x)0f,f[f(x)]2dx0f(x)0，但反之不成立，

ab所以不构成内积。 （b）构成内积。

x6dx的上界，并用积分中值定理估计同一积19、用许瓦兹不等式（）估计01x1分的上下界，并比较其结果。

[解]

x601xdx112(01x)dx1(x0162)dx。

(111111)0(x13)10.196101x132132623

661x1x1x6x6116x,x0,1，所以dxdxx6dx。 因为

0201x021x14720、选择a，使下列积分取最小值：(xax2)2dx，xax2dx。

0111[解](xax2)2dx(x22ax3a2x4)dx0011111151，从aa2(a)2328而a5。 411011110当a0时，xax2dxxdxxdxxdxxax20，可得交点为x111，当a0时，由221， a21a00111xaxdx1(axx)dx(xax2)dx(ax2x)dxa121111111a若a1，则(ax3x2)11(x2ax3)0(ax3x2)01322332a，

11111112(a)22a2a1326a323a36a若1a0，则 1101111222xaxdx(xax)dx(axx)dx(a)(a)1。同理可101233222xaxdx1xaxdx1，知，当1a0时，，当时，从而当a1a11111时，积分取得最小。

1,x，2spanx100,x101，分别在1,2上求一元素，使其为21、设1spanx2C[0,1]的最佳平方逼近，并比较其结果。

[解]由1dx1，xdx011011111，x2dx，x3dx可知， 0023411112a3a1，解得6，即在1上为,1。

611b1b1234由x100x100dx11111，x100x101dx，x101x101dx，

000201202203111110021012xxdxxxdx，可知， 01030104124

19920120211a375.243201202a103103104，即在2上为，解得1b11b98202203375.148104103202203104375.243,375.148。

1,x2,x4上的最佳平方逼近。 22、f(x)x在1,1上，求在1span[解]由xdxxdxxdx1，x2xdxx3dxx3dx1101011011101， 22215a212835a11011455222b1，解得b210。 可知，xxdxxdxxdx11035723128c1105222c1283579从而最佳平方逼近多项式为(x)23、un(x)sin[(n1)arccosx]1x215105210xx。 128128是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系

un1(x)2xun(x)un1(x)。

[证明]令xcos，则

2xun(x)un1(x)2xsin[(n1)arccosx]1x21x2sin[(n1)]sin(n)2cossin[(n1)]sin(n)。 2cossinsinsinsin(n2)sin(n)sin(n)sin(n2)un1(x)sinsin1x在1,1上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次2最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。 24、将f(x)sinxC0CkTk(x)，其中 [解]若按照切比雪夫多项式展开sin22k1sin(narccosx)Ck20sincoscoskd,k0,1,2,；若按照勒让德多项式展开， 2nx2k11xsinakPk(x)，其中aksinPk(x)dx；从而 12k02225

11x1xa0sin1dx(2cos)110；

21222131x3x1x31x1sinxdx[(2xcos)2cosdx][(4cos)4sin|1]11122222222；

31111[(4cos)8sin]12sin6cos22222a151x1a2sin(3x21)dx0；

2122a371x13sin(5x3x)dx1222171xx12{[2(5x33x)cos]12cos(15x3)dx}1122222711x[4coscos(15x23)dx]2212171xx{4cos[2(15x23)sin]12sin30xdx}112222，

1711x[4cos48sin60xsindx]122221711xx{4cos48sin60[(2xcos)12cosdx]}112222271111[4cos48sin60(4cos8sin)]2222271111(256cos432sin)6cos1512sin22222从而三次最佳逼近多项式为

3xsinakPk(x)a1P1(x)a3P3(x)2k011111(12sin6cos)x(6cos1512sin)(5x33x)。

222221111(2240cos3780sin)x3(2280sin1340cos)x222225、把f(x)arccosx在1,1上展成切比雪夫级数。

C0CkTk(x)，其中 [解]若按照切比雪夫多项式展开arccosx2k112Ckarccos(cos)coskdcoskd[(sink)0sinkd]0k00k。

2122(2cosk)[cosk1][(1)k1]022kkk2226

241kT(x)。 从而arccosx2[(1)1]Tk(x)2kk1(2k1)k1k26、用最小二乘法求一个形如yabx2的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

xi 19 yi 25 31 38 44 5[解]由d11(xi),f(xi)yi19.032.349.073.397.8271.4。

i1d22(xi),f(xi)yixi2i1519.019232.325249.031273.338297.8442。 685920187.5470105845.21340.8369321.5又1(xi),1(xi)15，

i151(xi),2(xi)xi2i155192252312382442，

3616259611444193653272(xi),2(xi)xi4i11942314384444，

1303213906259235212085136374809672776995327a271.45a4.578故法方程为b369321.5，解得b0.047。 53277277699S(xi)f(xi)均方误差为i152abxi2f(xi)i152。

6.4770252.7324090.5550250.7293164.972915.46667527、观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间t（秒） 0 距离s（米） 0 10 30 50 80 110 [解]设直线运动为二次多项式f(x)abxcx2，则由

d11(xi),f(xi)yi010305080110280。

i1627

d22(xi),f(xi)yixii1600100.9301.9503803.91105， 9571503125501078d33(xi),f(xi)yixi2i16002100.92301.925032803.9211052。 8.1108.34501216.827504533.2又1(xi),1(xi)16，

i161(xi),2(xi)2(xi),1(xi)xii1600.91.933.9514.7，

1(xi),3(xi)3(xi),1(xi)2(xi),2(xi)xi2020.921.92323.92520.813.61915.212553.63i162(xi),3(xi)3(xi),2(xi)xi3030.931.93333.9353i16

0.7296.8592759.319125218.9073(xi),3(xi)xi4i16040.941.94343.94，

0.656113.032181231.3441625951.032314.753.63a2806a0.5837b1078，解得b11.0814。 14.753.63218.907故法方程为c2.248853.63218.907951.0323c4533.2故直线运动为f(x)0.583711.0814x2.2488x2。

28-31略。

补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：

I I1 I2 I3 …… In U U1 U2 U3 …… Un 试用最小二乘原理确定电阻R的大小。 [解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：UIR。应用最小二乘原理，求R

(R)2(IiRUi)Ii。使得(R)(IiRUi)达到最小。对(R)求导得到：

2i1i1nn28

令(R)0，得到电阻R为RUIi1nnii。

Ii12i2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值x1,x2,,xn，通常取平均值

x1(x1x2xn)作为所求长度，请说明理由。 nn[解]令(x)(xxi)2，求x使得(x)达到最小。对(x)求导得到：

i11n(x)2(xxi)，令(x)0，得到xxi，这说明取平均值

ni1i1nx1(x1x2xn)在最小二乘意义下误差达到最小。 n3、有函数如下表，要求用公式yabx3拟合所给数据，试确定拟合公式中的a和b。

xi yi -3 -2 -1 0 1 2 3 [解]取0(x)1，1(x)x3，则

0(x),0(x)17，0(x),1(x)1(x),0(x)xi30，

i06i0661(x),1(x)xi61588，而

i060(x),y(x)yii09.26，1(x),y(x)xi3yi180.65。故法方程为

i060a9.267a1.322901588b180.65，解得b0.11376。 4、在某个低温过程中，函数y依赖于温度(C)的实验数据为

i 1 yi 2 29

3 4 已知经验公式的形式为yab2，是用最小二乘法求出a和b。 [解]取0()，1()2，则

0(),0()i1442i30，0(),1()1(),0()i3100，

i141(),1()i4i13，而

40(),y()iyii1417.2，1(),y()i2yi55。故法方程为

i130100a17.2a0.9497，解得。 1003b55b0.11295、单原子波函数的形式为yaebx，试按照最小二乘法决定参数a和b，已知数据如下：

X y 0 1 2 4 [解]对yaebx两边取对数得lnylnabx，令Ylny，Alna，则拟合函数变为YAbx，所给数据转化为 X 0 1 y 取0(x)1，1(x)x，则

2 4 0(x),0(x)14，0(x),1(x)1(x),0(x)xii14i1447，

1(x),1(x)xi2i121，而

40(x),y(x)yii140.2109，1(x),y(x)xiyi3.6056。故法方程为

i147a0.2109A0.5946，解得。因而拟合函数为721b3.6056b0.3699Y0.59460.3699x，原拟合函数为ye0.59460.3699x1.8123e0.3699x。

30

第四章 数值积分与数值微分（107）

1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。

1）f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)；

hh[解]分别取f(x)1,x,x2代入得到：

1hA16hA1A0A1h1dx2hA1A0A12hh2，即，解得AAAh A(h)A0Ahxdx0101101h31h21A1A1hA(h)2A02Ah2x2dxh3A101h316h3h11又因为当f(x)x3时，A1(h)3A003A1h3h4h30x3dx；

h66h1112当f(x)x4时，A1(h)4A004A1h4h5h5h5h5x4dx；

h6635从而此求积公式最高具有3次代数精度。

2）2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)；

[解]分别取f(x)1,x,x2代入得到：

2hAAA0112h1dx4hA1A0A14h2h，即A1A1， A1(h)A00A1h2hxdx0162h1623A(h)2A02Ah2AAh11xdxh10132h38A13h4解得A0h，

38A13h2h88又因为当f(x)x3时，A1(h)3A003A1h3h4h30x3dx；

2h332h858514hx4dx；当f(x)x时，A1(h)A00A1hhhh

2h3335从而此求积公式最高具有3次代数精度。

3）f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3；

1131

[解]分别取f(x)x,x2代入得到：

(12x3x)/31xdx01212x13x21，即2， 21222222x13x21[(1)2x13x2]/3xdx13232232x1x177解得与，

x122x12222772321223]/3[(1)237733又因为当f(x)x3时，[1283621082162241623]；

34334313611420x3dx134332321223]/3[(1)237783621082162241623]，

34334313611420x3dx1343[123从而此求积公式最高具有2次代数精度。

4）f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]。

0h11[解]分别取f(x)x2代入得到：h(0h2)/2ah2(2h)h3，所以a，又

12311因为当f(x)x3时，h(0h3)/2ah2(3h2)h4，

124111当f(x)x4时，h(0h4)/2ah2(4h3)h5h5，所以此求积公式最高

1265具有3次代数精度。

2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

1xdx； （1）04x232

7hT8[f(a)22k1k71118f(xk)f(b)][2]215k1k487118k1)[解](2。 215256kk111842424012561[2()]0.111401257652651728173305577hS8[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]k6k0k122k1k77111168[42]224845k0k12k1k44168771116(2k1)8k1(42)0.11157224845k01024(2k1)k1256k1x11521精确值为dxln(4x)|ln0.11157。 004x2224

(1ex)dx,n10；2）（略）

0x1123）91xdx,n4；

9[解]（略），精确值为4）/6122529xdxx2|1(271)。

33330sin2d,n6；（略）。

3、直接验证柯特斯公式（）具有5次代数精度。

3ababa3b[证明]显然节点为a,,,,b，分别取f(x)1,x,x2,x3,x4,x5,x6代

424bba入得到：[73212327]ba1dx，

a90ba3ababa3b[7a32()12()32()7b]90424； 22bbaba[7a32(ab)6(ab)7b]xdxa90233

ba3ab2ab2a3b2[7a232()12()32()7b2]90424ba[7a22(9a26abb2)3(a22abb2)2(a26ab9b2)7b2] 90bbab3a322(30a30ab30b)x2dxa9030ba3ab3ab3a3b3[7a332()12()32()7b3]90424ba13[7a3(27a327a2b9ab2b3)(a33a2b3ab2b3)90221 (a39a2b27ab227b3)7b3]2ba45345245ba(aabab2b3)(ab)(a2abb2ab)9022224bb4a4x3dxa4ba3ab4ab4a3b4[7a432()12()32()7b4]90424ba1[7a4(81a4108a3ba2b212ab3b4)90831(a44a3b6a2b24ab3b4)(a412a3ba2b2108ab381b4)7b4] 48baba4(18a418a3b18a2b218ab318b4)(aa3ba2b2ab3b4)905bb5a5x4dxa5ba3ab5ab5a3b5[7a532()12()32()7b5]90424ba1[7a5(243a5405a4b270a3b290a2b315ab4b5)90323(a55a4b10a3b210a2b35ab4b5)8

15(a15a4b90a3b2270a2b3405ab4243b5)7b5]32ba(15a515a4b15a3b215a2b315ab415b5)90bbab6a224(ab)(a2abb)x5dxa6634

ba3ab6ab6a3b6[7a632()12()32()7b6]90424ba1[7a6(729a61458a5b1215a4b20a3b3135a2b418ab5b6)901283(a66a5b15a4b220a3b315a2b46ab5b6)16

1(a618a5b135a4b20a3b31215a2b41458ab5729b6)7b6]128ba8250551710421953317102440558256(aabababababb)90321281612832bb7a7x6dxa6从而此求积公式最高具有5次代数精度。 4、用辛普森公式求积分exdx并估计误差。

01S[解]

ba10ab01[f(a)4f[f(0)4ff(b)]f(1)]662212。

1(e04e6e1)41(12.426120.36788)0.63233611baba(4)1013.472104。 RSe，从而RSf()180161802180165、推导下列三种矩形求积公式：f(x)dxf(a)(ba)baf()(ba)2；

a2bf()abf()2f(x)dxf(b)(ba)(ba)；f(x)dxf()(ba)(ba)3 a2224b[解]由微分中值定理有：f(x)f(a)f()(xa)，从而

baf(x)dx[f(a)f()(xa)]dx[f(a)xabf()(xa)2]ba2f()f(a)(ba)(ba)22

再由微分中值定理有：f(x)f(b)f()(xb)，从而

baf(x)dx[f(b)f()(xb)]dx[f(b)xabf()(xb)2]ba2f()f(b)(ba)(ba)22。

由微分中值定理有：f(x)f(abababf()ab2从)f()(x)(x)，

2222235

abababf()ab2)f()(x)(x)]dxaa22222ab1abab2f()ab3b)xf()(x)(x)]a而[f(。 222262abf()(ba)3abf()f()(ba)f()(ba)(ba)32224bf(x)dx[f(b6、证明梯形公式（）与辛普森公式（）当n时收敛到积分f(x)dx。

abba2baba(ba)3[证明]由ITnhf()f()与 f()21212n12nbah(4)baba(4)(ba)5(4)ISnf()可得求证 f()f()418021802n2880n7、用复化梯形公式求积分f(x)dx，问要将积分区间a,b分成多少等分，才能

ab244保证误差不超过（设不计舍入误差）

ba2baba(ba)3[解]由ITnhf()f()可知，令f()21212n12n(ba)3M，从而nMmaxf(x)，则ITn2axb12n2(ba)3M。

128、用龙贝格方法计算积分

2e01xdx，要求误差不超过105。

4m1hTm1mTm1(h)及Rm(h)O(h2(m1))可得。[解]由Tm(h)m（参见91241页）

9、卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是Sa/20c1sin2d，a2这里a是椭圆的半长轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R6371公里为地球半径，则a(2RHh)/2，

c(Hh)/2。我国第一颗人造卫星近地点距离h439公里，远地点距离为2384

公里，试求卫星轨道的周长。

2RHh2637123844397782.5， [解]由a22Hh2384439c972.5可得

2236

Sa/20/2c31sin2d7782.51sin2d。 0a31132210、证明等式nsinn33!n255!n4，试依据nsinn(n3,6,12)的值，用

外推算法求的近似值。 [证明]因为T0(3)3sin32.598，T0(6)6sin63，

T0(12)12sin121213(1)3.1058，由 224m1hTm(h)mTm1mTm1(h)可得，

241414141T1(6)T0(3)T0(6)2.59832.4，

33334141T1(12)T0(6)T0(12)33.10582.97，

3333161161T2(12)T1(6)T1(12)2.42.972.43062。

1515151511、用下列方法计算积分31dy，并比较结果。 y1）龙贝格方法；（2）三点及五点高斯公式；

3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 [解]31dy3lny|1ln31.0986。 y1在x1.0,1.1和处的导数值，并估计

(1x)212、用三点公式和五点公式求f(x)误差，f(x)的值由下表给出：

X f(x) 1h2[3f(x0)4f(x1)f(x2)]f()， [解]由三点公式f(x0)2h31h2f(x1)[f(x0)f(x2)]f()，

2h637

1h2f(x2)[f(x0)4f(x1)3f(x2)]f()可知，

2h3f(x0)1[30.2540.22680.2066]0.247， 0.20.12240.12误差为M(x0)240.08；

33(1)5f(x1)1[0.250.2066]0.217，误差为 20.10.12240.12M(x1)240.04， 566(1)f(x2)1[0.2540.226830.2066]0.187 0.20.12240.12误差为M(x2)240.08。 533(1)由五点公式可知

f(x0)1[250.25480.2268360.2066160.130.1736]120.11[6.2510.887.43763.0240.5208]0.24831.21[30.25100.2268180.206660.10.1736]120.1，

f(x1)1[0.752.2683.71881.1340.1736]0.21631.2f(x2)1[0.2580.226880.10.1736]120.1，

1[0.251.81441.5120.1736]0.18831.211。

1、计算1,1上的积分If(x)dx的两点求积公式

11f(x)dx0f(x0)1f(x1)。

[解]求积公式的代数精度不超过2n13，将求积公式x0,x1和求积系数0,1作为4个待定系数，依次取被积函数f(x)为1,x,x2,x3代入求积公式，得到方程组：

38

010121xx0100113，从而求积公式为 ，可以解得2x22030x01x13

333

xx0x11001311f(x)dxf(33)f()。 332、直接验证梯形公式

baf(x)dxba[f(a)f(b)]与中矩形公式2baabf(x)dx(ba)f具有一次代数精度，而辛普生公式

2f(x)dxbaab[f(a)4ff(b)]具有三次代数精度。 62ba[证明]（1）依次将f(x)1,x,x2代入梯形公式中，得到：

bbaba[f(a)f(b)](11)ba1dx；

a22bbabab2a2[f(a)f(b)](ab)xdx；

a222bbaba2b3ab2a2ba3b3a32[f(a)f(b)](ab)x2dx，

a2223从而梯形公式具有一次代数精度。

（2）依次将f(x)1,x,x2代入中矩形公式中，得到：

bab(ba)f(ba)1baa1dx；

2babb2a2ab(ba)f(ba)xdx； a222b(b2a2)(ab)b3a3abab(ba)fx2dx， (ba)a43222从而中矩形公式具有一次代数精度。

（3）依次将f(x)1,x,x2,x3,x4代入辛普生公式中，得到：

39

bbabaab[f(a)4ff(b)]6ba1dx； a662babaabab[f(a)4f[a4b]f(b)]6262bbaba3(ab)xdxa62222；

baba2abab2[f(a)4ff(b)][a4b]6622bbaba222(aabb)x2dxa6333；

baba3abab3[f(a)4f[a4f(b)]b]6622bba33ba(aa2bab2b3)x3dxa6244443；

baba4abab4[f(a)4f[a4f(b)]b]6622bba35ba(aa3ba2b2ab3b4)x4dxa24455，

从而辛普生公式具有三次代数精度。

111133、求近似求积公式f(x)dx[2f()f()2f()]的代数精度。

03424[解] 依次将f(x)1,x,x2,x3,x4代入求积公式中，得到：

111131[2f()f()2f()](212)11dx；

0342431111311131[2f()f()2f()](212)xdx； 34243424201111311212321[2f()f()2f()][2()1()2()]x2dx； 34243424301111311313331[2f()f()2f()][2()1()2()]x3dx； 3424342440111131113371[2f()f()2f()][2()41()42()4]x4dx， 3424342419250因此所给求积公式具有三次代数精度。

4、求三个不同的节点x1x2x3和常数

C，使求积公式

11f(x)dxC[f(x0)f(x1)f(x2)]具有尽可能高的代数精度。

[解] 依次将f(x)1,x,x2,x3,x4代入求积公式中，得到：

40

2C(111)3C211dxC123C132C(xxx)0xdx1231xxxx01123，即，解得2， 12222222x12x2C(x1x2x3)xdxx20x1313333123333x1x2x30C(xxx)0xdxx1233121222)f(0)f()]，具有3次代数精度。令此时求积公式为f(x)dx[f(1322f(x)x4代入求积公式中，得到：

1222224221112[f()f(0)f()][()04()4][]x4dx322322344351所以此求积公式的代数精度只有3次。

5、用三个节点（n2）的Gauss求积公式计算积分I[解]三个节点的Gauss求积公式为

4dx(2)。

11x2111f(x)dx15158515f()f(0)f()，所以 9599584229915151155。

253225196.33331183I6、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式f(x)dxAf()Bf(0)Cf()2245dx11x294为Gauss型公式。

[解]要使数值积分公式f(x)dxAf()Bf(0)Cf()为Gauss型公式，则

22其具有2n15次代数精度。依次将f(x)1,x,x2,x3,x4,x5代入都应精确成立，

41

ABC421dx22A()B0C(CA)02xdxABC4CA21622222A()B0C(AC)xdx2283故有，即，解得C2333333A()B0C(CA)0xdx24322C44444A()B0C(AC)xdx5252A()5B05C5(CA)50x6dx2A1016102,B,C,15。 9995107、试确定常数A，B，C和1，使得数值求积公式f(x)dxAf(0)Bf(x1)Cf(1)具有尽可能高的代数精度。此时的代数精度是多少它是否是Gauss型公式 [解]依次将f(x)1,x,x2,x3代入求积公式，得到：

1ABC111dxABC1x01211Bx1C1B2A0Bx1C1Bx1C0xdx223，即，解得，121122222Bx1C3A0Bx1C1Bx1CxdxC13061Bx3C113333311A0Bx1C1Bx1C0xdxA446从而求积公式为f(x)dx011211f(0)f()f(1)，令f(x)x4代入得到： 6326114211451从而求积公式只具有3次代数精度，01x4dx，

632624504不是Gauss型公式。

42

第五章 常微分方程数值解法（141-142）

1、就初值问题yaxb,y(0)0分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似

解的表达式，并与准确解y12axbx相比较。 2[解]由欧拉公式可知yn1ynh(axnb)，即yn1ynh(axnb)，从而

yn1y0h(axkb)h[a(x0kh)b]k0k0nn[ahx0kah2)bh]ah(n1)x0k0nn(n1)2ah(n1)bh2，即

yny0ahnx0ynn(n1)2ahnbh，又因为y00，x00，所以 2n(n1)2ahnbh。再由xnnh，可知误差为 212n(n1)2axnbxn[ahnbh]22。

122n(n1)2nah2anhbnhahnbh222y(xn)ynyn1ynh(axnb)h由改进的欧拉公式可知yn1yn[(axnb)(axn1b)]，

2ahy(xnxn1)bhn2即yn1ynnah(xnxn1)bh，从而 2nahahyn1y0[(xkxk1)bh]{[x0(2k1)h]bh}2k02k1ah(n1)(12n1)(n1)ah2x0(n1)bh222ah(n1)(n1)22x0ah(n1)bh22yn1，即

ahnn22y0x0ahnbh，又因为y00，x00，所以

22n22ahnbh。再由xnnh，可知误差为 243

yn112n22122n22y(xn)ynaxnbxn[ahnbh]anhbnhahnbh0。

2222yxy,0x12、用改进的欧拉方法求解初值问题，取步长h0.1计算，

y(0)1并与准确解yx12ex相比较。

yn1ynh(xnyn)yn1ynh[xnynxn1yn1)]2[解]由改进的欧拉公式可知，又由hy[xyxyh(xy)]nn1nnnn2nh2hhh2(1h)ynxn1()xn2222x00，y01，h0.1，可得yn11.105yn0.05xn10.055xn，从而

y11.10510.050.10.00501.11；

y21.1051.110.050.20.0550.11.226550.010.00551.24205； y31.1051.242050.050.30.0550.21.372465250.0150.0111.39846525；

y41.1051.398465250.050.40.0550.31.53038250.020.01651.58180410125；

y51.1051.581804101250.050.50.0550.41.7473531881250.0250.0221.794353188125y61.1051.7943531881250.050.60.0550.5；

1.983357352728781250.030.02752.04085735272878125y71.1052.040857352728781250.050.70.0550.6；

2.255147374765303281250.0350.0332.32314737476530328125y81.1052.323147374765303281250.050.80.0550.7；

2.567077849115660125781250.040.03852.557784911566012578125；

y91.1052.5577849115660125781250.050.90.0550.82.9233635232726044388281250.0450.0443.012363523272604438828124

；

y101.1053.0123635232726044388281250.0510.0550.93.32866169321405082050781250.050.04953.4281616932140508205078125。

yx2xy3、用改进的欧拉方法解，取步长h0.1计算y(0.5)，并与准确解

y(0)0yexx2x1相比较。

[解]由改进的欧拉公式可知

2yn1ynh(xnxnyn)h222yn1yn{xnxnynxn1xn1[ynh(xnxnyn)}，又由x00，

2h2h(1h)2h2(1h)y(xx)(xn1xn1)nnn22222xn)0.05(xny00，h0.1，可得yn10.905yn0.045(xn1xn1)，从而

y10.90500.045(020)0.05(0.120.1)0.0055；

y20.9050.00550.045(0.120.1)0.05(0.220.2)0.00497750.004950.0120.0219275；

y30.9050.02192750.045(0.220.2)0.05(0.320.3)0.01984438750.01080.01950.0501443875；

y40.9050.05014438750.045(0.320.3)0.05(0.420.4)0.04538067068750.017550.0280.0909304706875；

y50.9050.09093047068750.045(0.420.4)0.05(0.520.5)0.08229225697218750.02520.03750.14499225697218755。

nyy02h4、用梯形方法解初值问题，证明其近似解为yn，并证明当

y(0)12hh0时，它收敛于原初值问题的准确解yex。

hhh[解]由梯形公式可知，yn1yn(ynyn1)，从而(1)yn1(1)yn，即

222yn12h2h2hyn，从而yny0，又由y01可知，yn。 2h2h2hnn45

nn4h12hlimynlim1lim1limh0h02hh0h012h12hx21(1)2h2nh2h1ex。

5、利用欧拉方法计算积分etdt在点x0.5,1,1.5,2的近似值。

0yext[解]令yedt，则，从而令h0.5，利用欧拉方法得到：

0y(0)0x22yn1ynhf(xn,yn)yn0.5e，又由y00，得到： y1y00.5e000.510.5；

22xny2y10.5e0.50.50.5e0.251.1420127； y3y20.5e1.14201270.5e2.5011536； y4y30.5e1.52.50115360.5e2.257.2450215。

6、取h0.2，用四阶经典的龙格-库塔方法求解下列初值问题：

2212yxy,0x11）；

y(0)1[解]由四阶经典的龙格-库塔方法可知，K1f(xn,yn)xnyn，

hhhhhhK2f(xn,ynK1)xnynK1(1)(xnyn)；

222222hhhhK3f(xn,ynK2)xnynK22222； 22hhhhhhhhxnyn[(1)(xnyn)](1)(xnyn)22222424K4f(xnh,ynhK3)xnhynhK3hh2hh2hxnynh[(1)(xnyn)]。

2424h2h3h2h3(h)(1h)(xnyn)242446

h(K12K22K3K4)6hhhhh2hh2yn{(xnyn)2[(1)(xnyn)]2[()(1)(xnyn)]6222424h2h3h2h3(h)(1h)(xnyn)}2424；

hh2h2yn[(xnyn)h(2h)(xnyn)(h)(2h)(xnyn)622h2h3h2h3(h)(1h)(xnyn)]2424hh3h322yn[(3hh)(63hh)(xnyn)]4yn1yn1yn1yn[0.26.2(xnyn)]又由h0.2可知，。30yn0.02140.2214(xnyn)0.2214xn1.2214yn0.0214从而由x00,y01可得：y10.221401.221410.02141.2428；

y20.22140.21.22141.24280.02140.044281.517955921.58363592； y30.22140.41.22141.583635920.02140.088561.9342529126880.02142.044212912688y40.22140.61.22142.0442129126880.02140.132842.49680165155712320.02142.6510416515571232y50.22140.81.22142.65104165155712320.02140.177123.2379822732118702780.02143.4365；

；

。

精确解为y2exx1。

y3y/(1x),0x12）。

y(0)1精确解为y(1x)3。

7、证明对任意参数t，下列龙格-库塔公式是二阶的。

hyy(K2K3);nn12Kf(x,y);。 nn1K2f(xnth,ynthK1);K3f(xn(1t)h,yn(1t)hK1)47

(th)22Dfn， [证明]因为K1fn，K2fnthDfn2[(1t)h]22K3fn(1t)hDfnDfn，所以

2h(K2K3)2h(th)22[(1t)h]22yn{fnthDfnDfnfn(1t)hDfnDfn}222 22h(2t2t1)hyn[2fnhDfnD2fn]22h2(2t22t1)h32ynhfnDfnDfn24yn1ynh2h3yn1ynhynynyn26而，比较系数可知，所给龙格-库塔公23hhynhfnDfn(D2ffyDf)n26式是二阶精度的。

8、证明下列两种龙格-库塔方法是三阶的：

hhyy(K3K)yy(2K13K24K3)n13n1nn149Kf(xn,yn)K1f(xn,yn)1（1）；（2）； hhhhKf(x,yK)Kf(x,yK)nn1nn1223322Kf(x2h,y2hK)Kf(x3h,y3hK)3nn23nn23344yn1ynh(1K12K23K3)Kf(x,y)nn[证明]在三阶龙格-库塔公式1中，

Kf(xph,yphK)nn12K3f(xnqh,ynqh(rK1sK2))1312（1）取1，20，3，p，q，r0，s1。即为所给方法，

443348

rs112311并且满足2p3q，因而具有三阶精度。

2122pq323pqs136（2）取121413，2，3，p，q，r0，s1。即为所给方法，93942rs112311并且满足2p3q，因而具有三阶精度。

2122pq323pqs1369、分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列问题：

y1y,y(0)0，取h0.2,y00,y10.181计算y(1.0)，并与准确解

y1ex相比较。

[解]由h0.2可知，当使用二阶显式亚当姆斯方法时，

h(3fnfn1)yn0.1[3(1yn)(1yn1)]。从而， 2yn0.1(23ynyn1)0.7yn0.1yn10.2yn1yny20.7y10.1y00.20.70.1810.100.20.3267，

y30.7y20.1y10.20.70.32670.10.1810.20.228690.01810.20.44679，

y40.7y30.1y20.20.70.446790.10.32670.20.3127530.032670.20.23；

y50.7y40.1y30.20.70.230.10.446790.20.38179610.0446790.20.6275149

；

当使用二阶隐式亚当姆斯方法时，

hyn1yn(3fnfn1)yn0.1[(1yn)(1yn1)]yn0.1(2ynyn1)，即

2921.1yn10.9yn0.2，从而yn1yn。故

111192923.629y2y10.1810.3299；

111111111192924.9691y3y20.32990.451736；

111111111192926.065624y4y30.4517360.55142；

111111111192926.96278y5y40.551420.63298。

1111111111精确解为1e10.6321。

10、证明解yf(x,y)的下列差分公式yn1是二阶的，并求出截断误差的首项。 [证明]因为yn1h2h3， ynhynynyn261h1yn3yn1)(ynyn1)(4yn24yn1h2h3h2，yn1ynhyn， ynhynynynyn262h2hyn，所以 ynyn21yn1h1yn3yn1)(ynyn1)(4yn241h2h3)(ynynhynynyn226hh2h2hyn)yn3(ynhyn[4(ynyny)]，从而比较系数可4221h2h3h7h2)(6ynhyn)(2ynhynynynyn222h219h3ynhynynyn224h319h35yn。 ynyn得差分公式具有二阶精度，并且截断误差首项为624811、导出具有下列形式的三阶方法：

b1yn1b2yn2)。 yn1a0yna1yn1a2yn2h(b0yn50

[解]因为yn1h2h3h4(4)ynhynynynyn，

2624yn1h2h3h4(4)ynhynynynyn，

2624(2h)2(2h)3(2h)4(4)yn2yn2hynynynyn2624， 344h2h(4)2h2ynyn2hynynyn331ynh2h3(4)hynynynyn，

26(2h)2(2h)3(4)4h3(4)22hyn2hyn2hynynynynynyn，

2632ynb1yn1b2yn2)a0yna1yn1a2yn2h(b0ynh2h3h4(4)a0yna1[ynhynynynyn]26244h32h4(4)22hyna2[yn2hynynyn]33h2h3(4)b1[ynhynynyn]所以h{b0yn2h3(4)22hyn2hynb2[ynyn]}3h2(a14a22b14b2)(a0a1a2)yn(a12a2b0b1b2)hynyn2h3h4(4)(a116a24b132b2)(a18a23b112b2)ynyn624，

a0a1a21a2abbb12012从而若公式具有三阶精度，则必须有：1。

a14a22b14b21a18a23b112b2112、将下列方程化为一阶方程组： 1）y3y2y0,y(0)1,y(0)1；

ypy(0)1[解]令yp，则p3p2y0,p(0)1，从而有，，

p3p2yp(0)151

y011xy(x)e再令Y，则初值问题为。[精确解为] YY,Y(0)p3212）y0.1(1y2)yy0,y(0)1,y(0)0。

yp2[解]令yp，则p0.1(1y)py0,p(0)0，从而有，2p0.1(1y)pyy(0)1。 p(0)03）x(t)xy22,y(t),rxy,x(0)0.4,x(0)0,y(0)0,y(0)2。 33rrxpyqxy[解]令x(t)p，y(x)q，则p3，q3，从而有px，初值

rrr3yqr3x(0)0.4y(0)0为。 p(0)0q(0)2yy013、取h0.25，用差分法解边值问题。

y(0)0,y(1)1.68[解]显然n4，令ynyn12ynyn1h2(n1,2,3)，及y00,y41.68，代入

y22y1h2y1y2(h22)y10得到：y32y2y1h2y2，即y3(h22)y2y10，

221.682yyhy323(h2)y3y21.68h2210y1021h21y20，再由h0.25可知， 20y31.681h252

311016y10y10.4943831， 解得11y0y20.95786。 216y1.36148y1.683331101614、对方程yf(x,y)可建立差分公式yn12ynyn1h2f(xn,yn)，试用这一

y1x2x公式求解初值问题，验证计算解恒等于准确解y(x)。

2y(0)y(1)02h1y11y12h121[解]由差分格式可建立方程组。 12hyn11(1x2)yxy3y6x315、取h0.2，用差分方法解边值问题。

y(0)y(0)1,y(1)2[解]显然n5，y52，令ynyn12ynyn1yn1yn1y(n1,2,3,4)，及n2hh22)代入得到：(1xnyn12ynyn1yn1yn1x3yn6xn3，即 n22hh222(22xnhxn)yn1(44xn6h2)yn(2hxn2xn)yn16h2(2xn1)，

又由y0y1y01可得(h1)y0y1h，从而由h0.2得方程组为： h10001.2002.124.42.0402.44.882.24002.845.682.600003.446.8

y01.01487y00.2y1.01785y0.14411y0.048，可以解得y1.07010。 22y1.21930y30.04836.096y4y41.5132953

第六章 方程求根（163-1）

阅读材料：一般的n次多项式方程anxnan1xn1a1xa00称为n次代数方程。对于3次、4次的方程，虽然也可以在数学手册上查到求解公式，但是太复杂。至于5次以上的方程就没有现成的求解公式了。代数方程可以说是最简单的非线性方程，因为虽然不能很好地算出它的根，但是总可以知道，n次方程一般具有n个根。

一般由实际问题归结得到的方程还常常含有三角函数、指数函数、对数函数等超越函数，如sinx,ex,lnx，这样的方程叫做超越方程。求解超越方程不仅没有一般的公式，而且若只依据方程本身，那么连是否有根、有几个根，也都难以判断。

超越方程与n2次代数方程一起统称为非线性方程，记作f(x)0，其中

f(x)是一个单变量的初等函数，它可以是多项式函数、超越函数等形式或者它

们的组合形式。

所谓方程求根，就是寻找一个x*，使得f(x*)0成立，这样的x*叫做方程，也叫做函数f(x)的零点。若存在正整数m，使得f(x)0的根（解）

f(x)(xx*)mg(x)，且0g(x*)，则称x*为f(x)0的m重根。当m1时，x*又称为单根，这时x*满足f(x*)0，f(x*)0。

对于一般的非线性方程f(x)0，用直接方法得到它的精确解是很困难的，例如exx0。非线性方程的求解就是研究方程f(x)0在给定初值的条件下，如何利用计算机运算得到方解x*的近似值x，使得对任意给定的精度0，满足x*x，此时称x关于是精确的。

对于具体的问题，首先要对函数f(x)加以初步的研究，判断出方程的根的个数和大概位置，才能较好地选择有根区间。如果选取得好，还可以把方程的根

逐个分离，找出相应的有根区间。

二分法的特点是当f(x)0有单根时具有收敛快的特点。然而对方程有重根或复根的情况，二分法公式有时失效。

1、用二分法求方程x2x10的正根，要求误差0.05。

[解]令f(x)x2x1，则f(0)1，f(2)1，所以有根区间为0,2；

又因为f(1)1，所以有根区间为1,2；

f(1.5)1.521.510.25，所以有根区间为1.5,2；

50，所以有根区间为1.5,1.75； 161f(1.625)1.62521.62510，所以有根区间为1.5,1.625；

f(1.75)1.7521.751f(1999319)(1)2110，所以有根区间为1,1.625； 1616162561619519(11)11.59375， 216832191这时它与精确解的距离(1.6251)0.05。

21632取x*2、用比例求根法求f(x)1xsinx0在区间0,1的一个根，直到近似根xk满足精度f(xk)0.005终止计算。

3、为求方程x3x210在x01.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：

221）x11/x2，迭代公式xk111/xk；2）x31x2，迭代公式xk131xk；

131。，迭代公式xk11/xk1；4）x2x31，迭代公式xk1xk

x1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。 3）x2[解]1）设(x)121612(1.5)1，所以，则，从而(x)323271.5xx迭代方法局部收敛。

22）设(x)1x，则(x)x(1x2)3，从而

3232216(1.5)1.5(11.52)331，所以迭代方法局部收敛。

3169112，则(x)(x1)，从而(1.5)(0.5)221，

22x123）设(x)133所以迭代方法发散。

3234）设(x)x1，则(x)x(x1)2，从而

21355

3199(1.5)1.5()21，所以迭代方法发散。

283814、比较求ex10x20的根到三位小数所需的计算量：

1）在区间0,1内用二分法； 2）用迭代法xk1(2exk)/10，取初值x00。 [解]1）使用二分法，令f(x)ex10x2，则

f(0)1，f(1)e8，有根区间为0,1； f(0.5)e0.530，有根区间为0,0.5； f(0.25)e0.250.50，有根区间为0,0.25； f(0.125)e0.1250.750，有根区间为0,0.125；

11311f()e160.56050，有根区间为,； 16816831713f()e320.035780，有根区间为,； 3216163253953f()e0，有根区间为,； 32321173113f()e1280，有根区间为,； 1281283223141233f()e2560，有根区间为,； 25612825632472772347f()e5120，有根区间为,； 512256256512935592393f()e10240，有根区间为,； 1024512256102493472311531从而x*12393185()0.090332，共二分10次。 2256102420482exk2e02e0.10.1，x20.04829， ，则x11010102）使用迭代法xk156

2e0.048292e0.0906391x30.0906391，x40.0905126，

1010即x*x40.0905126，共迭代4次。

5、给定函数f(x)，设对一切x，f(x)存在且0mf(x)M，证明对于范围迭代过程xk1xkf(xk)均收敛于f(x)的根x*。 02/M内的任意定数，

[证明]由xk1xkf(xk)可知，令(x)xf(x)，则(x)1f(x)，又因为0mf(x)M，0格式收敛。

6、已知x(x)在区间a,b内只有一根，而当axb时，(x)k1，试问如何将x(x)化为适于迭代的格式

将xtanx化为适于迭代的格式，并求x4.5（弧度）附近的根。 [解]将x(x)两边取反函数，得到x1(x)，而[1(x)]1，从而(x)2，所以1(x)1，即(x)1，从而迭代M[1(x)]111，故迭代公式xk11(xk)收敛。 (x)k令(x)tanx，则(x)sec2x，从而(4.5)sec24.522.5，将迭代公式改变为xk1arctanxk，这时，(x)11，从而(4.5)0.047，迭

1x214.52代格式收敛。取x04.5，x1arctanx04.49372，x*x2arctanx14.493424。 7、用下列方法求f(x)x33x10在x02附近的根。根的准确值

x*1.87938524，要求计算结果准确到四位有效数字。

1）用牛顿法；2）用弦截法，取x02,x11.9；3）用抛物线法，取x01,x13,x22 [解]1）xk133f(xk)xk3xk12xk1，x02， xkxk22f(xk)3xk33xk3172()3122117105559x11.8888x1.87945，迭代停止。 ，2217561632393()239357

xk1xk2）

xkf(xk)(xkxk1)f(xk)f(xk1)3kx3xk1xkxk1(xkxk1)1(xx)kk13322(xk3xk1)(xk3x1)xxxx1k1kkk1k13x02，，

x11.9，x21.92(1.92)115.8215821.881094 228.418411.91.9223158215821.9(1.9)1841x3841158221582()1.91.923，迭代停止。 8418419558143.428412102624421.879411226204321158215821.98410.618413）xk1xkf(xk)4f(xk)f[xk,xk1,xk2]2，其中

f[xk,xk1]f[xk,xk1,xk2](xkxk1)，x01,x13,x22，故

f(x0)3，f(x1)17，f(x2)1，f[x0,x1]f(x1)f(x0)17(3)10，

x1x031f[x2,x1]f(x2)f(x1)11716，

x2x123f[x1,x2]f[x0,x1]16106，166(23)10，

x2x02112110761.9465745，下略。

f[x0,x1,x2]x32101041628、分别用二分法和牛顿法求xtanx0的最小正根。 [解]参见第6题，x*4.493424。 9、研究求a的牛顿公式xk11a(xk),2xkx00，证明对一切k1,2,，

xka且序列x1,x2,是递减的。

(xka)21a[证明]显然，xk0，又因为xk1a(xk)a0，所以

2xk2xkaxk1a0，所以序列是递xka,k1,2,，又xk1xk(xk)xk2xk2xk58

2减的。

10、对于f(x)0的牛顿公式xk1xkf(xk)/f(xk)，证明

Rk(xkxk1)/(xk1xk2)2收敛到f(x*)/(2f(x*))，这里x*为f(x)0的根。

11、试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度。

23x0x0x,x,f(x)1）；2）f(x)。 23x,x0x,x0[解]1）由(x)xf(x)xxx可知(x)1，故牛顿法不收敛。

1f(x)2x31f(x)x212）由(x)x可知故牛顿法一阶收敛。 (x)0，xx12f(x)223x312、应用牛顿法于方程x3a0，导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。

[解]令f(x)xa，则xk1333f(xk)xka2xka2a。 xkxkxk222f(xk)33xk3xk3xk13、应用牛顿法于方程f(x)1值。

[解]令g(x)xa，则xk1见例8。

2a0，导出求a的迭代公式，并求115的2x22(xk)xkaxka1a。余xkxkxk(xk)2xk2xk22xk14、应用牛顿法于方程f(x)xna0和f(x)1迭代公式，并求lim(naxk1)/(naxk)2。

kana的，分别导出求0nx[解]xk1nnf(xk)xka(n1)xkan1a， xkxkxkn1n1n1f(xk)nnxknxknxk59

nnlimaxk12ak(axk)nnlim(n1)axkn1nnxk(axk)nkn2klim(n1)n(n1)(axk)n2(naxk)nxkklimn(n1)xkn12n[nax(n1)n1kk(n1)x]1n2nalimk2[na(n1)xk]n。

2[nna(n1)na]xk1xkf(xk)xkf(xk)1nann1n1xkxkaxk(n1)axkxk， xkananan1xknlimaxk12nk(axk)nlimkn1(n1)axkxkan1nana(n1)axkxknalim2nk(axk)na(naxk)2n1(n1)nxklimlimnk2na2na(axk)kn(n1)(xka)limn(n1)a(n1)xkk2na(axk)n1nn。

(n1)a2an12na2xk(xk3a)是计算a的三阶方法。假定初值x0充分靠23xka15、证明迭代公式xk1近x*，求lim(axk1)/(axk)2。

k2xk(xk3a)a23xka[解]

limaxk1(axk)3klimk(axk)lim3lim22a(3xka)xk(xk3a)2(axk)3(3xka)k。

lim(axk)32(axk)3(3xka)k111k3x2a3(a)2a4ak补充题1、判断下列方程有几个实根，并指出其有根区间： 1）x36x50； 2）x2ex。

[解]1）设f(x)x36x5，则f(x)3x26，当x2时，f(x)0，f(x)为减函数；当x2时，f(x)0，f(x)为增函数。又因为f(2)4250，

f(2)4250，f(2)1，f(3)4，所以可知f(x)0有三个根，有

60

根区间分别为2,2,2,0,2,3。

2）将原方程改写为2xex，作函数f1(x)2x与f2(x)ex的图像，由图像可知两个函数有两个交点，其横坐标位于区间2,1与1,2，因而所给方程有两个根。

2、证明迭代格式xk1[证明]设(x)xk1,k01,2,产生的序列对于x01均收敛于2。 2xkx111，则(x)2。 2x2xx1x1111221，并且(x)21，由迭2x2x2x2当x1时，(x)代格式产生的序列收敛于方程xx1的唯一正根x*2。 2x3、利用适当的迭代格式证明lim2222。

kkx00[证明]考虑迭代格式，则x12，

xk12xk,k0,1,2,x222，……，xk222。 k令(x)2x，则(x)122x。当x0,2时，

11(x)，因而迭代格式产生的序422(x)(0),(2)2,20,2，并且

列收敛于方程x2x在0,2内的唯一根x*2。

1的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有a除法运算，并考虑公式的收敛性。

111[解]考虑方程f(x)a0，则为以上方程的根。f(x)2，用牛顿迭

axx4、设a为正整数，试建立一个求

代公式xk11af(xk)xkxkxkxk(2axk),k0,1,2,。迭代函数

1f(xk)2xk61

(x)x(2ax)中不含有除法运算。

由1axk11axk(2axk)(1axk)2,k0,1,2,递推得到

kk111axk1(1ax0)2,k0,1,2,，解得xk[1(1ax0)2],k0,1,2,，

ak12limxklim(1ax0)2011ax010x0，所以当 kak0x20a时，方法收敛。

a62

第七章 解线性方程组的直接方法（198-201，部分）

a2、（a）设A是对称阵且a110，经过高斯消去法一步后，A约化为110证明A2是对称矩阵。

0.28x10.3475x20.8466x30.4127（b）用高斯消去法解对称方程组：0.3475x11.8423x20.4759x31.7321。

0.8466x0.4759x1.2147x0.8621123Ta1，A2aij[证明]（a）A2中的元素满足aijai1a1ja11,(i,j2,3,,n)，又因为A是对称

ai1a1ja11a1iaj1a11aij阵，满足aijaji,i,j1,2,,n，所以aijajiaji，即A2是对称矩阵。

（b）略。

4、设A为n阶非奇异矩阵且有分解式ALU，其中L是单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。

0k(nk)LkkUkkUk(nk)，U，其[证明]将L与U分块，LL(nk)kL(nk)(nk)0(nk)kU(nk)(nk)中Lkk为k阶单位下三角阵，Ukk为k阶上三角阵，则A的k阶顺序主子式为

LkkUkk，显然非奇异。

a7、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为110(2)A(aij)n，A2(aij)n1；

Ta1，其中A2证明：（1）A的对角元素aii0(i1,2,,n)；（2）A2是对称正定矩阵；

(2)aii（3）aii(i2,3,,n)；（4）A的绝对值最大的元素必在对角线上；

2i,jn(2)maxaij； （5）maxaij2i,jn(k)（6）从（2）、（3）、（5）推出，如果aij1，则对所有k，aij1。

[证明]（1）依次取xi(0,0,,0,1,0,,0)T,i1,2,,n，则因为A是对称正定

i矩阵，所以有aiixTAx0。

63

(2)（2）A2中的元素满足aijaijai1a1ja11,(i,j2,3,,n)，又因为A是对称正定

ai1a1ja11a1iaj1a11矩阵，满足aijaji,i,j1,2,,n，所以a即A2是对称矩阵。 （3）因为a110，所以a（4）以下略。

(2)ii(2)ijaijajia(ji2)，

ai1a1ia12iaiiaiiaii。

a11a1117。 2521331012、用高斯-约当方法求A的逆阵：124101[解]

3111100021311000222231070100070100311242001012420010000110151015000131113111000121000222222230198132001000191722221111220100202121211010222222221111111105001500102222222281100103811001030191732000191732008711002075100010 5255251101004311010043

10001000001001000010010012352552513121952552587115255251731452552182308585853362140851742519530851785314185178501000001161713178175170015251312105258701525300185302519052511052514517851725

23164188585851733621413851742517故A1。

1953885178517314585178517210001210013、用追赶法解三对角方程组Axb，其中A01210001210001210，b0。

0065

[解]因为，

11125所以5,4,3,2,1。

6323611x142x5。 12314、用改进的平方根法解方程组23116x310723。 ,x2,x399915、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）若能分解，那么分解是否唯一。 [解]x1612311112，B221，C2515。 A241467331616[解]因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。

因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的

66

乘积。

因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。

16、试画出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组

034x11111x2。 22123x3[解]x1711,x2,x3。 6320.60.518、设A，计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 0.10.3[解]A1max{0.60.5,0.10.3}1.1，Amax{0.60.1,0.50.3}0.8，

0.60.10.60.50.370.33因为ATA， 0.50.30.10.30.330.340.370.33IAA(0.37)(0.34)0.33220.710.0169，

0.330.34T0.710.7120.1327121218，

2200从而A2max(ATA)71212180.839。

200AF0.620.520.120.320.710.8426。

（b）x1nx；

n19、求证：（a）x1nAFA2AF。

（a）xmaxxix1xinmaxxinx。

1ini11in（b）A2Fi,j1an2ij，

20、设PRnn且非奇异，又设x为Rn上一向量范数，定义xpPx。试证明

xp是Rn上向量的一种范数。 [证明]显然xpPx0，cxpPcxcPxcxp、

67

x1x2pP(x1x2)Px1Px2Px1Px2x112px2p，从而xp是Rn上向量的一种范数。 21、设AR范数。

[证明]因为A对称正定，所以xAnn为对称正定，定义xA(Ax,x)，试证明xA是Rn上向量的一种

12(Ax,x)xTAx0，

cxA(Acx,cx)c2xTAxcxTAxcxA，

2A12x1x2(A(x1x2),(x1x2))(x1x2)TA(x1x2)，从而xA是Rn上向量的

ATTTTx1Ax1x1Ax2x2Ax1x2Ax2TTTTx1Ax1x2Ax22x1Ax1x2Ax2(x1x2A)2一种范数。

22、设xR，x(x1,x2,,xn)，求证lim[证明]因为

nTppi1nxipmaxxix。

1inxmaxxip(maxxi)1in1inpppxii1nppn(maxxi)pnmaxxinx，

1in1inpp而limn1，所以由夹逼性可知，limpppxi1npix。

x2y2。

23、证明：当且仅当x和y线性相关，且xTy0时，才有xy2[证明]当x和y线性相关，且xTy0时，不妨设ycx,c0，则

xy222(xy)T(xy)xTxxTyyTxyTyx2y22xTy222222222x2cx22xTcxx2c2cx22cxTxx2c2x22x(1c)2x22，从而

(x2cx2)2(x2y2)2xy2x2y2。

2若xyx2y2，则有xTyx22y20，并且令1x2y0，则

2220(1x2y,1x2y)12x2212xTy2yx2212x2122y2y2222(1x22y2)2，即1x22y20，

即存在不全为零的1,2，从而x和y线性相关。

68

24、分别描述R2中（画图）Svx|xv1,xR2n(v1,2,)。

[解]x1xi：以原点为中心，以1,0,0,1,1,0,0,1为顶点的、边长为2i1的正方形。

xx2i11innxi2：以原点为圆心，半径为1的圆。

maxxi：以原点为中心，以1,1,1,1,1,1,1,1为顶点的、边长为2

的正方形。

25、令是Rn（或Cn）上的任意一种范数，而P是任一奇异实（或复）矩阵，

定义范数xPx，证明APAP1。

PAP1PxAxPAxPAP1。 [证明]APxPxx26、设As、At为Rnn上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c20，使对一切ARnn满足c1AsAtc2As。

[证明]由范数的等价性，存在常数C1和C2，使得C1xsxtC2xs，则有

C1AxsAxtC2Axs，并且

1C2xs11，从而 xtC1xsC1AxsAxtC2AxsC2C1CCAsAtAs，令c11,c22，即得C2C2xsxtC1xsC1C2C1求证。

27、设ARnn，求证ATA与AAT特征值相等，即求证(ATA)(AAT)。 [证明]设为ATA的特征值，则存在非零向量x，使得ATAxx，两边同乘A，则AATAxAx，即是AAT的对应特征向量为Ax的特征值。

设为AAT的特征值，则存在非零向量x，使得AATxx，两边同乘AT，则

ATAATxATx，即是ATA的对应特征向量为ATx的特征值。

69

28、设A为非奇异矩阵，求证

1A1miny0Ayy。

[证明]因为A1maxx0A1xxmaxx0A1xAAx1max1yAyyAx0y01minAyy，所以得证。

29、设A为非奇异矩阵，且A1A1，求证(AA)1存在且有估计

A1(AA)1A1cond(A)AA1cond(A)AA。

[证明]因为AAA(IA1A)及A1AA1A1，所以由定理18可知，

IA1A非奇异，从而AA非奇异，其逆存在。

设(AA)(xx)Ax，则x(AA)1Axx[(AA)1A1]Ax，又由

(AA)x(A)x可得x(IA1A)1A1(A)x，可得 A1(AA)1(IA1A)1A1(A)A1，从而

A1(AA)1(IA1A)1A1(A)A1(IA1A)1A1AA1A1AA11AA1A1AA1 1A1A即

A1(AA)1A1A1A1A1A1A1A1AAAcond(A)AAAAA1cond(A)AA。

2230、矩阵第一行乘以一数，成为A，证明当时，cond(A)有311最小值。

1121[证明]由A，从而可知，当0时，矩阵A非奇异，A111270

cond(A)A1(1A11max1,2max2,11，

2)max3,2132时，，max3,22，从而

23又当cond(A)(32)max3,2(2)27。 21当2时，max3,23，从而 31cond(A)(2)max3,2(12)3367。

综上所述，cond(A)7时最小，这时22，即。 3331、设A为对称正定矩阵，且其分解为ALDLTWTW，其中WD1/2LT，求证（a）cond(A)2[cond(W)2]2；（b）cond(A)2cond(W)2cond(WT)2。 [证明]由ALDLTWTW可知，(A)2(W)，(WT)(W)，

((WT)1)((W1)T)(W1)，从而(A1)2(W1)，故得A1A2W2，WT222W1，

22W2，(WT)1122W1，

222（a）cond(A)2Acond(A)2A(W12AAT2WW2122WW[W12W2]2[cond(W)2]2；

12122T222T（b）

2W2)((W)1。

W)cond(W)2cond(W)2(v2,)。

1009932、设A，计算A的条件数cond(A)v999810099991[解]由A可知，A99100，从而 999899991940519602， (A1)T(A1)9910099100196021980171

由I(A1)T(A1)194051960223920610，

196021980110099100991980119602， ATA9998999819602194051980119602由IAA23920610，

1960219405T可得A2A1219603384277608，从而

cond(A)2A1A12A21960338427760839206。

199，A199，从而cond(A)A1A19919939601。

33、证明：如果A是正交阵，则cond(A)21。

[证明]若A是正交阵，则A1AT，从而ATAI，(A1)TA1AA1I，故

A2A121，cond(A)2A12A21。

34、设A,BRnn且为Rnn上矩阵的算子范数，证明

cond(AB)cond(A)cond(B)。

[证明]

cond(AB)(AB)1ABB1A1ABB1A1AB(A1A)(B1B)cond(A)cond(B)。

补充题1、用Gauss消去法求解方程组：

11x131312x133x20； （2）111x24。 （1）21121x5211x33312334x115x12311418311x215（3）012x28； （4）。 x311116241x1333111x4221x10123x23。 （5）2130x23[解]（1）对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换，

72

1131113x11121300356，故x22。

x0121501023（2）对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换，

31312341114032113053233123x11141303，故x22。 333x1371111100344（3）对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换，

14x11123141238，故x22。 0128012x324113005153（4）对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换，

12334154150375151233222183111553219111160443431112x1177700x2444，故2。

x3123341512334153037515037515x40222222112911290011001136367359100700003633（5）对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换，

21012101210x111，故223302130213x21。 x11302011211300222、用列主元Gauss消去法求解下列方程组：

73

12334x115x12314118311x215（1）012x28； （2）。 x311116241x1333111x42326x14111x14（3）1070x27； （4）543x212。

515x62113x311235x15（5）347x26。

133x53123142411324113x11[解]（1）012801280128，故x22。

2411312314x35153002241518312331831115123111111631111231831115187100150337171731006181863751002662180（2）0031115183751026625085000272791435140099311153415116112176171871333276115516217311861053311153751x112662x250850，故2。 0x327279391x400002574

10707321070716161070732010105156515655x100522（3），故x21。 x13107071070755550505222216131310060101055543124543121281211140555211111113179x130555，故x26。 x13312543121791317905555528550055131361x143，故x21。

x23111543121（4）

541305015323553476347623550133513350（5）

34763476525203033333011100123355471353132375

103、用矩阵的直接三角分解法求解方程组：1010[解]由10020x15101x23。 243x317103x470201102010101101可知，求解

2431212110301012y15x111y151020x15y3x12201y23101x23可得，求解可得。 121y17x6x2y62133330101y724x44x42y444、用平方根法（Cholesky分解）求解方程组：

323x15422x13（1）220x23。 （2）2101x26。

3012x7212x233[解]由系数矩阵的对称正定性，可令ALLT，其中L为下三角阵。

33233366 333323236（1）220330123363236求解33365y13y511， y23可得y26y7331y333求解233x113xy11166x2y2可得x2。

23xy3313x3376

3y1242222112y133（2）21011330。求解13y26可得y2，

2101y2212101131y321x14211x1y11求解30x2y2可得x2。

2xy1331x325、用改进的平方根法（LDLT分解）求解方程组：

335x110422x13（1）359x216。 （2）2101x26。

212x25917x3033[解]由系数矩阵的对称正定性，可令ALDLT，其中L为下三角阵，D为对角阵。

511333513212 （1）35911591752121331yy110101y216可得y26， 求解115304y3y32133511x331求解12x2212x33110x11y13y23可得x21。

x2y23377

11111y13442222111y26可得1910。求解（2）210122212211y3101101221311x14y1311x44y1221191y，求解可得。 x10x9y222222y211x31311yx332226、用追赶法求解三对角方程组：

2x1x212x1x232x1x20x3xx2x2x3x3x2xx0112312323（1）， （2）， （3）。

x2x3x423x27x34x410x22x3x402x3x402x35x42x32x45[解]依追赶法对其增广矩阵进行初等变换，

2100（1）

10032303740251033201022000213302100320003290024105200x40x1，回代得到：3。

x11003239x123022014100130930274102520378

21120100（2）

200021000003100010022100121012500125x44x3321000，回代得到：。 1000x223302100100x112440010010335012500054021001100153310201022111201112012000120x42x1321001，回代得到：（3）21001。 53x211005103022x102237003170051555001200007143321007、设x(3,1,5,8)T，求x1，x，x2。 [解]x1315817。xmax{3,1,5,8}8。

x232(1)2528299311。

8、证明：1）x[证明]1）xx1nx；2）xnx2nx。

maxxix1xinmaxxinx。

1ini11in2）

xmaxxi(maxxi)1in1in21in1in2xi1n2i。

xn(maxxi)2nmaxxinx79

9、分别求下列矩阵的A1，A，A2。

4321（1）A， （2）A14。 16[解]（1）A1max{41,36}9，Amax{43,16}7，

41411718因为ATA，由 36361845IATA17182624410，解得

1845626224441312130，

2从而A2max(ATA)312130265。

（2）A1max{21,14}5，Amax{21,14}5，

212152因为ATA，由 1414217IATA52222810，解得

2172222248111210，

2从而A2max(ATA)11210101。

1111111110、求矩阵Q的Q1，Q，Q2。

11111111[解] Q14，Q

4，因为QTQ4I，所以Q22。

80

第八章 解线性方程组的迭代法（217-219）

寻求能够保持大型稀疏矩阵的稀疏性的有效数值解法是我们线性代数方程组数值解法的一个非常重要的课题。使用迭代法的好处在于它只需要存储析数矩阵的非零元素和方程的右端项，因而对于大型稀疏矩阵，具有存储量小、程序结构简单的优点。由于迭代格式的收敛性和收敛速度与方程组的系数矩阵密切相关，因此迭代格式的选择和迭代的收敛性将成为讨论的中心问题。

1[定义]迭代x(k1)Bx(k)f的平均收敛速度定义为Rk(B)lnBk。

k[定义]迭代x(k1)Bx(k)f的渐近收敛速度定义为

R(B)limRk(B)ln(B)。

k值得注意的是，渐近收敛速度与所使用的范数无关。因此，有时也把渐近收敛速度简称为收敛速度。

5x12x2x3121、设方程组x14x22x320，

2x3x10x3231（a）考察用雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性；

（b）用雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法解此方程组，要求当

x(k1)x(k)104时迭代终止。

215[解]（a）由系数矩阵142为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高

2310斯-赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。[精确解为x14,x23,x32] （b）使用雅可比迭代法：

x(k1)D1(LU)x(k)D1b211055051221(k)111102x20042304341113101010511255，

1(k)x523010使用高斯-赛德尔迭代法：

81

x(k1)(DL)1Ux(k)(DL)1b5001402310021500(k)002x1400002310110005021511110002x(k)44200002031311404010404021120555111(k)220x10205112102081011122030120203110。

002、设A，证明：即使A1A1，级数IAA2Ak也收20敛。

0000[证明]显然A1A21，又因为A20，所以202010A0(k2)，级数的值就为IA。 21k1113、证明对于任意选择的A，序列I,A,A2,A3,A4,收敛于零。

23!4![证明]设为A的任意一个特征值，x是对应的特征向量，则

1nnAxx0，从而得证。 n!n!a11x1a12x2b14、设方程组a21x1a22x2b2(a11,a220)；迭代公式为

1(k)(k1)x(bax)11122a11(k1,2,)。 1x(k)(b2a21x1(k1))2a22求证：由上述迭代公式产生的迭代序列x(k)收敛的充要条件为r82

a12a211。 a11a22x1(k)a11b10a1200(k)[证明]令D，，，，，LUbx(k)00a210a22b2x2则由迭代公式可得，x(k)D1[b(LU)x(k1)]D1(LU)x(k1)D1b，即为雅可比迭代公式，从而收敛的充要条件为[D1(LU)]1，而

a12[D1(LU)]a1110a012aa1a11。由 22210a21a022a12ID1(LU)a112a12a21aa12a21aa0可得[D1(LU)]211122a，故得11a22a22证。

x10.4x20.4x31x12x22x35、设方程组（a）0.4x11x20.8x32；（b）x1x2x31；

0.4x10.8x2x332x12x2x31试考察解此方程组的雅克比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。

[解]（a）由系数矩阵A10.40.40.410.8可知， 0.40.81100.40.40B0.400.80.40.40.400.80D1(LU)1，由

10.40.800.40.800.40.4IB00.40.8(0.8)(20.80.32)0.40.8可知，

(0.8)(0.40.48)(0.40.48)0(B0)0.40.481，从而雅可比迭代法不收敛。

83

0000.411G(DL)U0.410000.40.81000000.40.4010.410000.800.40.81000010.40.800.40.40.160.0.160.8，由

0.40.4IG00.160.(20.960.1152)可知，

00.160.8(0.480.1152)(0.480.1152)0(G)0.480.11521，从而高斯-塞德尔迭代法收敛。

122（b）由系数矩阵A111可知，

2212022102B0D1(LU)1101101，由

122022022IB01130可知，(B0)0，从而雅可比迭代法收敛。

2210001G(DL)U110022101000220110001022100001220100222342，由

22IG023(28)(22i)(22i)0可知，

042(G)221，从而高斯-塞德尔迭代法不收敛。

6、求证limAkA的充要条件是对任何向量x都有limAkxAx。

kk[证明]若对任何向量x，都有limAkxAx，则依次取x为单位向量组，即得

k84

limAkA，反之显然成立。

k7、设Axb，其中A对称正定，问解此方程组的雅克比迭代法是否一定收敛试考察习题5（a）方程组。

[解]不一定，显然5（a）中的系数矩阵是对称正定矩阵，但雅可比迭代法不收敛。

111xxx143442x1x1x12434428、设方程组，

1x1xx1341422111x1x2x4424（a）求解此方程组的雅克比迭代法的迭代矩阵B0的谱半径；

（b）求解此方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；

（c）考察解此方程组的雅克比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。

10[解]由系数矩阵A14140141141141041414可知， 0114141004100411004411004414141414，由 00000010011（a）B0D(LU)111144114485

00IB014141414141414142(1)(1)0可知，(B)1。

0222000000010000100014001400000010110111G(DL)U441144（b），由

100010111441104400000010141040000011441104400000011， 44114411881188000IG113()0可知(G)。

1144008811008814141414（c）因为A是严格对角占优矩阵，两种迭代法都收敛。

9、用SOR方法解方程组（分别取松弛因子1.03,1,1.1）

4x1x21x14x2x34； x4x33211精确解x*,1,。要求当x*x(k)22T5106时迭代终止，并且对每一个86

值确定迭代次数。（略）。

5x12x2x31210、用SOR方法解方程组（取0.9）x14x22x320；要求当

2x3x10x3231x(k1)x(k)104时迭代终止。

521[解]由系数矩阵A142及0.9，L(DL)1((1)DU)，

2310f(DL)1b可知，

000.51.80.95L0.94000.41.81.82.71000199110051025500.51.80.999119981000.41.820044001000200000117479587953127531200004001040000100000200000111080015251200125401491f0.90.940200.9020，从而

200410001.82.710331531271771742000040010100000由x(k1)Lx(k)f可得。[精确解为x`4,x23,x32] 11、设有方程组Axb，其中A为对称正定阵。迭代公式

x(k1)x(k)(bAx(k))(k0,1,2,)，试证明当02时上述迭代法收敛

（其中0(A)）。

[解]因为迭代矩阵为BIA，而(B)1(A)，由0(A)可知，当02时，1(B)1，即(B)1，从而迭代法收敛。

87

12、用高斯-赛德尔方程解Axb，用xi(k1)记x(k1)的第i个分量，且

ri(k1)biaijxj1i1(k1)jaijx(jk)。

j1n（a）证明x(k1)ix(k)iri(k1)； ai**（b）如果(k)x(k)其中x是方程组的精确解，求证：x，

n(k1)i(k)iri(k1)，aii其中ri(k1)aijj1i1(k1)jaij(jk)。

ji（c）设A是对称的，二次型Q((k))(A(k),(k))，证明

Q((k1))Q((k))j1n(rj(k1))2ajj。

（d）由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯-塞德尔方法对任意初始向量x(0)是收敛的，则A是正定阵。 [解]（a）由x(k1)(DL)1Ux(k)(DL)1b可得

(DL)x(k1)Ux(k)b，从而

Dx(k1)Dx(k)[bLx(k1)Dx(k)Ux(k)]Dx(k)r(k1)，其中

r(k1)bLx(k1)Dx(k)Ux(k)，即得求证。

（b）由x(k1)(DL)1Ux(k)(DL)1b可得

(DL)x(k1)Ux(k)bUx(k)(DLU)x*，

从而(DL)[x(k1)x*]U[x(k)x*]，即(DL)(k1)U(k)，从而

D(k1)D(k)[L(k1)D(k)U(k)]D(k)r(k1)，即得求证，

其中r(k1)L(k1)D(k)U(k)。 （c）。

（d）若高斯-塞德尔方法对任意初始向量x(0)都是收敛的，那么由（c）知A是对称的，又由A是具有正对角元素的非奇异矩阵，所以A是正定阵。

88

Bz1Az2b2，13、设A与B为n阶矩阵，A非奇异，考虑解方程组Az1Bz2b1，

其中z1,z2,d1,d2Rn。

(m)(m1)b2Bz1(m)（a）找出下述迭代方法收敛的充要条件Az1(m1)b1Bz2，Az2（m0）；

(m)(m1)b2Bz1(m1)（b）找出下述迭代方法收敛的充要条件Az1(m1)b1Bz2，Az2（m0）；

并比较两个方法的收敛速度。 [解]（a）设z(k)1z1(k)b`A0(m1)0B(m)，则有(k)，bzbb0AB0z，从而z22111A00BA0A00BA0(m1)(m)(m)bzz0AB0z0Ab110AB00A，

110AB(m)A0zA1B00A1b0A1B[(A1B)]21，即(A1B)1。 因此收敛的充要条件为A1B0（b）设z(k)z1(k)b`A0(m1)00(m1)0B(m)b(k)，，则有zbb0AB0z00z，z22A0(m1)0B(m)从而zbz BA00A00B(m)A0(m1)zBA00zBAbA100B(m)A1A1BA1A100zA1BA10A1B(m)A10bz11111A0ABABABA0A1B[(A1B)2]1。 0A1BA1B110b，因此收敛的充要条件为1A迭代法（b）的收敛速度是迭代法（a）的收敛速度的2倍。

1aa对于1a1是正定的，而雅克比迭代只对a1a14、证明矩阵A2aa111a是收敛的。 22[证明]由A11，A21a1aa1a2，Aa1a(2a1)(1a)2可知，当

a1aa11a201，即a1时，矩阵A是正定的。 2a102a111又由B0D(LU)1110aa0aaa0aa0a， aa0aa0aaIB0aa(2a)(a)20可知，(B0)2a，从而当2a1，即

aa11a时，雅可比迭代是收敛的。 2223510204，试说明A为可约矩阵。 15、设A3121030710[解]取P00000010，可知 10000110PTAP00530000050010100300101231020412103070220012310001212040130700005310000010000010100001，从而A为可约矩阵。

1311243790

16、给定迭代过程x(k1)Cx(k)g，其中CRnn（k0,1,2,），试证明：如果C的特征值i(C)0(i1,2,,n)，则此迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。

[证明]因为i(C)0，所以最多迭代kn次后Ck0，从而迭代停止。 17、画出SOR迭代法的框图。（略）

18、设A为不可约弱对角优势阵且01，求证，解Axb的SOR方法收敛。 [证明]设A(aij)nn，L(lij)nm则由L(DL)1((1)DU)可知。 19、设Axb，其中A为非奇异阵。 （a）求证ATA为对称正定阵； （b）求证Cond(ATA)2(cond(A)2)2。

[证明]（a）由(ATA)TATA可知ATA为对称阵，对于任意的非零向量x，由

xTATAx(Ax)T(Ax)0可知ATA为正定阵，从而ATA为对称正定阵。

（b）见上一章第31题。

20、设A为严格对角占优阵，证明第二章（）式。 [证明]见定理6。

x12x22x31补充题1、用Jacobi迭代法求解方程组x1x2x33，初始向量为

2x2xx5231x(0)00。 0(k)(k)x1(k1)12x22x3(k1)(k)3x1(k)x3,k0,1,2,3,，迭代求解得到：[解] Jacobi迭代格式为x2 (k)(k)(k)x52x2x312x(1)1115(2)(3)(4)3，x3，x1，x1。 511391

2、设有迭代格式x(k1)Bx(k)100.52g,k0,1,2,，其中B0.500.5，

10.50200.5g1，试证明该迭代格式收敛，并取x(0)0计算求解。

00.50.5[证明]设为B的特征值，则由IB0.512120.530可得

0.5(B)0，从而该迭代格式收敛。取x(0)122001(3)(4)，x1，x1。 20012200.5(1)0计算得x1，00.5x(2)x12x213、给定方程组，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛

3x1x2212[解]由系数矩阵A31可知，

1（1）雅可比迭代矩阵为B0D1(LU)1102023030，由 IB02260可知，(B0)61，因而雅可比迭代法发散。 3（2）高斯-塞德尔迭代矩阵为

11002100202，由 G(DL)1U12310010003392

2IG222因而高斯-塞德尔迭代法收敛。 (G)，20可知，

3303211x114、给定线性方程组111x21，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代

112x13法是否收敛

20B0D1(LU)112111[解]（1）雅可比迭代矩阵为00112210110111111022211101101210，由

IB0112121212551，因而雅可比迭代1(2)0可知，(B0)24法发散。

（2）高斯-塞德尔迭代矩阵为

1001011200011211G(DL)U110001100012112000000111242，由

11022110220134493

1212121257511，因而高(2)0可知，(G)842IG001344斯-塞德尔迭代法收敛。

11215、给定线性方程组Axb，其中A121122尔迭代法是否收敛

[解]（1）雅可比迭代矩阵为

121，用雅可比迭代法和高斯-塞德2111110012222111111B0D(LU)100，由

222211111002222IB0121211221211因而雅可比迭代法发散。 (1)()20可知(B0)1，

22（2）高斯-塞德尔迭代矩阵为

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101101110010022221111G(DL)1U1000100022220011001110012222，由

1102211044110421122311331，因而高斯-IG0(2)0可知，(G)44441611042塞德尔迭代法收敛。[另解：显然A为对称矩阵，并且a的各阶顺序主子式大于

零，从而A为对称正定矩阵，可知高斯-塞德尔迭代法收敛。]

13aa2，试求能使雅可比迭代法6、设线性方程组Axb的系数矩阵为A132a收敛的a的取值范围。

[解]当a0时，系数矩阵A为奇异矩阵，不能使用雅可比迭代法。当a0时，

1301aaa013121雅可比迭代矩阵为B0D(LU)a1020，

aaa320230aa由IB01a1a3a2a3a2a(24416可知，因而当)0(B)1，即02aaaa4时，雅可比迭代法收敛。

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7、设矩阵A非奇异，试证明使用高斯-塞德尔方法求解ATAxb时是收敛的。 [证明]由(ATA)TATA可知ATA为对称阵，对于任意的非零向量x，由

xTATAx(Ax)T(Ax)0可知ATA为正定阵，从而ATA为对称正定阵。使用高斯

-塞德尔方法求解ATAxb时是收敛的。

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第九章 矩阵的特征值与矩阵向量计算（252-253）

1、用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量：

3273；4341A（a）A1（b）221334363，当特征值有3位小数稳定31时迭代终止。

vu000[解]计算公式为vkAuk1,k1,2,，

vkuk,max(v)k（a）精确特征值为1613,2613,32。 （b）特征多项式为310271510。

T11T12T1nTT222n，其中Tii(i1,2,,n)为方阵，T2、方阵T分块形式为TTnn称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则称T为准三角形形式。用

(T)记矩阵T的特征值集合，证明：(T)(Tii)。

i1n[证明]显然。

621的最接近于6的特征值及对应的特征向量。 2313、利用反幂法求矩阵111[解]特征多项式为31022190。

400与特征值4对应的特征向量。 0314、求矩阵013[解]特征向量为(0,1,1)T。 5、以下略。

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