2017高三复习传送带

2017高三复习——传送带

由于在9月24日周日上午的课上，发现仍然有许多同学对于传送带的问题不是很熟悉，为方便同学及时复习课上内容，并深入掌握传送带的相关问题，这里我以水平传送带和倾斜传动带为例，为大家汇总传送带相对位移、划痕、摩擦力做功和产热等相关问题。请同学们重视！

一、水平传送带：

如图所示，水平传送带静止不动，传送带A、B两端相距L=3.5m。一质量m=2kg的物体以初始速度vA=4m/s滑上传送带的A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.1。则：

vA

（1）物体到达B端的瞬时速度vB；

（2）整个过程中，物体与传送带的相对位移大小△x； （3）整个过程中，物体与传送带间留下的摩擦划痕长△s； （4）整个过程中，摩擦力对物体做功w以及摩擦产热Q

【解析】（1）物体相对传送带向右运动，因此在运动过程中物体受到向左的滑动摩擦力。物体受力如图：

水平方向以向右为正：aN

mgg1m/s2 m2μmg 假设物体可以减速到零，则根据0vA2aS可得

2vA16S8mL，因此物体到达B端时仍未减速到零。

2a2(1)mg

同学们注意：这里讨论物体何时减速到零是必须的，因为物体可能在到达B端前就已经静止了。

根据vBvA2aL得：

2vBvA2aL162(1)3.53m/s 水平向右 （注意说明方向）

22（2）由于传送带静止不动，因此物体与传动带间的相对位移等于物体本身的位移，即：

△x=L=3.5m

（3）摩擦划痕长等于相对位移的大小，因此△s=△x =3.5m （4）摩擦力对物体做负功：w=-μmgL=-0.1×2×10×3.5=-7J

摩擦力产热Q=μmg△x=0.1×2×10×3.5=7J

 同学们注意：摩擦力做功为摩擦力乘以物体的位移，而摩擦产热为摩擦力乘以相对位

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移，这个题中只是恰好相对位移等于物体的实际位移而已，但同学们不要将两个问题混淆。同时，遇到做功问题切记注意第一步考虑做正功还是负功。  同学们也可以尝试根据动能定理解决上述问题，这里不再赘述了。

变形扩展1：

上述问题中，若传送带一直以v=5m/s的速度逆时针转动，如图所示，其它条件不变，则：

vA

（1）物体到达B端的瞬时速度vB；

（2）整个过程中，物体与传送带的相对位移大小△x； v （3）整个过程中，物体与传送带间留下的摩擦划痕长△s； （4）整个过程中，摩擦力对物体做功w以及摩擦产热Q

【解析】 （1）由于物体仍然相对传送带向右运动，因此物体在初始运动过程中仍然受到向左的滑动摩擦力，物体的受力状态与上述题1中的受力情况完全相同。物体的受力分析图仍如右图所示： 水平方向以向右为正：aμmg N

mgg1m/s2 m2假设物体可以减速到零，则根据0vA2aS可得

2vA16S8mL，因此物体到达B端时仍未减速到零。

2a2(1)mg

根据vBvA2aL得：

2vBvA2aL162(1)3.53m/s 水平向右 （注意说明方向）

22同学们可以看出，虽然此时传送带在逆时针转动，但物体的运动状态与上述题1中完全相同，并没有像我们想象中“先减速到零再反向加速”，因为物体在达到B端时还未减速到零，请同学们注意感受这一点。

（2）物体由A到达B端所用时间tvBvA341s a1t时间内传送带向左运动x=vt=5×1=5m 因此△x=x+L=8.5m

（3）摩擦划痕长等于相对位移的大小，因此△s=△x =8.5m

同学们注意由于传送带相对物体向左运动，因此留在传送带上的划痕位于物体的左侧。 （4）摩擦力对物体做负功：w=-μmgL=-0.1×2×10×3.5=-7J

摩擦力产热Q=μmg△x=0.1×2×10×8.5=17J

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变形扩展2：

上述问题中，若传送带以速度v顺时针转动，因v的不同也会给我们解题带来诸多的不同，请同学们感受以下几个题目间的不同与注意点。

1. 如图所示，水平传送带以速度v=2m/s顺时针转动，传送带A、B两端相距L=3.5m。一质量m=2kg的物体以初始速度vA=4m/s滑上传送带的A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.1。则：

（1）物体到达B端的瞬时速度vB；

（2）整个过程中，物体与传送带的相对位移大小△x； （3）整个过程中，物体与传送带间留下的摩擦划痕长△s； （4）整个过程中，摩擦力对物体做功w以及摩擦产热Q

【解析】（1）由于物体的初始速度vA>v，因此刚开始时物体仍然相对传送带向右运动，物体开始仍受到向左的滑动摩擦力。物体受力如图： 水平方向以向右为正：aN

μmg vA

v

mgg1m/s2 m22假设物体可以减速到与传送带共速v，则根据vvA2aS可得

2v2vA416S6mL，因此物体在到达B端时仍未减速到与

2a2(1)mg

传送带共速，物体整个运动过程中一直减速。 根据vBvA2aL得：

2vBvA2aL162(1)3.53m/s 水平向右 （注意说明方向）

22（2）物体由A到达B端所用时间tvBvA341s a1t时间内传送带向右运动x=vt=2×1=2m 因此△x= L- x =1.5m

（3）摩擦划痕长等于相对位移的大小，因此△s=△x =1.5m

同学们注意由于传送带相对物体向左运动，因此留在传送带上的划痕位于物体的左侧。 （4）摩擦力对物体做负功：w=-μmgL=-0.1×2×10×3.5=-7J

摩擦力产热Q=μmg△x=0.1×2×10×1.5=3J

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2. 如图所示，水平传送带以速度v=3.4m/s顺时针转动，传送带A、B两端相距L=3.5m。一质量m=2kg的物体以初始速度vA=4m/s滑上传送带的A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.1。则：

（1）物体到达B端的瞬时速度vB； （2）物体到达B端所用的时间t；

（3）整个过程中，物体与传送带的相对位移大小△x； （4）整个过程中，物体与传送带间留下的摩擦划痕长△s； （5）整个过程中，摩擦力对物体做功w以及摩擦产热Q

【解析】（1）由于物体的初始速度vA>v，因此刚开始时物体仍然相对传送带向右运动，物体开始仍受到向左的滑动摩擦力。物体受力如图： 水平方向以向右为正：aN

μmg vA

v

mgg1m/s2 m22假设物体可以减速到与传送带共速v，则根据vvA2aS可得

2v2vA11.5616S2.22mL，因此物体在到达B端前便与传

2a2(1)mg

送带共速，之后物体与传送带一起以速度v=3.4m/s共同运动至B端。 因此vBv3.4m/s 水平向右 （注意说明方向） （2）物体由vA减速到v所用时间t1vvAa3.440.6s 1之后物体以v匀速运动至B端：t2 总时间t=t1+t2=0.98s

LS3.52.220.38s v3.4（3）物体与传送带共速后，二者共同运动，没有相对位移，相对位移仅发生在物体减速的过程中。因此，在t1时间内传送带向右运动x=vt1=3.4×0.6=2.04m 因此，△x= S- x =2.22m-2.04m=0.18m

（4）摩擦划痕长等于相对位移的大小，因此△s=△x =0.18m

同学们注意由于传送带相对物体向左运动，因此留在传送带上的划痕位于物体的左侧。 （5）物体与传送带共速后，二者共同运动，物体不再受到摩擦力的作用，摩擦力做功仅发生在物体减速的过程中。

摩擦力对物体做负功：w=-μmgS=-0.1×2×10×2.22=-4.44J 摩擦力产热Q=μmg△x=0.1×2×10×0.18=0.36J

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3. 如图所示，水平传送带以速度v=6m/s顺时针转动，传送带A、B两端相距L=4.5m。一质量m=2kg的物体以初始速度vA=4m/s滑上传送带的A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.1。则：

（1）物体到达B端的瞬时速度vB；

（2）整个过程中，物体与传送带的相对位移大小△x； （3）整个过程中，物体与传送带间留下的摩擦划痕长△s； （4）整个过程中，摩擦力对物体做功w以及摩擦产热Q

【解析】（1）由于物体的初始速度vAv

mgmg1m/s2

2假设物体可以加速到与传送带共速v，则根据vvA2aS可得

2v2vA3616S10mL，因此物体在到达B端时仍未达到与传送带

2a21mg 共速，物体一直加速运动至B端。 根据vBvA2aL得：

2vBvA2aL16214.55m/s 水平向右 （注意说明方向）

22（2）物体由A到达B端所用时间tvBvA541s a1t时间内传送带向右运动x=vt=6×1=6m 因此△x= x-L =1.5m

（3）摩擦划痕长等于相对位移的大小，因此△s=△x =1.5m

同学们注意由于传送带相对物体向右运动，因此留在传送带上的划痕位于物体的右侧。 （4）摩擦力对物体做正功：w=μmgL=0.1×2×10×4.5=9J

摩擦力产热Q=μmg△x=0.1×2×10×1.5=3J

4. 如图所示，水平传送带以速度v=4.6m/s顺时针转动，传送带A、B两端相距L=4.5m。一质量m=2kg的物体以初始速度vA=4m/s滑上传送带的A端，物体与传送带间的动摩擦因

vA

数μ=0.1。则：

（1）物体到达B端的瞬时速度vB；

v

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（2）物体到达B端所用的时间t；

（3）整个过程中，物体与传送带的相对位移大小△x； （4）整个过程中，物体与传送带间留下的摩擦划痕长△s； （5）整个过程中，摩擦力对物体做功w以及摩擦产热Q

【解析】（1）由于物体的初始速度vA2假设物体可以加速到与传送带共速v，则根据vvA2aS可得

2v2vA21.1616S2.58mL，因此物体在到达B端前便与传送带共

2a21mg 速，之后物体与传送带一起以速度v=4.6m/s共同运动至B端。 因此vBv4.6m/s 水平向右 （注意说明方向） （2）物体由vA加速到v所用时间t1vvAa4.640.6s 1之后物体以v匀速运动至B端：t2 总时间t=t1+t2=1.03s

LS4.52.580.43s v4.5（3）物体与传送带共速后，二者共同运动，没有相对位移，相对位移仅发生在物体加速的过程中。因此，在t1时间内传送带向右运动x=vt1=4.5×0.6=2.7m 因此，△x= x-S =2.7m-2.58m=0.12m

（4）摩擦划痕长等于相对位移的大小，因此△s=△x =0.12m

同学们注意由于传送带相对物体向右运动，因此留在传送带上的划痕位于物体的右侧。 （5）物体与传送带共速后，二者共同运动，物体不再受到摩擦力的作用，摩擦力做功仅发生在物体加速的过程中。

摩擦力对物体做正功：w=μmgS=0.1×2×10×2.58=5.16J 摩擦力产热Q=μmg△x=0.1×2×10×0.12=0.24J

汇总：结合以上“变形拓展2”中的内容，可以将上述题目中物体的运动状态可以总结如下：

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vA

v

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如图所示，水平传送带以速度v顺时针转动，传送带A、B两端相距L。一质量m的物体以初始速度vA滑上传送带的A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ，则：

（1）当0≤v≤v22ugL时，物体一直减速运动至B端，到达B端的速度vB=v22ugL （2）当v22ugL（4）当vA（4）当v22ugL≤v时，物体一直加速运动至B端，到达B端的速度vB=v22ugL

变形扩展3：

如图所示，无限长的水平传送带始终以恒定速率v1=5m/s顺时针转动．初速度大小为v2=6m/s的小物块从传送带的A端滑上传送带，物块质量为m=2kg，物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.1。则物块在传送带上运动的过程中： （1）物块距离A端的最远距离x1；

（2）整个过程中，物体与传送带的相对位移大小△x； （3）整个过程中，物体与传送带间留下的摩擦划痕长△s； （4）整个过程中，摩擦力对物体做功w以及摩擦产热Q

【解析】（1）物体由A端滑上传送带时，物块相对传送带向左运动，因此在运动过程中物体受到向右的滑动摩擦力。物体受力如图： 水平方向以向右为正：aN μmg mgmg1m/s2

mg 当物块速度减小到零时，物块距离A端最远，

2v23618m 距离A端最远距离：x12a21（2）物体向左减速到零所需时间：t10v20(6)6s a1v1t15630m t1时间内传送带向右运动：x1=18+30=48m t1时间内相对位移△x1=x1+x1当物体减速到零后，在摩擦力的作用下会向右加速，若物体一直加速至A端，则到达A端

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的速率仍然为v2=6m/s，由于v2> v1，因此物块向向右加速至v1，再与传送带一起以v1的速率共同向右运动至A端。

物体向右加速到v1所需时间：t2v10505s a1t2时间内物体向右运动：x2v1t25512.5m 22v1t15525m t2时间内传送带向右运动：x2-x2=25-12.5=12.5m t2时间内相对位移△x2=x2在以上两种运动状态下，传送带一直相对物体向右运动，因此： 整个过程中，物体与传送带的相对位移大小△x=△x1+△x2=60.5m

同学们注意由于传送带相对物体向右运动，因此留在传送带上的划痕位于物体的右侧。 （3）摩擦划痕长等于相对位移的大小，因此△s=△x =60.5m （4）t1时间内传送带对物体做负功：w1=-μmgx1=-0.1×2×10×18=-36J

t2时间内传送带对物体做正功：w2=μmgx2=0.1×2×10×12.5=25J

因此，整个过程中摩擦力对物体做功w= w1+ w2=-9J 摩擦力产热Q=μmg△x=0.1×2×10×60.5=121J

同学们也可以根据动能定理解决摩擦力做功问题： 对物块列动能定理：W

121211mv1mv22252369J 2222二、倾斜传送带：

如图所示，传送带与地面成夹角θ=37°，以v=10m/s的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻

地放一个质量m=0.5kg的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，已知传送带从A→B的长度L=16m，则

（1）物体从A到B需要的时间t ?

（2）整个过程中，物体与传送带的相对位移大小△x； （3）整个过程中，物体与传送带间留下的摩擦划痕长△s； （4）整个过程中，摩擦力对物体做功w以及摩擦产热Q

【解析】（1）物体刚放上传送带时，由于物体初速度为零而传送带以v=10m/s的速度逆时针转动，因此物体相对传送带向上运动，物体受到沿斜面向下的滑动摩擦力（请同学们自己

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补充受力分析图）。物体在沿斜面方向上由重力的下滑分力和向下的滑动摩擦力共同提供向下的加速度加速运动。

amgsinmgcosmv10s1s, a10

10m/s2

假设物体可以加速至10m/s，其对应的时间和位移分别为：

t1v2 s15m＜L ，因此物体在到达B端前便达到传送带的速度v。

2a当物体在达到传送带的速度v后，物体受到的摩擦力变为沿传送带向上，由于mgsinθ＞μmgcosθ，物体仍会沿斜面向下加速，物体在沿斜面方向上由重力的下滑分力和向上的滑动摩擦力共同提供向下的加速度加速运动。

mgsinmgcos2m/s2

m12根据Ls1vt2a2t2可得t2=1s （t2=-11s舍去）

2a2因此，t=t1+t2=2s

vt110110m （2）t1时间内传送带沿斜面向下运动 s1- s1=5m t1时间内相对位移△x1= s1同学们注意：t1时间内由于传送带运动的快，相对位移产生在物块的前方，因摩擦产生的划痕位于物块的前方。

vt210110m t2时间内传送带沿斜面向下运动 s2t2时间内物体沿斜面向下运动位移s2Ls111m

=1m t2时间内相对位移△x2= s2- s2同学们注意：t2时间内由于物体较传送带运动的快，因此相对位移产生在物块的后方，因摩擦产生的划痕应位于物块的后方。

整个过程中，物体与传送带的相对位移大小△x=△x1-△x2=4m （3）整个过程中，物体与传送带间留下的摩擦划痕长△s=△x1=5m

同学们注意：整个过程中划痕的长度并不等于整个过程中物体与传送带的总相对位移大小△x，而只是等于t1时间内的位移，请同学们对比此问与变形扩展3中△s的区别。 （4）t1时间内传送带对物体做正功：w1=μmgcosθ s1=10J

t2时间内传送带对物体做负功：w2=-μmgcosθ s1=-22J

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因此，整个过程中摩擦力对物体做功w= w1+ w2=-12J 摩擦力产热Q=μmgcosθ(△x1+△x2)=12J

同学们注意：整个过程中的摩擦产热并不等于整个过程中摩擦力乘以整个过程的相对位移，请同学们对比此问与变形扩展3中Q的区别。

请同学们尝试根据动能定理解决摩擦力做功问题：

拓展变形练习：

如图所示，传送带与地面成夹角θ=37°，以v=10m/s的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量m=0.5kg的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.8，已知传送带从A→B的长度L=16m，则

（1）物体从A到B需要的时间t ?

（2）整个过程中，物体与传送带的相对位移大小△x； （3）整个过程中，物体与传送带间留下的摩擦划痕长△s； （4）整个过程中，摩擦力对物体做功w以及摩擦产热Q

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