江西省九江市庐山中学2022年高二数学文上学期期末试卷含解析

分析： 作出约束条件所对应的可行域，平行直线y=2x可知，当直线经过点A（0，﹣

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知f1(x)=sinx+cosx，fn+1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)= f′1(x)，f3(x)= f′2(x) ，…，fn+1(x)=f′n(x)，n∈N*，则f2012 (x)=

A.sinx+cosx B. sinx－cosx C.－sinx＋cosx D.－sinx－cosx 参： B

2. 已知、的椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且

则椭圆的离心率为 （ ）

A． B． C． D．

参： C

3. 如果实数x，y满足约束条件，那么目标函数z=2x﹣y的最大值为（ ）

A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2

参：

C

考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用．

1）时直线的截距﹣z取最小值，即z取最大值，代值计算可得．

解答： 解：作出约束条件所对应的可行域（如图），

变形目标函数可得y=2x﹣z，平行直线y=2x（虚线）可知， 当直线经过点A（0，﹣1）时直线的截距﹣z取最小值， ∴z取最大值2×0﹣（﹣1）=1 故选：C

点评： 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 4. 函数在（1，1）处的切线方程为 （ ）

A．

B．

C．

D．

参：

A

5. 线性回归方程

表示的直线必经过的一个定点是 ( )

(A) (B)

(C)

参： D

(D)

6. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，下列假设正确的是（ ）

A. 假设三内角都不大于60度 B. 假设三内角至多有一个大于60度

C. 假设三内角都大于60度 D. 假设三内角至多有9. 下列不等式成立的是（ ） A．

B．

C． () D． ()

参：

两个大于60度 参： C

7. 记等差数列的前n项和为Sn，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=( A．2 B．3 C．6 D．7

参：

B

【考点】等差数列的性质．

【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列． 【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得． 【解答】解：由题意可得S3=3a1+d=6，S5=5a1+

d=25，

联立解得a1=﹣1，d=3， 故选：B．

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．

8. 在三角形ABC中，如果

，那么A等于（ A．

B．

C．

D．

参：

B 略

)

D 略

10. 如图，正方体

的棱长为1， 线段上有两个动点

，且

，则

四面体

的体积为（ ）

. . . .

参：

B 略

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 已知双曲线的渐近线过点

，则该双曲线的离心率为

.

参：

12. 抛物线

的准线方程为，则焦点坐标是 。

）参：

13. 设均为非负实数，则

的最小值为 .

参：

解析：在直角坐标系中，作点

，，

，

，

.则

I＝

＝

＋＋

＋ （应用三角不等式） ＋

＋

＋

＝2007.

如果取，即，那么I取到最小值2007. 14. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

非统计专业 统计专业 性别 专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，所以判定主修统计专业与

性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 .（）

参：

5% 15. 若

是不等式m﹣1＜x＜m+1成立的一个充分非必要条件，则实数m的取值范围是 ．参：

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】是不等式m﹣1＜x＜m+1成立的一个充分非必要条件，可得，等号不能

同时成立，解出即可得出． 【解答】解：∵

是不等式m﹣1＜x＜m+1成立的一个充分非必要条件，

∴，且等号不能同时成立，

解得

．

故答案为：

．

16. 把53名同学分成若干小组，使每组至少一人，且任意两组的人数不等，则最多分成 个小组.

参：

9 ∵，

又，

∴

， 即将8个人从第二组开始每组分1人，从而得到第一组1人，第二组3人，第三组4人，……，第九组10人，由此可得至多可以分为9个组．

17. 抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线

的右焦点重合，过点P（2，0）且斜率为1

的直线l与抛物线C交于A、B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为 .

参：

略

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. (本小题满分12分) 在锐角

中，、、分别为角

、

、

所对的边，且

（1）确定角

的大小；

（2）若＝,且的面积为,求的值．

参：

（1）

锐角三角形中,由正弦定理得

,因为A锐角

又C锐角 -------------

--6分

(2)三角形ABC中，由余弦定理得

即

--------8分

又由的面积得

.

即

---------10分

由于为正， 所以---------12分

19. 已知函数.

（Ⅰ）当

时，求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数

与

图象在

上有两个不同的交点，求实数m的取值范围.

参：

（Ⅰ）函数的增区间为

，减区间

；（Ⅱ）

.

【分析】

（Ⅰ）将

代入函数

解析式，求出该函数的定义域和导数

，然后分别解不等式

和

可得出函数

的增区间和减区间；

（Ⅱ）令

得出，问题转化为：当直线与函数在

区间

上的图象有两个交点时，求实数的取值范围，并利用导数分析函数在

区间上的单调性、极值和端点函数值，利用数形结合思想可得出实数的取值范围，即可求

出实数

的取值范围.

【详解】（Ⅰ）当时，，定义域为，

且.

令，即，解得；

令

，即，解得.

因此，函数

的增区间为，减区间；

（Ⅱ）由已知得：在有两个不相等的实数根.

令，，由得.

当

时，，此时，函数为减函数；

当

时，，此时，函数为增函数.

所以，函数

在处取得极小值，

又

，

且，

当时，直线与函数

在区间

上的图象有两个交

点，，

因此，实数

的取值范围是

.

【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题，在求解含单参数的函数零点个数问题时，可充分利用参变量分离法转化为参数直线与定函数的交点个数问题，利用数形结合思想求解，考查化归与转化思想，属于中等题.

20. （本题10分）实数取什么值时，复数是

（1）实数？ （2）纯虚数？ 参：

21. 已知1+i是方程x2

+bx+c=0的一个根（b、c为实数）． （1）求b，c的值；

（2）试说明1﹣i也是方程的根吗？

参：

【考点】A7：复数代数形式的混合运算．

【分析】（1）通过复数相等，列出b，c的关系式，求解即可； （2）把1﹣i代入方程，适合方程则是方程的根，否则不是． 【解答】解：（1）∵1+i是方程x2+bx+c=0的一个根， ∴（1+i）2+b（1+i）+c=0，即（b+c）+（2+b）i=0，

∴

，

解得

∴b，c的值为：﹣2，2． （2）方程为：x2﹣2x+2=0，

把1﹣i代入方程可得（1﹣i）2

﹣2（1﹣i）+2=0显然成立， ∴1﹣i也是方程的根．

【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，方程根满足方程，考查计算能力．

22. 已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：

x+y﹣a=0上，过点P作圆O的切

线，切点为T （1）若a=8，切点T（

，﹣1），求点P的坐标；

（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；

（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．

参：

【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．

【分析】（1）直线PT切于点T，则OT⊥PT，求出kOT，kPT，直线l和PT，求出P的坐标． （2）设P（x，y），由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线与圆（x﹣

）2+y2=

，有公共点，列出不等式求解即可．

（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，设直线BC为y=kx+b（b≠0），将它与圆方程联立，设

B（x1，y1），C（x2，y2），利用kOBkOC=

==k2，求解即可．

【解答】解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，

又切点T（，﹣1），所以kOT=﹣

，∴kPT=，

故直线PT的方程为y+1=

（x﹣

），即

．

联立直线l和PT，

解得

即P（2

）．

（2）设P（x，y），由PA=2PT，可得（x+2）2

+y2

=4（x2

+y2

﹣4），

即3x2+3y2﹣4x﹣20=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣）2+y2

=

，

所以问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=，有公共点，

所以d=，解得．

（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，所以设直线BC为y=kx+b（b≠0）， 将它与圆方程联立并消去y得（k+1）x+2kbx+b﹣4=0， 设B（x1，y1），C（x2，y2），

2

2

2

则x1x2=，x1+x2=，因为则y1y2=，

故kOBkOC===k2，

即b2（k2﹣1）=0，因为b≠0，所以k2=1，即k=±1．