2020届高三数学复习 三角函数

【教学内容】

三角函数中的给角求值、给值求值、三角函数式的化简、三角恒等式和条件等式的证明以及在三角形中的三角恒等变换及求值等内容。

【教学目标】

1、给角求值问题关键是正确地选用公式化一般角为特殊角求值，而把非特殊角的三角函数相约或相消；给值求值是附有条件的求值问题，关键是寻找已知条件与所求三角式之间的角、运算及函数名称之间的区别和联系，可将已知式进行适当变换，向所求式转化，或将所求的三角式进行变换，再把已知式代入进行计算。

2、三角函数式的化简关键是能正确运用三角公式，采用切、割化弦、通分、平方降次、1的代换等思想方法来进行化简；三角条件等式的证明关键是要比较等式两端的特征，用分析法或综合法寻找正确的证明途径，通过三角恒等变换、变角变次变名称，达到使等式两端“异”转化为“同”，或“繁”转化为“简”的目的。

3、在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，同时注意到三角变换公式，特别是几组常见的三角形中的恒等关系式，利用它们可以灵活地进行边角转换、研究三角形的边（角）关系、判断三角形的形状。

【知识讲解】

例1：求sin25252571355costg()sin()cos()sin()cos()的值 6343663 解：sin6cos3tg4sin3cos6sin6cos1 32 例2：已知tan(α-β)=1/2,tanβ=-1/7且α、β∈（0，π）求2α-β的值。

分析：要求2α-β的值，只需要先求出角2α-β的某一个三角函数值，再结合2α-β的范围来确定该角的大小，但是由于条件中所给角α、β的范围较大，但α、β实际上仅仅是一个确定的角，所以解这类习题常常需要先根据已知条件把角的范围进一步缩小，最好能使2α-β恰好在所求的三角函数的某一单调区间内，否则若2α-β的范围过大往往会出现多解，从而把不满足条件的角也包含进去了。

解：tanα=tan[(α-β)+β]=

1217111271 ，∴α∈（0，4） 3 tanβ=-1，∴2α-β∈（-π，0） 7 ∴β∈（2,π）

tan2(α-β)=

14 113443 ∴tan(α-β)=tan[2(α-β)+β]=

1711437=1 所以2α-β=-

3 4例3：已知tan2θ=-22，θ∈（4,2），求：

2cos22sin13sin()sin()33的值。

解：原式=

cossin 33cos224 ∵tan2θ=-2y=22,x=1,则r=3 ∴cos2θ=2,2θ∈(

2,π),令2θ终边上一点为的坐标P(x,y),设

1cos2631 , sin,sinθ= 23333336 所以原式=4(12)

3364例4：化简：

tan()tantan

tantan()解：∵tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)

tan()tantantan()tan()(1tantan)tantan()tantan()

tan()tantantantantan()说明：这里实际上是运用的两角和（差）的正切公式tan(α+β)=

tantan变

1tantan形，把tanα+tanβ用α+β的正切及tanα·tanβ来表示，这类问题在三角求值问题中也常遇到，如求tan(15°-α)tan(75°-α)+tan(15°-α)·tan2α+tan(75°-α) ·tan2α的值等等。

例5：已知

sinsin2sin334cot，且，求cosα

24coscos2cos323 ∴cosα≠0 4 解：∵sinα+sin3α=2sin2α·cosα cosα+cos3α=2cos2α·cosα ∴sin2αsinα=-4cosα·cos2α ∵

2

2

∴2sinα=-cos2α 即3cosα=1 ∴cosα=-

3 3例6：已知5sinβ=sin(2α+β),求证

tan()3

tan2分析：从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是α+β，α，而已知条件中的两

个角可以用α+β，α来表示，然后再运用两角和差的正余弦公式即可。

证明：∵5sinβ=sin(2α+β)

∴5sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]

∴5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα 即4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα

∴

tan()3

tan2例7：在ΔABC中，已知sinA=3/5,cosB=5/13，求cosC的值。

分析：由于三角形内角和为180°,所以求cosC的值即求-cos(A+B)的值，由cosB=5/13可知sinB=12/13但由sinA=3/5可得cosA=±4/5，在这里到底是两种情形都存在，还是只有一种情形，我们要加以判别，这是此题的关键所在。

方法一：∵sinA=

123) ∴A∈（30°，45°）∪（135°，150°） ∈(,225又cosB=

51(0,) ∴B∈(60°,90°)，此时若A∈(135°,150°) 132412,sinB, 513则A+B>180°不能构成三角形，A∈(30°,45°)

cosA∴cosC=cos(180°-A-B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=16/65

方法二:∵sinA=3/5,∴cosA=±4/5 cosB=5/13 ∴sinB=12/13

⑴若cosA=-4/5,则sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-33/65<0不合题意

⑵若cosA=4/5,则cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=16/65,综上所述：cosC=16/65

例8：求函数f(x)=

x24x2的最大值。 22分析：此题看上去似乎是一个代数中无理函数求最值的习题，但直接假设4x是不可能求出解的，这时我们可以先注意函数f(x)的定义域x∈[-2,2]，即x/2∈[-1,1]，由三角函数的性质可以设x/2=cosθ,θ∈[0,π], 这样就把代数最值问题转化为三角最值问题了，从而使问题很快解决。

2

解：∵4-x≥0 ∴-2≤x≤2, 令x=2cosθ θ∈[0,π]

则f(x)=cosθ-2+44cos2=2sinθ+cosθ-2=5sin(θ+φ)-2 其中tanφ=1/2,φ=arctan1/2,此时arctan1/2≤θ+φ≤π+arctan1/2 ∴sin(θ+ф)的最大值为1

当θ+φ=π/2 即θ=π/2-arctan1/2时“=”成立

∴f(x)≤5-2 即f(x)的最大值为5-2

【每周一练】

一、选择题：

1、若tan(α+β)=2/5 tan(β-π/4) 则tan(α+π/4) 的值为（ ） A、

133513 B、 C、 D、 22221818 2、ΔABC中，A>B是sinA>sinB的 （ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

3、已知tanα=1/7 ,tanβ=1/3,α、β均为锐角，则α+2β的值是：（ ） A、

533 B、 C、 D、或

444442，则tan(β-2α)等于（ ） 5 4、已知cotα=2，tan(α-β)=- A、

1111 B、- C、 C、- 41288 5、若sin4θ+cos4θ=1，则sinθ+cosθ的值是（ ）

A、1 B、-1 C、-1和1 D、以上均不正确 6、已知6且α、β满足3(tantana)2tan3tan0，则tan

β等于（ ） A、

33(1a) B、(1a) C、3(1a) D、3(1a) 3375logacos （其中a2）的值为（ ） 1212 7、logasin A、4 B、-4 C、2 D、-2

8、函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是： （ ）

1 A、512 B、62 C、7 D、8

9、在ΔABC中，若sin(A+B)sin(A-B)=sinC，则ΔABC的形状是（ ）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形 10、若0 A、

22

，且cos()45,sin()，则cos2α的值是 （ ） 5136363335616 B、 C、 D、或 6565656565k2 11、设，k∈Z ，T =

tansin . 则T为（ ）

cotcos A、正值 B、非负值 C、负值 D、可正可负 二、填空题：

12、已知sin0x1sinx1sinx且0≤x≤，则tanx= 2000 13、tan19tan1013tan19tan101

sin7sin8cos15 14、

cos7sin8sin15 15、若

1tan1sin2322， 则

cos21tan31)则222 16、化简3+tan(A+60°)tan(A-60°)+tanA·tan(A+60°)+tanA·tan(A-60°)为 17、若α是第二象限的角，且sin(1sinsin2cos2=

18、ΔABC，若cosA·cosB + sinA·cosB + cosA·sinB + sinA·sinB=2,则ΔABC是

00 19、sin50(13tan10)=

三、解答题： 20、已知tan22，求sin2sin2cos2()的值。 23)sin2(2) 32

3

21、化简：sin2sin3( 22、已知θ为锐角，并且sinθ-cosθ=1/2,求1-sinθ+sinθ-sinθ+…的值

377sin2x2sin2xx, 求 23、已知cos(x), 的值

451241tanx 24、ΔABC中，若tanA、tanB是方程x+mx+1=0的两个根，(1)求tan(A+B)；(2)求实

数m的取值范围。

25、已知圆o的半径为R，它的内接三角形ABC中2R(sinA-sinC)=(2a-b)sinB成

2

2

2

立，求SΔABC的最大值。

2

26、对于任一实数a，设y=1-2a-2acosx-2sinx的最小值为f(a) (1)求f(a) (2)若f(a)=

1 求：a 2[参]

一、选择题

1、B 2、C 3、A 4、B 5、C 6、D 7、B 8、C 9、C 10、C 11、A 二、填空题 12、0或4 13、-3 14、2-3 15、3-232 16、0

17、-1 18、等腰直角三角形 19、1 三、解答题 20、31 21、 92 22、解：sinθ∈（0，1）∴-sinθ∈(-1,0) 原式=

11 ，又由sinθ-cosθ= 得tanθ/2=27

1sin2111472(57) 9 ∴原式=

23、由条件知cosx-sinx= ∴tanx=7 ∴原式=723224 cosx+sinx=, sinx= 2,∴cosx=-10510528 752

24、(1)tan(A+B)=1 (2)由题意知025、

122R 2a2-2a222a1  a2 26、(1)f(a)=14a a-21  (2)a=-1