高中物理竞赛决赛模拟试题答案

一、如图所示，斜线覆盖的内圆是地球，其外为飞船离开后的椭圆轨道，再外面是飞船与宇航站开始的圆轨道，最外面是飞船的新轨道。地球质量记为Me，飞船被发射前，它与宇航站一起运动的速度为u，则有

(Mm)u2G(Mm)Me

nR(nR)2得

uGMe nR飞船发射后的瞬间，飞船的速度记为u，宇航站的速度记为V，根据动量受恒有：

(Mm)uMVmv

即得所需要的比值为

mVu Muv于是问题转化为求v和V

分离后飞船近地点与地心相距nR，速度大小为ν，远地点与地心相距8nR，飞船速度大小记为ν′，则由开普勒第二定律和动能受恒得

vnRv8nRGMem 12GMem12mvmvnR28nR2由此解得

v4GMe4u

3nR3分离后宇航站远地点与地心间距离设为nR，速度大小记为V。近地点与地心间距r，速度大小为V℃。同样可列方程组：

VnRVrGMMe12 MVGMM12e2rMVnR2可解得

VGMe2r (nRr)nR(8nRnR)；2由可以看出，若求得r便可算出m/M值

为求r，可利用开普勒第三定律，设飞船新轨道的周期为t，而它的半轴长则为

宇航站新轨道周期设为T，而它的半长轴则为

(nRr)，有 2(8nRnR)3(nRr)3

t2T2即

39nRt2() (nRr)T飞船运行一周后恰好与宇航站相遇，因此

t=Kt k=1、2、3、…… 代入上式后便可得

r(9k)nRk2323

宇航站不能与地球相碰，否则它不可能再与飞船相遇，故要求 r>R

代入上式，并考虑到n=1.25,可得 k≤11

现由上式计算m/M值

m(Vu)M(uv)33[2r1](nRr)(14/3)

2r32(9k2/3)(nRr)要求 m/M>0 因此 2/3

k>9/2 即 k≥10

可见k取值只可为 k=10或k=11 因此

ν m M m0.048或0.153 M二、（1）沸点即

papi

1时的温度，由于ln(i)0，可得沸点Tii。对于A

bip0p0

aA]bA(273.1540)

aAln1.476[]bA(273.1590)ln0.284[解之得

aA3748.49K,bA10.711同理得

aB5121.K,bB13.735

据此可得液体A、B沸点

TA349.45K770CTB372.K100C0

（2）系统有两次沸腾现象，t1、t2是沸点。第一次应发生在A、B交界面处，界面上气泡内压强等于A、B的饱和气压之和，其值先达到p0，此时沸腾温度t1低于A、B各自的沸点。有

pA(t1)pB(t1)p0

由于

pie(ai/T)bi p0令T1t1t0,t0273.15,t1满足即

代入aA,bA,aB,bB,t0值，采用二分逼近方法取值，可得

t1=67℃

A、B交界面一消失，第一次沸腾结束。容器内仅剩一种液体，要加热到t2该液体的沸点才出现第二次沸腾。T2必为100℃或者77℃。

在温度t1的沸腾过程中，从交界面出升离的气泡中，A、B的饱和气质量比

mAAMApA(t1)p(t)8A1 mBBMBpB(t2)pB(t2)由（2）式可得t1时，A、B的饱和气压：

pA(t1)0.734p0,pB0.267p0

因此

mA22.0 mB这表明A蒸发质量是B的22倍，液体A的100克全部蒸发掉，液体B仅剩4.5克，可见在t1时刻容器中，液体A的质量为0，液体B的质量为95.5克，因此t2=100℃ 三、（1）在电介质匀速插入过程中，电容不断增加经过t之后，电容为

CC0C0SvtrSvt4Kd4Kd(r1)Svt4Kd

电容增量之值

CCC0(r1)Svt 4Kd因Q=Cε，故电容器上电量相应增加之值为

QC(r1)Svt

4Kd所以充电电流

IQ(r1)Svt4Kd(21)1022.3102100

43.1491091.01032109(A)（2）电源输出的电能

102WIt2101009107(J) 22.3109（3）介质未插入时，电容所贮电能为

11SW1C022224Kd11022 10093243.14910104.43107(J)插入介质后，电容所贮电能增加

11W(rC0C0)2C024.43107(J)

22所以电源输出能量W>∆W，由题设电源内阻，线路电阻均不计，那么电源多输出的电能W-∆W

到什么地方去了。把介质插入电容器之间时，在介质板上产生极化电荷，极板上自由电贺对极化电荷产生吸引力，在忽略介质板和电容器极板之间的摩擦力时，要使介质板匀速地插入电容器中去，必须在加一个外力与此吸引力相平衡。因此，在介质板匀速插入电容器时，外力做负功，使电源输出的一部分能量W-∆W变成了其它形式的能量。

四、(1)设空间站与太阳距离为r,则太阳辐射在空间站反射面单位面积内的功率即为光强Ф=

L4r,太阳对反射面产生的压强是光子的动量传递给反射面的结果,这一光压为

于是反射面受到的辐射压力

F辐射PALA

2r2cMSmG.式中G为万有引力常数.在太空站处于平衡状态2r太阳对太空站的万有引力为F引力时,F辐射F引力即

MSmGL A2r2cr2这就得到,反射面面积A2GMSmc

L2

(2)有上面的讨论可知,由于辐射压力和太阳引力都与r成反比,因而平衡条件与太阳和空间站的距离r无关.

2

(3)若A=d,并以题给数据代入前式得到

d2GMSL2（6.671011Nm2/kg2)(1.991030kg)(106kg)(3.00108)3.7710262.58104m

五、如图91a所示均质角尺ABBC,各段质量均为M，平放于光滑的水平面上，一质量为m的小球以V0的速度沿水平面运动，且v0⊥AB，并与AB的中点D相碰，恢复系数e=0.5。试求质量比M/m为何值时，小球能恰好与角尺的C端相碰。

______

解:设碰撞后小球速度为VI'角尺质心速度为V，角速度为ω，如图91b所示，由 Vo方向系统动量守恒，有

六、三名舞蹈演员在舞台上（视作质点)组成一正三角形。音乐一开始，每一演员即朝向右侧的另一演员以常速率缓慢前进。如音乐时间足够长，问三个演员有没有可能相遇?如相遇，每个演员共转过多少转?演员走过的轨迹是什么曲线?（可设相遇前相隔a,相遇时相隔b,b〈〈a)

七、一小球由P点自由落入半径为R的半球形碗内(图111a),它与碗壁之间的碰撞恢复系数e=1。问小球P初始时在何区域内，小球经一次碰撞后能弹出碗外。

解:取柱坐标Opepz(ψ角在水平面内) ，如图l11b所示。设小球P的初始位置 的坐标为仰，z) ，它与碗壁碰撞前的速度为v，则有