圆与方程高考历年真题

圆与方程高考真题精选

2009年考题

1.（2009辽宁）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，

则圆C的方程为（ ）

（A）(x1)(y1)2 (B) (x1)(y1)2

(C) (x1)(y1)2 (D) (x1)(y1)2

【解析】选B.圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.

2.（2009浙江）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解析】选B.由于3，4，5构成直角三角形S，故其内切圆半径为r=直角三角形S的两边也有4个交点。

222222223451,当该圆运动时，最多与2(x1)(y1)1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于 3.（2009上海）.过圆C：

点A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足SS¥SS|||,

则直线AB有（ ）

22（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条

【解析】选B.由已知，得：SIVSIISIIISI,，第II，IV部分的面积是定值，所以，SIVSII为定值，即SIIISI,为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。

4.（2009湖南）已知圆C1：(x1)+(y1)=1，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为（ ）

（A）(x2)+(y2)=1 （B）(x2)+(y2)=1

（C）(x2)+(y2)=1 （D）(x2)+(y2)=1

2222222222a1b11022【解析】选B.设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，有， b11a1 解得： 5.（2009陕西高考）过原点且倾斜角为60的直线被圆xy4y0所截得的弦长为 （A）3 （B）2 （C）6 （D）23

【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程为

23xy0,圆x2（y2）4的圆心（0，2）到直线的距离为a2，对称圆的半径不变，为1，故选B.

b222d

30231

1,因此弦长为2Rd24123226.（2009重庆高考）直线yx1与圆xy1的位置关系为（ ） A．相切

【解析】选B.圆心(0,0)为、到直线yx1，即xy10的距离dB。

7.（2009重庆高考）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）

A．x(y2)1 B．x(y2)1

C．(x1)(y3)1

【解析】选A.方法1（直接法）：设圆心坐标为(0,b)，则由题意知(01)2(b2)1，解得b2，

故圆的方程为x(y2)1。

方法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为

2222222222 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离

2121，选，而0222

D．x(y3)1

22x2(y2)21

方法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C。

8.（2009上海高考）过点P(0,1)与圆x2y22x30相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( )

（A）x0. （B）y1. （C）xy10. （D）xy10.

【解析】选C.点P(0,1)在圆x2y22x30内，圆心为C（1，0），截得的弦最长时的直线为CP，方程是

9. （2009广东高考）以点（2，1）为圆心且与直线xy6相切的圆的方程是 .

【解析】将直线xy6化为xy60,圆的半径r

所以圆的方程(x2)2(y1)2

答案:(x2)2(y1)2

222210. （2009天津高考）若圆xy4与圆xy2ay60（a>0）的公共弦的长为23，

xy1，即xy10。 11|216|5,

11225 225 2

则a___________。

2222【解析】由知xy2ay60的半径为6a，由图可知6a(a1)(3)

22

解之得a1 答案:1.

11.（2009全国Ⅱ）已知AC、BD为圆O:xy4的两条相互垂直的弦，垂足为M1,2,

则四边形ABCD的面积的最大值为 。

222【解析】设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d1+d2OM3.

22

四边形ABCD的面积S 答案:5.

1|AC||BD|2(4d12)(4-d22) 212.（2009全国Ⅱ）已知圆O：xy5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=5和 答案:

13. （2009湖北高考）过原点O作圆x2+y2－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，

则线段PQ的长为 。

22【解析】可得圆方程是(x3)(y4)5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ4

221(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是251525，所以所求面积为5。 222425 4 答案:4

222214.（2009四川高考）若⊙O1:xy5与⊙O2:(xm)y20(mR)相交于A、B两点，

且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 .

【解析】由题知O1(0,0),O2(m,0)，且5|m|35，又O1AAO2，所以

m2(5)2(25)225m5，∴AB25204。 5 答案:4.

15.（2009福建高考）已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:个数.

【解析】圆的方程可化为(x1)2(y2)24.

其圆心为C(1,2),半径为2.

圆心到直线的距离d

故直线与圆的公共点个数为2. 答案：2

x12cos (为参数 )试判断他们的公共点

y22sin|3(1)4212|324272 5x4cost,x8cos,16.（2009海南、宁夏高考）已知曲线C1： （t为参数）， C2：（为参

y3sint,y3sin,数）。

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为t

2，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线

x32t, （t为参数）距离的最小值。 C3:y2t

x2y21. 【解析】（Ⅰ）C1:(x4)(y3)1,C2:922

C1为圆心是（4,3)，半径是1的圆.

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当t

2时，P(4,4).Q(8cos,3sin),故M(24cos,23sin). 2C3为直线x2y70,M到C3的距离d

从而当cos 5|4cos3sin13|. 583. ,sin时，d取得最小值5552217.（2009江苏高考）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x3)(y1)4和圆

C2:(x4)2(y5)24.

（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。

(1)设直线l的方程为：yk(x4)，即kxy4k0

由垂径定理，得：圆心C1到直线l的距离

d22(232)1， 2

结合点到直线距离公式，得：

化简得：24k27k0,k0或k

求直线l的方程为：y 即y

(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：

|3k14k|k121,

7 240或y7(x4)，

240或7x24y280

111ynk(xm),yn(xm)，即：kxynkm0,xynm0

kkk

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。

由垂径定理，得圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。

41|5nm|k故有：|3k1nkm|k，

21k112k

化简得：(2mn)kmn3,或(mn8)kmn5

2mn0m-n+8=0关于k的方程有无穷多解，有： ,或mn30m+n-5=0

解之得：点P坐标为(3,13)或(5,1)。

2222

2008年考题

1、（2008山东高考）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴相切，则该圆的标准方程是

A．(x3)（y）1

C．(x1)(y3)1

【解析】选B.设圆心为(a,1),由已知得d

2、（2008广东高考）经过圆x2xy0的圆心C，且与直线xy0垂直的直线方程是（ ）

A．x＋y＋1＝0

【解析】选C.易知点C为(1,0)，而直线与xy0垂直，我们设待求的直线的方程为yxb，

将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b1，故待求的直线的方程为xy10（或由图象

快速排除得正确答案）。

3、（2008山东高考）已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

A．106

【解析】选B。将方程化成标准方程(x3)(y4)25，过点(3,5)的最长弦（直径）为AC10,

最短弦为BD2521246,S

222222（ ）

2732

B．(x2)(y1)1

22

D．（x）(y1)1

3222|4a3|11,a2(舍). 52 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0

（ ）

B．206

C．306

D．406

1ACBD206. 24、（2008全国Ⅰ）若直线

xy＝1与圆x2y21有公共点，则（ ） ab A．a2b21 B．a2b21 C．

1111 D．11 2222abab【解析】选D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得：dr，

d111()2()2ab111，()2()21．

ab

5、（2008安徽高考）若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)y1有公共点，则直线l的斜率的取

值范围为（ ）

A．[3,3]

【解析】选C.方法一：数形结合法（如图）

另外，数形结合画出图象也可以判断C正确。

方法二：利用距离与半径的关系

点A4,0 在圆外，因此斜率必存在。设直线方程为yk(x4)，

即kxy4k0，直线l与曲线(x2)y1有公共点，

圆心到直线的距离小于等于半径 d

2222B．(3,3) C．[33,] 33D．(33,) 332k4kk121，

得4k2k21,k2

331k. 3336、（2008上海高考）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P(x,y)满足xx且yy，则称P优于P，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ）

AB C．»AB D．»AB B．»AB A．»

【解析】选D.由题意知，若P优于P，则P在P的左上方，

当Q在 上时，左上的点不在圆上，

不存在其它优于Q的点， Q组成的集合是劣弧。

7、（2008天津高考）已知圆C的圆心与点P(2，直线3x4y110与圆C相1)关于直线yx1对称．交于A，B两点，且AB6，则圆C的方程为 ．

【解析】本小题主要考查直线方程中的对称问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识． ．．

(411)218，圆的方程为x2(y1)218． 由已知可求圆心的坐标为(0,1)，所以r32522

答案:x(y1)18

8、（2008宁夏海南高考）已知mR,直线l:mx(m1)y4m和圆C:xy8x4y160.

22222（Ⅰ）求直线l斜率的取值范围；

（Ⅱ）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为

【解析】（Ⅰ）Qk

1的两段圆弧？为什么？ 2m,km2mk0()， 2m111QmR,∴当k≠0时≥0，解得≤k≤且k≠0

22

又当k＝0时，m＝0，方程()有解，所以，综上所述≤k≤

（Ⅱ）假设直线l能将圆C分割成弧长的比值为

则∠ACB＝120°．∵圆C:(x4)2(y2)24，∴圆心C（4，-2）到l的距离为1． 故有

∵524330，∴3m45m230无实数解．

因此直线l不可能将圆C分割成弧长的比值为

9、（2008江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)x2xb（xR）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C．

（Ⅰ）求实数b的取值范围；

（Ⅱ）求圆C的方程；

212121的两段圆弧．设直线l与圆C交于A，B两点 24m2(m21)4mm2(m21)21，整理得3m45m230．

1的两段圆弧． 2（Ⅲ）圆C是否经过定点（与b的取值无关）？证明你的结论．

【解析】（Ⅰ）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）

令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0

令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b

令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1

所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0

（Ⅲ）圆C必过定点（0，1），（-2，1）

证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0

所以圆C必过定点（0，1）；

同理可证圆C必过定点（-2，1）．

10、（2008北京高考）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x3y4上，对角线BD所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；

（Ⅱ）当ABC60时，求菱形ABCD面积的最大值．

【解析】（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为yx1．

o22

因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD．

于是可设直线AC的方程为yxn．

x23y24，由得4x26nx3n240． yxn

因为A，C在椭圆上，

所以12n20，解得

4343n． 33(x2，y2)， 设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，

3n243n则x1x2，x1x2，y1x1n，y2x2n．

42

所以y1y2

所以AC的中点坐标为

由四边形ABCD为菱形可知，点 所以

所以直线AC的方程为yx2，即xy20．

n． 23nn，． 443nn，在直线yx1上， 44n3n1，解得n2． 44

（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且ABC60o，

所以ABBCCA．

所以菱形ABCD的面积S

32AC． 23n216由（Ⅰ）可得AC(x1x2)(y1y2)，

2222 所以S

所以当n0时，菱形ABCD的面积取得最大值43．

11、（2008湖北高考）如图，在以点O为圆心，|AB|4为直径的半圆ADB中，

43343(3n216)n． 433ODAB，P是半圆弧上一点，POB30，曲线C是满足||MA||MB||

为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.

若△OEF的面积不小于．．．22，求直线l斜率的取值范围.

【解析】（Ⅰ）方法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A

（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（3,1），依题意得

2｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝(23)212（23）12＝22＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

22xy1. 则c＝2，2a＝22，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为22

方法2：同方法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

x2y2设双曲线的方程为221(a＞0，b＞0）.

ab

2（3）1221则由a2解得a2=b2=2, ba2b24

x2y21. ∴曲线C的方程为22

图1 图2

(Ⅱ)方法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0. ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

2k11k0∴  223k3(4k)46(1k)0

∴k∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. ②

设E（x1，y1），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=

｜EF｜＝(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)2

＝1k(x1x2)4x1x21k

而原点O到直线l的距离d＝

2224k6,于是 ,xx121k21k2223k21k2.

21k2，

2112223k22223k1k. ∴S△OEF=dEF22221k21k1k

若△OEF面积不小于22,即S△OEF22，则有

223k21k2

22k4k220,解得2k2.　 ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1)∪(-1,1) ∪(1,

2].

方法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1-K2）x2-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴ 21k0k1 (4k)246(1k2)0k3 3

∴k∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）.

设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得

｜x23k21-x2｜=(x21x2)4x1x21k221k2.

当E、F在同一支上时（如图1所示），

S△OEF＝S1ODFSODE2ODxx1122ODx1x2;

当E、F在不同支上时（如图2所示）.

S1OEFSODFS△ODE=

2OD(x11x2)2ODx1x2.

综上得S△OEF＝12ODx1x2,于是

由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=223k21k2.

若△OEF面积不小于22,即SOEF22,则有

223k21k222k4k220,解得2k2. ③

④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1）∪（-1，1）∪（1，2].

2007年考题

1、(2007安徽高考)若圆xy2x4y0的圆心到直线xya0的距离为

(A)-2或2

【解析】选C.若圆xy2x4y0的圆心(1，2)到直线xya0的距离为

22222,则a的值为 2(B)

13或 22(C)2或0 (D)-2或0

2，∴ 2|12a|2， 22

∴ a=2或0，选C。

2、（2007上海高考）圆xy2x10关于直线2xy30对称的圆的方程是（ ）

Ａ．(x3)2(y2)2

Ｃ．(x3)(y2)2

2222【解析】选C.圆xy2x10(x1)y2，圆心（1，0），半径2，关于直线2xy30221 2

Ｂ．(x3)2(y2)21 222

Ｄ．(x3)(y2)2

22对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线，线段的中点在直线2xy30上，C中圆

(x3)2(y2)22的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。

3、（2007湖北高考）已知直线

xy1（a，b是非零常数）与圆x2y2100有公共点，且公共点的ab横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）

A．60条

【解析】选A.可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，

而圆xy100上的整数点共有12个，分别为6,8,6,8,8,6，

22 B．66条 C．72条 D．7

8,6,10,0,0,10，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有；12个点中过任意两点，

2构成C1266条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称

性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有52860条，选A.

4、（2007湖北高考）由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为

【解析】选C.切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=

5、（2007重庆高考）若直线ykx1与圆x2y21相交于P、Q两点， Py

2

C.7

|301|222，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2r2817，选C.

且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为

（A）3或3

（C）2或2

【解析】选A.如图，直线过定点（0，1），

（D）2 （B）3

2O1XQ6、（2007广东高考）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为到直线l的距离为______.

【解析】直线的方程为x+y-6=0，d=

答案:（0，2）；22.

7、（2007广东高考）[几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，

Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线l，过Ａ作l的垂线ＡＤ，

垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE的长为_______。

【解析】根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，

很容易得到答案，AE=EC=BC=3； 答案:

；3。 6|26|222;

xt3y3tx2cos（参数[0,2]），则圆C的圆心坐标为_______，圆心

y2sin2D ClOBA8、（2007天津高考）已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A,B两点，则直线AB的方程是__________.

【解析】两圆方程作差得x3y0.

答案:x3y0

9、（2007山东高考）与直线xy20和曲线xy12x12y0都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.

221082510-2

【解析】曲线化为(x6)(y6)18，其圆心到直线xy20的距离为

22d662252.所求的最小圆的圆心在直线yx上，其到直线的距离为2，圆心坐标为(2,2).标

22准方程为(x2)(y2)2。

答案:(x2)(y2)2

10、（2007上海高考）已知圆的方程x2y11，P为圆上任意一点（不包括原点）。直线OP的倾斜角为弧度，OPd，则df

【解析】 OP2cos( 答案:

11、（2007湖南高是 ．

【解析】半径R=

答案:(x1)(y1)2

224*12、（2007江西高考）设有一组圆Ck:(xk1)(y3k)2k(kN)．下列四个命题：

222的图象大致为_____

2)2sin,(0,)

考）圆心为(11)，且与直线xy4相切的圆的方程

|114|22，所以圆的方程为(x1)2(y1)22

22

Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切

Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交

Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 ．

Ｄ．所有的圆均不经过原点 ．

其中真命题的代号是

【解析】圆心为（k-1，3k）半径为2k，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B正确；由C1、C2、C3的图像可知A、C不正确；若存在圆过原点（0，0），则有

2 ．（写出所有真命题的代号）

(k1)29k22k410k22k12k4（kN*)因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使

上式成立，即所有圆不过原点。

答案:B、D

13、（2007四川高考）已知eO的方程是xy20，eO'的方程是xy8x100，由动点P向eO和eO'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是__________________

【解析】eO：圆心O(0,0)，半径r222222222；eO'：圆心O'(4,0)，半径r'6．设P(x,y)，由切线

3． 2长相等得xy2xy8x10，即x 答案:x

3 20)，AB边所在直线的方程为14、（2007北京高考）矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，，在AD边所在直线上． x3y60，点T(11)

（I）求AD边所在直线的方程；

（II）求矩形ABCD外接圆的方程；

（III）若动圆P过点N(2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

【解析】（I）因为AB边所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3．

又因为点T(11)，在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y13(x1)．

即3xy20．

x3y60，（II）由解得点A的坐标为(0，2)，

3xy2=0

因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)．

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．

又AM(20)(02)22．

从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)y8．

（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，

所以PMPN22，即PMPN22．

2222故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支．

因为实半轴长a

2，半焦距c2．所以虚半轴长bc2a22．

x2y21(x≤2)． 从而动圆P的圆心的轨迹方程为22

15、（2007北京高考）已知函数ykx与yx2(x≥0)的图象相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1，l2分别是yx2(x≥0)的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．

（I）求k的取值范围；

（II）设t为点M的横坐标，当x1x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；

（III）试比较OM与ON的大小，并说明理由（O是坐标原点）．

22ykx，【解析】（I）由方程消y得x2kx20． ① 2yx2

k280，依题意，该方程有两个正实根，故解得k22．

x1x2k0，

（II）由f(x)2x，求得切线l1的方程为y2x1(xx1)y1，

2由y1x12，并令y0，得tx11 2x1

kk284x1，x2是方程①的两实根，且x1x2，故x1，k22， 22kk8

x1是关于k的减函数，所以x1的取值范围是(0，2)．

t是关于x1的增函数，定义域为(0，2)，所以值域为(，0)，

（III）当x1x2时，由（II）可知OMt

类似可得ON

由①可知x1x22．从而OMON0．当x2x1时，有相同的结果OMON0．

x11． 2x1x21xxxx．OMON1212． 2x22x1x2