2021年河北省石家庄四十二中中考数学模拟试卷(3月份)(含解析)

B．1条

C．2条

D．无数条

2．比1小2的数是（ ） A．2

B．﹣2

C．﹣1

D．|﹣2|

的点落在（ ）

3．在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示﹣

A．段①

B．段②

C．段③ D．段④

4．如图，小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图①变到图②，不改变的是（ ）

A．主视图 C．主视图和俯视图 5．

＝（ ）

B．主视图和左视图 D．左视图和俯视图

A． B． C．9m D．81

6． 用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）

A． B．

C． D．

7．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了A．2×10﹣5

米，用科学记数法表示B．2×10﹣6

为（ ）

D．5×10﹣6

C．5×10﹣5

8．下列等式变形正确的是（ ） A．若2x＝1，则x＝2

B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1 C．若﹣2x＝3，则D．若

，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1

9．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（ ）

A．BE＝DF B．AE∥CF C．AF＝AE

D．四边形AECF为平行四边形

10．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）

A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），

11．如图，是反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两

个函数图象相交于点A，B，点P在x轴上．则点P从左到右的运动过程中，△APB的面积是（ ）

A．10 C．5

B．4

D．从小变大再变小

12．如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（ ）

A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里

13．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ） A．C．

＝＝

﹣40

B．D．

＝

14．一组数据3，5，5，7，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（ ） A．平均数

B．中位数

C．方差

、或

D．众数

，则∠BAC所对的弧长为（ ）

D．

或

15．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为A．

B．

C．

16．对于题目：在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B，过点A且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线相交于点C，若抛物线y＝ax2﹣2ax

﹣3a（a≠0）与线段BC有唯一公共点，求a的取值范围．甲的计算结果是a≥；乙的计算结果是a＜﹣，则（ ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确

C．甲与乙的结果合在一起正确 D．甲与乙的结果合在一起也不正确

二、填空题（本大题有3个小题，共12分。17-18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）

17．分解因式：2x2﹣8＝ ．

18．如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 ．

19．三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图：

（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm； （2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm； （3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm．

三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．利用平方差公式可以进行简便计算：

例1：99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999；

例2：39×410＝39×41×10＝（40﹣1）（40+1）×10＝（402﹣12）×10＝（1600﹣1）×10＝1599×10＝15990．

请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算： （1）

×

； +2021

）（

﹣

）．

（2）（2021

21．对于四个整式，A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n． 无论x取何值，B+C+D的值都为0． （1）求m、n的值； （2）计算A﹣B+C﹣D；

（3）若﹣的值是正数，直接写出x的取值范围．

22．在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1、2、2、3． （1）若小明随机抽出一个小球，求抽到标有数字2的小球的概率；

（2）小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x．小红再从剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，点Q坐标记作（x，y）．规定：若点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上则小明胜；若点Q在反比例函数y＝图象上，则小红胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？

23．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．

（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是 ，AE与BC的位置关系是 ．（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数； （3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．

24．某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：

售价x

8

10

销售数量P

（1）求P与x之间的函数关系式；

70 58

（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价； （3）设销售总额为W，求W的最大值．

25．如图，已知点B（1，3），C（1，0），直线y＝x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．

（1）填空：A点坐标为（ ， ），D点坐标为（ ， ）； （2）若抛物线y＝x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由． （提示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣

，顶点坐标是（﹣

，

）

26．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，∠BAD＝60°，BC＝4cm，对角线AC平分∠BAD．点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为1cm/s；点Q是AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为1cm/s．设点P，Q同时出发，移动时间为ts（0≤t≤6）．连接PQ，以PQ为直径作⊙O．

（1）求DC的长．

（2）当t为何值时，⊙O与AC相切？

（3）当t为何值时，线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径？

（4）当t为 时，圆心O到直线DC的距离最短，最短距离为 ．（直接写出结果）

参

一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．平面内过直线l外一点O作直线l的垂线能作出（ ） A．0条

B．1条

C．2条

D．无数条

解：经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线． 故选：B．

2．比1小2的数是（ ） A．2

B．﹣2

C．﹣1

D．|﹣2|

解：1﹣2＝1+（﹣2）＝﹣1， 所以比1小2的数是﹣1． 故选：C．

3．在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示﹣

A．段①

B．段②

C．段③

D．段④

的点落在（ ）

【分析】分别利用已知数据的平方得出解：∵32＝9，3.12＝9.61，3.22＝10.24， ∴﹣

的点落在第③段内．

最接近的数据即可得出答案．

故选：C．

4．如图，小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图①变到图②，不改变的是（ ）

A．主视图 C．主视图和俯视图

B．主视图和左视图 D．左视图和俯视图

【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．

解：从正面看第一层都是三个小正方形，图①中第二层右边一个小正方形，图②中第二层中间一个小正方形，中①②的主视图不相同；

从左面看第一层都是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，①②的左视图相同； 从上面看第一列都是一个小正方形，第二列都是一个小正方形，第三列都是三个小正方形，故①②的俯视图相同． 故选：D． 5．

＝（ ）

A． B． C．9m D．81

【分析】根据有理数的乘方的定义计算即可． 解：原式＝故选：B．

6． 用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）

．

A． B．

C． D．

【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．

解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；

C、CD是Rt△ABC斜边AB上的高线， 根据相交两圆的公共弦的性质可知，不符合题意；D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意． 故选：D．

7．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了A．2×10﹣5

米，用科学记数法表示B．2×10﹣6

为（ ）

D．5×10﹣6

﹣

C．5×10﹣5

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解：故选：D．

8．下列等式变形正确的是（ ） A．若2x＝1，则x＝2

B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1 C．若﹣2x＝3，则D．若

＝0.000005＝5×10﹣6．

，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1

【分析】根据等式的性质即可解决．

解：A、若2x＝1，则x＝，原变形错误，故这个选项不符合题意；

B、若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，原变形错误，故这个选项不符合题意； C、若﹣2x＝3，则x＝﹣，原变形正确，故这个选项符合题意； D、若合题意； 故选：C．

9．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（ ）

﹣

＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，原变形错误，故这个选项不符

A．BE＝DF B．AE∥CF

C．AF＝AE

D．四边形AECF为平行四边形

【分析】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使AE＝CF的条件．

解：A、在▱ABCD中， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝CE，

∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF，

故A可以使AE＝CF，不符合题意； B、∵AE∥CF，AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF，

故B可以使AE＝CF，不符合题意； C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF， 故C符合题意；

D、∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF，

故D可以使AE＝CF，不符合题意； 故选：C．

10．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）

A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），

【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2）， k的值为：故选：B．

＝．

11．如图，是反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B，点P在x轴上．则点P从左到右的运动过程中，△APB的面积是（ ）

A．10 C．5

B．4

D．从小变大再变小

【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义即可得到答案．

解：∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B．设AB交Y轴于C． ∴AB⊥y轴，

∵点A、B在反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象上， ∴S△PAB＝S△AOB＝S△COB+S△AOC＝（3+7）＝5， 故选：C．

12．如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（ ）

A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里

【分析】连接AC，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可． 解：连接AC，

由题意得，BA＝BC＝20×2＝40（海里），∠CBA＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝40（海里）， 故选：B．

13．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ） A．C．

＝＝

﹣40

B．D．

＝

【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件， 依题意得：故选：D．

14．一组数据3，5，5，7，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（ ） A．平均数

B．中位数

C．方差

D．众数

＝

．

【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．

解：原数据的3，5，5，7的平均数为中位数为5， 众数为5，

方差为×[（3﹣5）2+（5﹣5）2×2+（7﹣5）2]＝2； 新数据3，5，5，5，7的平均数为中位数为5， 众数为5，

方差为×[（3﹣5）2+（5﹣5）2×3+（7﹣5）2]＝1.6； 所以添加一个数据5，方差发生变化， 故选：C．

15．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为A．

B．

C．

、或

，则∠BAC所对的弧长为（ ）

D．

或

＝5， ＝5，

【分析】先根据题意画出图形，分别作AC、AB的垂线，连接OA，再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．

解：①如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA， ∵AB＝

，AC＝

，

∴AD＝，AE＝，

，

根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD＝∴∠AOD＝45°， ∵sin∠AOE＝

，

∴∠AOE＝60°，

∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝45°，∠OAC＝90°﹣∠AOE＝30°， ∴∠BAC＝∠OAD+∠OAC＝45°+30°＝75°， ∴

的长＝

＝

．

②如图2，当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD＝45°，∠AOE＝60°， ∴∠AOE＝60°，

∴∠OAC＝90°﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°，∠OAB＝90°﹣∠AOD＝90°﹣45°＝45°．

∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAC＝45°﹣30°＝15°， ∴

的长＝

＝

．

故选：D．

16．对于题目：在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B，过点A且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线相交于点C，若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与线段BC有唯一公共点，求a的取值范围．甲的计算结果是a≥；乙的计算结果是a＜﹣，则（ ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确

C．甲与乙的结果合在一起正确

D．甲与乙的结果合在一起也不正确

【分析】分a＞0、a＜0根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点，确定a的值，即可求解．

解：y＝ax2﹣2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣3a，

故抛物线与x轴的交点坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为：（0，﹣3a），

函数的对称轴为：x＝1，顶点坐标为：（1，﹣4a），

直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B，则点A、B的坐标分别为：（5，0）、（0，4），则点C（5，4）． （1）当a＞0时，

当抛物线过点C时，抛物线与线段BC有一个公共点，

将点C的坐标代入抛物线表达式得：4＝25a﹣10a﹣3，解得：a＝， 故抛物线与线段BC有唯一公共点时，a≥； （2）当a＜0时，

当顶点过BC时，此时抛物线与BC有唯一公共点， 即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1；

当抛物线过点B时，抛物线与BC有两个交点，

将点B的坐标代入抛物线表达式得：﹣3a＝4，解得：a＝﹣， 故当抛物线与线段BC有一个公共点时，a＜﹣， 故a＜﹣或a＝﹣1；

综上，a≥或a＜﹣或a＝﹣1； 故选：D．

二、填空题（本大题有3个小题，共12分。17-18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）

17．分解因式：2x2﹣8＝ 2（x﹣2）（x+2） ．

【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案． 解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）

＝2（x﹣2）（x+2）． 故答案为：2（x﹣2）（x+2）．

18．如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 84° ．

【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3，∠4，再根据三角形内角和为180°，求出∠2，即可求出∠1解决问题． 解：如图，

由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°， 则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°， 所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84° 故答案为84°．

19．三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图：

（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 8（2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 8（3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为

cm； cm； cm．

【分析】（1）利用90°的圆周角所对的弦是直径，易知AC为圆的直径，应用勾股定理

结论可得；

（2）从图中可以看出小正方形的对角线为圆的半径，直径易得；

（3）依据图形为轴对称图形，可知圆心在PG上，找出圆心，设OG＝xcm，依据勾股定理列出方程可求半径，直径易得． 解：（1）如下图，

∵小正方形的顶点A，B，C在圆上，∠ABC＝90°， ∴AC为圆的直径． ∵AC＝故答案为：8

；

（cm）．

（2）如下图，小正方形的顶点O为圆心，小正方形的对角线为圆的半径， ∴圆的半径为4∴圆的直径为8故答案为：8

． cm． cm．

（3）如下图，设圆心为O，GH与AB交于点P． 连接OA，OB，ON．

由题意，PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON．

∴O在PG上，AP＝PB＝AB＝2cm．

设OG＝xcm，则OP＝PG﹣OG＝4×2﹣x＝（8﹣x）cm． 在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2． 在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2． ∴OA2＝AP2+OP2＝ON2＝NG2+OG2． ∴22+（8﹣x）2＝42+x2． 解得：x＝∴ON＝∴直径为故答案为

．

＝（cm）． ．

（cm）．

三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．利用平方差公式可以进行简便计算：

例1：99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999；

例2：39×410＝39×41×10＝（40﹣1）（40+1）×10＝（402﹣12）×10＝（1600﹣1）×10＝1599×10＝15990．

请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算： （1）

×

； +2021

）（

﹣

）．

（2）（2021

【分析】（1）原式变形为×（20﹣1）×（20+1），再利用平方差公式计算即可； （2）原式变形为2021×（

+

）×（

﹣

），再利用平方差公式计算即可．

解：（1）原式＝×（20﹣1）×（20+1） ＝×（202﹣12） ＝×（400﹣1） ＝

（2）原式＝2021×（

+

）×（

﹣

）

；

＝2021×（3﹣2） ＝2021．

21．对于四个整式，A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n． 无论x取何值，B+C+D的值都为0． （1）求m、n的值； （2）计算A﹣B+C﹣D；

（3）若﹣的值是正数，直接写出x的取值范围．

【分析】（1）把B，C，D代入B+C+D＝0中，求出m与n的值即可；

（2）把m与n的值代入确定出B与D，再将A，B，C，D代入A﹣B+C﹣D中计算即可得到结果；

（3）把A，B，C，D代入﹣，使其值大于0求出x的范围即可． 解：（1）∵B：mx+5；C：﹣2x；D：n，

∴B+C+D＝mx+5﹣2x+n＝（m﹣2）x+（n+5）＝0， ∴m﹣2＝0，n+5＝0， 解得：m＝2，n＝﹣5；

（2）∵A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n，且m＝2，n＝﹣5， ∴A﹣B+C﹣D＝2x2﹣mx﹣5﹣2x﹣n＝2x2﹣2x﹣5﹣2x+5＝2x2﹣4x； （3）∵A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n，且m＝2，n＝﹣5， ∴﹣＝∵﹣＞0， ∴

＞0，且x≠0，即﹣3x+5＞0，

﹣

＝

﹣

＝

，

解得：x＜且x≠0．

22．在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1、2、2、3． （1）若小明随机抽出一个小球，求抽到标有数字2的小球的概率；

（2）小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x．小红再从剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，点Q坐标记作（x，y）．规定：若点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上则小明胜；若点Q在反比例函数y＝图象上，则小红胜．请

你通过计算，判断这个游戏是否公平？ 【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，求出小明胜的概率＝小红胜的概率，即可得出结论．

解：（1）若小明随机抽出一个小球，则抽到标有数字2的小球的概率为＝； （2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上的结果有4个，点Q（x，y）在反比例函数y＝图象上的结果有4个， ∴小明胜的概率为

＝，小红胜的概率为

＝，

∴小明胜的概率＝小红胜的概率， ∴这个游戏公平．

23．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．

AD与BC的位置关系是 垂直 ，AE与BC的位置关系是 平行 ． （1）当DE⊥AC时，（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数； （3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．

【分析】（1）根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明AD与BC垂直，再根据平行线的判定可证明AE与BC平行；

（2）利用等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，求出∠ADB＝∠AEC＝135°，所以∠BEC＝∠AEC﹣45°＝90°；

（3）根据题意画出图形，由题意知，当△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为

斜边的直角三角形，所以旋转角为90°或270°． 解：（1）如图，设AC与DE交于点H，

在等腰直角△ABC和△ADE中，

∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°， ∵DE⊥AC，

∴∠DAH＝∠EAH＝∠DAE＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°， ∴∠BAD＝∠DAH， ∴AD⊥BC，

∵∠EAH＝∠C＝45°， ∴AE∥BC，

故答案为：垂直，平行；

（2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，

在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°；

（3）如图，

因为△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形， 所以旋转角为90°或270°．

24．某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：

售价x 销售数量P

（1）求P与x之间的函数关系式；

（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价； （3）设销售总额为W，求W的最大值．

【分析】（1）设P＝a+，将（8，70）、（10，58）代入求解可得； （2）求出P＝50时x的值即可得； （3）根据月销售额W＝x（10+解：（1）由题意得：P＝a+，

将表格数据（8，70）、（10，58）代入上式得：P＝10+答：P关于x的函数关系式为P＝10+

（2）由题意得：P＝10+解之得：x＝12，

经检验，x＝12是原方程的根，

∴该商品销售数量为50件时，每件商品的售价为12元．

＝50，

；

，

）＝10x+480且x≤20可得．

8 70

10 58

（3）W＝x（10+）＝10x+480，

当x＝20，W最大，最大值为680元．

25．如图，已知点B（1，3），C（1，0），直线y＝x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．

（1）填空：A点坐标为（ ﹣2 ， 0 ），D点坐标为（ ﹣2 ， 3 ）； （2）若抛物线y＝x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由． （提示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣

，顶点坐标是（﹣

，

）

【分析】（1）A、D两坐标可由图象看出．（2）抛物线y＝x2+bx+c经过C（1，0），D（﹣2，3），两点代入解析式，解得b、c．（3）当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M，E重合时，它们的纵坐标相等，故知道EM不会与x轴平行，设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，写出平移后的解析式，根据抛物线的对称性， 可知点M的坐标为（2，+h）时，直线EM∥x轴，将点M代入直线y＝x+2，解得h．解：（1）A（﹣2，0），D（﹣2，3）

（2）∵抛物线y＝x2+bx+c经过C（1，0），D（﹣2，3）代入，解得：b＝﹣，c＝ ∴所求抛物线解析式为：y＝x2﹣x+；

（3）答：存在．

∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M，E重合时，它们的纵坐

标相等．

∴EM不会与x轴平行，

当点M在抛物线对称轴的右侧时，

设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴， 则平移后的抛物线的解析式为 ∵y＝（x﹣1）2+h，

∴抛物线与y轴交点E（0，+h）， ∵抛物线的对称轴为：x＝1，

根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，+h）时，直线EM∥x轴， 将（2，+h）代入y＝x+2得+h＝2+2 解得：h＝

．

个单位能使EM∥x轴．

∴抛物线向上平移

26．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，∠BAD＝60°，BC＝4cm，对角线AC平分∠BAD．点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为1cm/s；点Q是AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为1cm/s．设点P，Q同时出发，移动时间为ts（0≤t≤6）．连接PQ，以PQ为直径作⊙O．

（1）求DC的长．

（2）当t为何值时，⊙O与AC相切？

（3）当t为何值时，线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径？ （4）当t为 6s 时，圆心O到直线DC的距离最短，最短距离为 出结果）

【分析】（1）过点D作DM⊥AB于点M，根据矩形形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；

（2）当⊙O与AC相切时，QP⊥AC，求出AB、AC，用含t的式子表示出AQ，即可求解；

（3）分两种情况画出图形，根据直角三角形的性质用含t的式子表示出AP，即可求解；（4）过圆心O作OH⊥DC于点H，则OH的长为O到DC的距离，延长HO交AB于点K，过点Q作QR⊥AB于点R，根据矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，得出用t表示OH的式子，根据t的取值范围以及一次函数的性质即可求解． 解：（1）过点D作DM⊥AB于点M，如图1，

cm ．（直接写

∵AB∥DC，∠B＝90°， ∴∠DMB＝∠DCB＝∠B＝90°， ∴四边形DGBM是矩形， ∴DM＝BC＝4cm，

∵∠BAD＝60°，∠DMA＝90°， ∴AD＝2AM，

∴（2AM）2＝42+AM2，解得AM＝∵AC平分∠BAD，AB∥DC， ∴∠CAD＝∠CAB＝∠ACD，

（负值舍去），

∴DC＝AD＝2AM＝cm；

（2）当⊙O与AC相切时，QP⊥AC，如图2，

由题意得：AQ＝BP＝tcm，

在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BAD＝30°，BC＝4cm， ∴AC＝8cm，AB＝4∴AP＝（4∵AQ＝∴t＝

cm，

﹣t）cm， AP，

（4﹣t），

，

）s时，⊙O与AC相切；

解得：t＝24﹣12∴t＝（24﹣12

（3）第一种情况：如图3，当∠OQM＝60°时满足条件，

在△AQP中，∠AQP＝120°， 又∵∠QAP＝30°， ∴AP＝即4

t，

t，解得t＝6﹣2

；

﹣t＝

第一种情况：如图4，当∠OQM＝60°时满足条件，

在△AQP中，∠QAP＝30°， 又∵∠APQ＝90°， ∴AP＝即4

t，

t，解得t＝16或t＝16

﹣24；

﹣t＝

综上，t＝6﹣2﹣24；

（4）如图5，过圆心O作OH⊥DC于点H，则OH的长为O到DC的距离，延长HO交AB于点K，过点Q作QR⊥AB于点R，

则HCBK是矩形，QR＝AQ＝tcm， ∴HK＝BC＝4tcm，

∵点O是PQ的中点，OK⊥AB，QR⊥AB， ∴线段OK是△PQR的中位线， ∴OK＝QR＝tcm， ∴OH＝（4﹣t）cm， ∵﹣＜0，0≤t≤6，

∴当t＝6s时，OH有最小值，最小值为4﹣×6＝（cm）．

故答案为：6s，cm．