2020-2021学年度山西省太原市高考一模数学试卷(文)及答案

高 三 数 学(文)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知P{x|yln(1x2)}，Q{y|y2x,xP}，则PIQ（ ）

A.(0,1)

B.(12，1)

C.(0，12)

D.(1，2) 2、已知复数zai2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限， 则实数a的取值范围是（ ）

A.(2,12)B.(12,2)C.(,2)D.(12，+) 0.213、设alog113，b，c2323，则（ ）

A.abcB.cbaC.cabD.bac

4、我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男 生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取20%的学生进行某项调查， 则两个班共抽取男生人数是（ ）

A.10B.11C.20D.21

5、在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程4x2m2y21表示焦点在y轴上的椭圆的概率是（A.15 B.1 C.3345 D.4 6、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算 口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数 学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路 源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输 出的m的值为0，则输入的a的值为（ ）

A.218B.4516 C.9332D.1 2xy607、设实数x，y满足约束条件x2y60，

y0）

y2xy则的最小值是（ ）

x2A.11B.C.0D.1 888、已知三棱锥ABCD的四个顶点都在球O的表面上，BCCD，

AC平面BCD，且AC22，BCCD2，则球O的表面积为（ ）

A.22 B.4 C.8 D.16

9、已知平面上三点(0,4)，(4,0)，(4,4)构成的三角形及其内

部即为区域D，过D中的任意一点M作圆xy1的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，

22则当AOM最小时，MO（ ）

A.21B.22C.221D.421

10、平行四边形ABCD中，AB2，AD1，ABAD1，点M在边CD上， 则MAMB的最大值为（ ）

A.2B.221C.31D.5

x2y21(a0,b0)的左、11、已知F1，F2是双曲线2右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，6a与右支交于点B，若AF12a，F1AF2则SF1BF2（ ）

2， 3A.6B.62C.63D.12

12、定义在R上的函数yf(x)为减函数，且函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，若

f(x22x)f(2bb2)0，且0x2，则xb的取值范围是（ ）

A.0,2B.0,4C.2,0D.2,2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13、若cos(4)x1，则sin2的值为. 3上的截距是.

14、曲线f(x)xe在点(1，f(1))处的切线在y轴15、如图是某四面体的三视图，

则该几何体最长的棱长为 .

|log2x|,x016、已知函数f(x)2，关于x的方程f(x)m(mR)有四个不同的实数解x1，x2，x3，

x2x,x0x4，则x1x2x3x4的取值范围为．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）

在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3acosC(2b3c)cosA. （1）求角A的大小；

（2）已知等差数列an的公差不为零，若a1sinA1，且a2，a4，a8成等比数列，求项和Sn.

18、（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，

4的前naann1PDPBAB2，PA6，BCD60.

（1）证明：PO平面ABCD；

（2）点M在棱CD上，若体积VMPAD:VPABCD1:4，

求①M点的位置；②PM与平面PBD所成角的正切值.

19、（本小题满分12分）

在2018年2月K12联盟考试中，我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占94%人，数学成绩的频率分布直方图如图：

（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少

人？

（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人，从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科

成绩都优秀的概率．

（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

n(adbc)2①K=；

(ab)(cd)(ac)(bd)2②

P（k≥k0）

k0

20、（本小题满分12分）

已知动圆P与圆M:(x2)y相内切，且与圆N:(x2)y4相内

22222

0.50 0.455

0.40 0.708

… …

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

切，记圆心P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程；

（2）设T为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点M作直线交曲线C于A，B两个不

同的点，且满足AB∥OT，TAB的面积为

21、（本小题满分12分）

已知函数f(x)lnxmx（m为常数）． （1）讨论函数f(x)的单调区间； （2）当m10，求直线AB的方程. 312322时，设g(x)f(x)x的两个极值点x1，x2（x1x2）恰为h(x)2lnxaxx22x1x2)的最小值．[来源:学科 2的零点，求y(x1x2)h'(

请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】

x2+2cost在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴

y2sint的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为2sin，曲线C3的极坐标方程为=(0). 6（1）求曲线C1的普通方程和C3的直角坐标方程； （2）设C3分别交C1、C2于点P、Q，求C1PQ的面积.

23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】

已知函数f(x)xm2x1. （1）当m=1时，求不等式f(x)3的解集； （2）若m11，且当x[m,2m]时，不等式f(x)x1恒成立，

24求实数m的取值范围．

太原五中2017-2018学年度第二学期阶段性检测答案

高三数学（文）

（2018.4.2）

一、选择题(每小题5分，共60分)

题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 B 5 B 6 C 7 C 8 D 9 B 10 A 11 C 12 D

二、填空题(每小题5分，共20分) 13.

714. e15. 316. (0，1) 9三、解答题(本大题6小题，共70分) 17.(本小题满分12分）

解：（1）由正弦定理可得：3sinAcosC2sinBcosA3sinCcosA，

从而可得3sinAC2sinBcosA，即3sinB2sinBcosA. 又B为三角形的内角，所以sinB0，于是cosA3， 2又A为三角形的内角，所以A6. （6分）

（2）设an的公差为d，因为a1sinA1，且a2，a4，a8成等比数列，所以a1122，且a4 a2a8，sinA所以a213da1da17d，且d0，解得d2，

所以an2n，所以

4111aa=nn1，

nn1nn+1所以S1111111nn1122334Lnn11n1n1. 18.(本小题满分12分）

证明：（1）∵PDPB，且O为BD中点，∴POBD.

在菱形ABCD中，∵BCD60，AB2，∴OA3，OB1.

又PB2，∴PO3.

∵PA6，∴PA2PO2OA2，POOA.

∵BDAOO，∴PO平面ABCD； （2）①∵V1PABCD3SABCDPO2， ∴VMPAD12，即113SMADPO2，∴DM1，M为CD的中点. ②作MN∥OC交BD与点N，连结PN.

∵ACBD，ACPO，∴AC平面PBD， ∴MN平面PBD，MPN是MP与平面PBD所成的角. ∵MN132OC2，PNPO2ON2132， ∴tanMPNMN39PN13. 19.(本小题满分12分）

解:（1）∵我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有94%人， ∴语文成绩特别优秀的概率为p1=1﹣0.94=0.06， ∴语文特别优秀的同学有100×0.06=6人， ∵数学成绩特别优秀的概率为p2=0.002×20=0.04，

∴数学特别优秀的同学有100×0.04=4人． （2）语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有4人，

12分） （5分）

（7分） （12分） 4分） （

（记两科都优秀的3人分别为A1、A2、A3，单科优秀的4人分别为B1、B2、B3、B4，从中随机抽取2人，共有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，B3）、（A1，B4）、

（A2，B1）、（A2，B2）、（A2，B3）、（A2，B4）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A3，B3）、

（A3，B4）、（B1，B2）、（B1，B3）、（B1，B4）、（B2，B3）、（B2，B4）、（B3，B4）21种，其中这两人两科成绩都优秀的有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）3种， ∴这两人两科成绩都优秀的概率P（3）2×2列联表：

231． （8分） 217 数学特别优秀 数学不特别优秀

合计

语文特别优秀

3 3 6

语文不特别优秀

1 93 94

合计 4 96 100

100(39313)235.1736.635, ∴K496694∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀． （12分） 20．(本小题满分12分）

解：（1）设圆P的半径为R，圆心P的坐标为(x,y)，由于动圆P与圆M:(x2)y相切，且与

22圆N:(x2)y4相内切，所以PMPN(8R)(R2)6MN4.

22所以圆心P的轨迹是以点M，N为焦点的椭圆，且a3，c2，则bac5，

222x2y21. （5分） 所以曲线C的方程为95（2）由题意，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为xmy2.

xmy220m2522yy由x2可得(5m9)y20my250，则y1y2，， y2122215m95m95920m210030(1m2))]所以AB(1m)[(y1y2)4y1y2](1m)[(.

5m295m295m29222因为AB∥OT，所以TAB的面积等于OAB的面积. 又点O到直线AB的距离d2m12，

1130(m21)230m21所以TAB的面积SABd， 222225m95m9m130m211010，解得m0，故直线AB方程为x2.（12分） 因为TAB面积为，所以235m9321．(本小题满分12分） 解：（1）f(x)11mxm，x0， xx11，即当0x时，f(x)0，f(x)单调递增； mm11，即当x时，f(x)0，f(x)单调递减； mm当m0时，由1mx0，解得x由1mx0，解得x当m0时，f(x)10，即f(x)在(0,)上单调递增； x当m0时，1mx0，故f(x)0，即f(x)在(0,)上单调递增． 所以当m0时，f(x)的单调递增区间为(0,11)，单调递减区间为(,)； mm当m0时，f(x)的单调递增区间为(0,)．（6分）

1x2mx112（2）由g(x)lnxmxx得：g(x)mx， xx2由已知xmx10有两个互异实根x1，x2，

2由根与系数的关系得x1x2m，x1x21，

因为x1，x2(x1x2)是h(x)的两个零点，故h(x1)2lnx1x1ax10 ①

2h(x2)2lnx2x2ax20 ②

2由②-①得：2lnx22(x2x1x2x12x1)a(x2x1)0，解得a(x2x1)， x2x12ln因为h(x)xx2xx242)21a， 2xa，得h(12x1x22xx2x1将a(x2x1)代入得 x2x12lnx2x2ln2xx2xx24x1x14h(1)21[ (x2x1)]2x1x22x2x1x2x1x1x22lnx21)x2(xx)2xx221[ln2][ln221]， x2x2x1x1x1x2x2x1x11x1(x21)xx2xx所以y(x1x2)h(1)2[ln221]， x22x11x1(设tx291，因为(x1x2)2x12x222x1x2m2， x1222所以x1x2515xx2xx5，所以112，所以t，所以t2． 2t2x1x2x2x122214(t1)2t10， 构造F(t)lnt2，得F(t)22t1t(t1)t(t1)则F(t)lnt2t1在[2,)上是增函数， t1xx224)的最小值为2ln2．，即y(x1x2)h(1（12分） 233所以F(x)minF(2)ln222．(本小题满分10分）

解：（1）曲线C1的普通方程：(x2)y4，即xy4x0.

所以C1的极坐标方程为4cos0，即=4cos. 曲线C3的直角坐标方程：y222223x(x0). （5分） 3（2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为(1,将=将=),(2,). 66代入=4cos，得1=23， 6代入=2sin，得2=1， 6所以PQ12231，依题意得，点C1到曲线=的距离为dOC1sin1. 66所以SC1PQ111PQd(231)3. （10分） 22222．(本小题满分10分）

3x,(x1)1解：（1）当m=1时，f(x)|x1|2x1，则f(x)2x,(1x)，

23x,(x1)2由f(x)3解得：x1或x1，即原不等式的解集为(,1][1,). （5分） （2）

1111f(x)x1，即xm+2x-1x1，又x[m,2m]且m， 22241,且x0 4所以0m所以

1m1x+x12x1.即mx22x1. 22213x1,(0x)2令t(x)x22x1，则t(x)，

13x,(x)2所以x[m,2m]时，t(x)mint(m)=3m1， 所以m3m1，解得m1， 2所以实数m的取值范围是(0,). （10分）

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