二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论

编号：

Xxxxxxxx学校

本科毕业论文

二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论

院 系：数学科学系 姓 名：XXXX 学 号：XXX 专 业：XXXX 年 级：2008级 指导教师：XXX 职 称：讲师 完成日期：2012年5月

摘 要

二元函数微分学是高等数学的重点之一,理清其基本概念之间的相互关系对于认识二元函数的性质有重要的意义,只有这样才能弄清楚二元函数连续、偏导数及可微之间的关系,才能更好地加以利用.本论文将重点对它们之间的关系加以总结和探讨,并给以证明和应用举例.

本论文正文主要介绍了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的基本知识.对它们分别进行了总结证明和进一步讨论,还总结二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的简单关系,并举出的例子加以论证支撑.

关键词：二元函数；连续；偏导数；可微

I I

Abstract

Binary Function Differential Calculus is one of the priorities of the higher mathematics, to clarify the basic concepts of the relationship between the significance for understanding the nature of the binary function, the only way to figure out the binary function continuous partial derivatives and differentiability the relationship between, in order to better take advantage of this paper will focus on the relationships between them to be summarized and discussed, and give proof of application example.

In this thesis, the text introduces binary function continuity, partial derivatives of the Existence and differentiability of basic knowledge. Them a summary of the proof and further discussion, and also summarizes the continuity of the binary function, the partial derivatives exist and micro of simple relations, citing the examples to demonstrate support.

Key words： Dual function; Continuously; Partial derivative; Differentiable

II II

目 录

摘 要 I ABSTRACT II

引 言 2

1 二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义 3 1.1 二元函数的连续性 3 1.2 二元函数的可微性 3 1.3 二元函数的偏导数 4

2 二元函数三个概念的结论总结及证明 5 2.1 二元函数连续性的结论总结及证明 5 2.2 二元函数可微性的结论总结及证明 7 2.3 二元函数偏导数存在性的结论总结 11

3 二元函数三个概念之间关系的总结 12

3.1 二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证 12

3.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明 3.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明

3.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证 13

3.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明 13 3.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明 15

4 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图 22结 束 语 23 参考文献 24 致 谢 25

1212

引 言

二元函数微分学是一元函数微分学的推广,因此它保留了一元函数微分学的许多性质.但由于自变量由一个增加到两个,从而产生了某些本质上的新的内容.如一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点可微,反之亦然.但在二元函数微分学中,函数在某点偏导数存在,推不出它在这点可微.又如,一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点必连续.但在二元函数微分学中,函数在某点的偏导数都存在,却推不出它在这点连续.同时二元函数微分学是高等数学教学中的一个重难点,它涉及的内容实际上是微积分学内容在二元函数中的体现,其中有关二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点.

当前,二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果,但是,在国内的许多教材中只是对它们三者的定义作了说明,而对它们之间的关系很少提及或没有提到,在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略浅显,在一些学术性论文中也只是对二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性的个别关系做了具体的说明,因此在让学生学习这方面的知识时能达到对这方面知识可以做到全面的掌握让是当前教学中的一大难题.

本文具体就二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系通过实例作深入的探讨,就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究,对教材内容做一些适当的补充和扩展,为后继课程的学习奠定基础.然后总结有关二元函数微分学中这关于二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这三个概念之间的关系,并对二元函数具体的实例详细加以证明,建立他们之间的关系图.这样对有效理解和掌握多元函数微积分学知识将起到重要作用.

1 二元函数的连续、偏导数及可微性概念

二元函数的连续、偏导数及可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限.考虑函数fx,y在点(x0,y0)的情形,它们分别为： 1.1 二元函数的连续性

定义1 设f为定义在点集DR2上的二元函数,P0D(它或者是D的聚点,或者是D的孤立点).对于任给的正数,总存在相应的正数,只要,就有 PU(P)D0;f(P)f(P0),

则称f关于集合D在点P0连续,在不致误解的情况下,也称f在点P0连续.

若f在D上任何点都关于集合D连续,则称f为D上的连续函数. 由上述定义知道：若P0是D的孤立点,则P0必定是f关于D的连续点；若P0是D的聚点,则f关于D在P0连续等价于

limfPfP0

PP0PD1.2 二元函数的可微性 与一元函数一样,在二元函数微分学中,主要讨论二元函数的可微性及其应用,我们首先建立二元函数可微性概念.

定义2 设函数zfx,y在点P0x0,y0的某邻域UP0内有定义,对于

UP0中的点Px,yx0x,y0y,若函数f在点P0处的全增量z可表示为:zfx0x,y0yfx,yAxBy,

其中A,B是仅与点P0有关的常数,x2y2,是较高阶的无穷小量,则称函数f在点P0处可微,并称上式中关于x,y的线性函数

AxBy为函数f在点P0的全微分,记作

dz|P0df(x0,y0)AxBy .

由上可知dz是z的线性主部,特别当x,y充分小时,全微分dz可作为全增量z的近似值,即

fx,yfx0,y0A(xx0)B(yy0)

在使用上,有时也把zfx0x,y0yfx,yAxBy写成如

下形式zAxByxy,这里

x,y0,0limx,y0,0lim0

1.3 二元函数的偏导数 由一元函数微分学知道：若fx在点x0可微,则函数增量

fx0xfx0Axx,

其中Afx0.同样,若二元函数f在点(x0,y0)可微,则f在(x0,y0)处的全增量可由zfx0x,y0yfx0,y0AxBy表示.现在讨论其中A、B的值与函数f的关系.为此,在式子zAxByxy中令

y0(x0),这时得到z关于x的偏增量xz,且有xzAxx或者

xzA x现让x0,由上式得A的一个极限表示式

Alimxzfx0x,y0fx0,y0lim,

x0xx0x容易看出,上式右边的极限正是关于x的一元函数fx,y0在xx0处的导数.类似地,

令x0(y0), 由

zAxByxy又得到

Blyzyx0liy0fx0,y0yfx0,y0,它是关于y的一元函数fx0,y在immyyy0处的导数.

综上所述,可知函数zfx,y在点(x0,y0)处对x的偏导数,实际上就是把

y固定在y0看成常数后,一元函数zfx,y0在点x0处的导数,同样,把x固定

在x0,让y有增量y,如果极限存在,那么此极限称为函数zfx,y在(x0,y0)点处对y的偏导数.记作fyx0,y0.

因此,二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为偏导数,可定义如下：

定义3 设函数zfx,y,(x,y)D.若(x0,y0)D,且fx,y0在x0的某一邻域内有定义,则当极限limxfx0,y0fx0x,y0fx0,y0lim存在时,

x0x0xxf|(x,y) x00称这个极限为函数f在点x0,y0关于x的偏导数,记作fxx0,y0或

注意 1 这里符号仿,但又有差别.

d,专用于偏导数算符,与一元函数的导数符号相xydx注意 2 在上述定义中,f在点x0,y0存在关于x（或y）的偏导数,f至少在(x,y)|yy0,xx0（或(x,y)|xx0,yy0）上必须有定义.

若函数zfx,y在区域D上每一点x,y都存在对x（或对y）的偏导数,则得到函数zfx,y在区域D上对x（或对y）的偏导数（也简称偏导数）,记作fxx,y或

f(x,y)ff(x,y)（fyx,y或）,也可简单地写作fx,zx或xxy（fy,zy或

f）. y2 二元函数三个概念的进一步研究

2.1 二元函数连续性的进一步研究 一元函数若在某点存在左导数和右导数,则这个一元函数必在这点连续,但对于二元函数fx,y来说,即使它在某点P0x0,y0既存在关于x的偏导数

fxx0,y0,又存在关于y的偏导数fyx0,y0,fx,y也未必在点P0x0,y0连续.不过,我们却有如下定理：

定理1 设函数zfx,y在点P0x0,y0的某邻域UP0内有定义,若fx0,y作为y的一元函数在点y=y0连续,fxx,y在UP0内有界,则fx,y在点

P0x0,y0连续.

证明 任取x0x,y0yUP0, 则

fx0x,y0yfx0,y0

fx0x,y0yfx0,y0yfx0,y0yfx0,y0 (1) 由于fxx,y在UP0存在,故对于取定的y0y, fx,y0y作为x的一

元函数在以x0和x0+x为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在∈(0 ,1) ,使

fx0x,y0yfx0,y0yfxx0x,y0yx

将它代入(1) 式, 得

fx0x,y0yfx0,y0

fxx0x,y0yxfx0,y0yfx0,y0 (2)

由于x0x,y0yUP0 ,故fxx0x,y0y有界,因而当

x,y0,0时, 有

f(x0x,y0y)x0.

又据定理的条件知,fx0,y在y=y0连续,故当x,y0,0时, 又有

f(x0,y0y)f(x0,y0)0.

所以, 由(2) 知, 有

limf(x0x,y0y)f(x0,y0)0.

x0y0这说明fx,y在点P0x0,y0连续.

推论 1 设函数zfx,y在点P0x0,y0的某邻域UP0内有定义,若

fx0,y作为y的一元函数在点yy0连续,fxx,y在点P0x0,y0 连续,则

fx,y在点P0x0,y0连续.

证明 由于fxx,y在点P0x0,y0 连续,故fxx,y必在点P0x0,y0的某邻域内有界,因而据定理1 ,fx,y在点P0x0,y0连续.

推论 2 设函数zfx,y在点P0x0,y0的某邻域UP0内有定义. 若

fxx,y在UP0有界, fyx0,y0存在,则fx,y 在点P0x0,y0连续.

证明 由于fyx0,y0存在,故fx0,y作为y的一元函数在点y=y0连续,从而据定理1可得 ,fx,y在点P0x0,y0 连续.

推论 3 设函数zfx,y在点P0x0,y0的某邻域UP0内有定义,若

fxx,y在点P0x0,y0连续, fyx0,y0存在,则fx,y在点P0x0,y0连续.

证明 由于fxx,y在点P0x0,y0连续,故fxx,y必在点P0x0,y0的某邻域内有界. 又由于fyx0,y0存在,故fx0,y作为y的一元函数在点yy0连续,因而据定理1可得出 ,fx,y在点P0x0,y0连续.

同理可证如下的定理2及其推论.

定理 2 设函数zfx,y在点P0x0,y0的某邻域UP0有定义,fyx,y在

UP0内有界,fx,y0作为x的一元函数在点x=x0连续,则fx,y在P0x0,y0

连续.

推论 1 设函数zfx,y在点P0x0,y0的某邻域内UP0有定义, fyx,y在点P0x0,y0连续, fx,y0作为x的一元函数在点xx0连续,则fx,y在点

P0x0,y0连续.

推论 2 设函数zfx,y在点P0x0,y0的某邻域内UP0有定义,fyx,y在UP0内有界, fxx0,y0存在,则fx,y在点P0x0,y0 连续.

推论 3 设函数zfx,y在点P0x0,y0的某邻域UP0有定义, fyx,y 在点P0x0,y0连续, fxx0,y0存在,则fx,y在点P0x0,y0连续.

2.2 二元函数可微性的进一步研究 众所周知,一元函数中,可微性与可导是一回事,但在二元函数中情况就不同了.

定理 3 函数f(x,y)在点P(x0,y0)可微的充分必要条件是f(x,y)在点

P(x0,y0)的俩个偏导数都存在,且对0,0,当

f(x,y)f(x0,y)f(x,y0)f(x0,y0)(xx0yy0).

证明 必要性 已知函数f(x,y)在点P(x0,y0)可微,故fx(x0,y0)与fy(x0,y0)存在,且

zf(x,y)f(x0,y0)fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(), 其中(xx0)(yy0). 即

f(x,y)f(x0,y)f(x,y0)f(x0,y0)

fx(x0,y0)(xx0)f(x0,y)f(x0,y0) fy(x0,y0)fy(x0,y0)(yy0)f(x0,y)f(x0,y0)()

于是,当(x,y)(x0,y0)时,有

f(x,y)f(x0,y)f(x,y0)f(x0,y0)xx0yy0fx(x0,y0)f(x0,y)f(x0,y0)xx0xx0

f(x0,y)f(x0,y0)yy0yy0

fy(x0,y0)() 

fx(x0,y0)f(x0,y)f(x0,y0)

xx0fy(x0,y0)f(x0,y)f(x0,y0)()0(0)

yy0从而当0（即(x,y)(x0,y0)）时,

f(x,y)f(x0,y)f(x,y0)f(x0,y0)xx0yy00

即0,0,当xx0与yy0且(x,y)(x0,y0)时,有

f(x,y)f(x0,y)f(x,y0)f(x0,y0)xx0yy0

所以,0,0,当xx0与yy0且(x,y)(x0,y0)时,有

f(x,y)f(x0,y)f(x,y0)f(x0,y0) (xx0yy0).

充分性 已知函数f(x,y)在点P(x0,y0)两个偏导数存在,0,0,当

xx0与yy0且(x,y)(x0,y0)时,有

f(x,y)f(x0,y)f(x,y0)f(x0,y0)(xx0yy0)

令(xx0)(yy0),则当0时,有

f(x,y)f(x0,y)f(x,y0)f(x0,y0)于是当(x,y)(x0,y0)时,有

0

zfx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)fy(yy0)

f(x,y)f(x0,y)f(x,y0)f(x0,y0)f(x0,y)f(x0,y0)(xx0)

xx0f(x0,y)f(x0,y0)fy(x0,y0)(yy0)

yy0从而有

zfx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)fy(yy0)f(x,y)f(x0,y)f(x,y0)f(x0,y0)



f(x0,y)f(x0,y0)xx0fx(x0,y0)() xx0f(x0,y)f(x0,y0)yy0f(x,y))0(0) x00(xx0所以,函数f(x,y)在点P(x0,y0)可微.证毕.

定理 4 若函数zfx,y在x0,y0点处,fxx,y连续fyx0,y0存在（或

fxx0,y0存在,fyx,y连续）,则函数zfx,y在x0,y0处可微.

由此定理的条件仍有对一个偏导数（二元）连续性的要求.因而用来判断函数的可微性仍有较大的局限性.例如：对于函数

1222xsinxy022, xy 2f(x,y)2xy00,12x3122fxx,y2xsin2cos(xy0)有 222222xy(xy)xy2x2y1fyx,y2cos(x2y20) 2222(xy)xyfxx,02xsin从而

121cos(x0) 22xxxfyx,x11cos2(x0) 2x2x由于limfx(x,0)和limfy(x,x)都不存在,因而fx(x,y)和fy(x,y)在点(0,0)都

x0x0不连续.关于f(x,y)在点(0,0)的可微性,无论是根据教材中所介绍的定理,还是根据上述定理都不能给出肯定的结论.

本文给出另一个可微的充分条件,它完全放弃对两个偏导数（二元）连续性的要求,因而对某些函数可微性的判定有独到的作用.为了叙述方便,引入如下概念.

定义 如果对于函数zf(x,y)存在0,使得当y时,fx(x0,y0y)存在,且当x0时,变量

f(x0x,y0y)f(x0,y0y)fx(x0,y0y)(x0), (x,y)x0(x0),关于y一直趋向于0,即对任意的0,存在0,当0x时,对任意都有(x,y)成立,我们就称函数zf(x,y)在点(x0,y0)关于y（y）

y对x一致可导.

类似地可定义zf(x,y)在点(x0,y0)关于x对y一致可导.

定理 5 若函数zf(x,y)在点(x0,y0)有：fy(x0,y0)存在,f(x,y)关于y对

x一致可导,且fx(xo,y)在y0连续,则zf(x,y)在点(x0,y0)可微.

证明: 因fy(x0,y0)及fx(x0,y0y)(y)存在,故有

y(x0,y0)f(x0x,y0y)f(x0,y0)

f(x0x,y0y)f(x0,y0y)f(x0,y0y)f(x0,y0)

fx(x0,y0y)(x,y)xfy(x0,y0)(y)y

fx(x0,y0y)x(x,y)xfy(x0,y0)y(y)y

（3）

其中(x,y)如前述定义,而(y)0（x0,y0)）, 于是有

x0y0lim(y)yxy220 （4）

又因为fx(x0,y)在y0连续,故有

limfx(x0,y0y)fx(x0,y0) （5）

x0y0再由(x,y)所具备的性质知,对任意0,存在0(),当

x,y且x2y20时,有(x,y)此即lim(x,y)0

x0y0从而

x0y0lim(x,y)xxy220 （6）

综合（3）——（6）式即得

x0y0limf(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yx2y20

可见f(x,y)于(x0,y0)可微.

显然,调换定理条件中fx和fy的位置,结论仍然成立.

指出,尽管定理5已完全放弃对两个偏导数的（二元）连续性要求,但它所给出的条件仍然不是可微的必要条件.因此,如何用两个偏导数所应具备的性质来等价地刻画二元函数的可微性,就需要进一步的探讨,这对以后仍是大我们还要有裨益的.

1. 若果f在点(x0,y0)处不连续或偏导数不存在,则f在点(x0,y0)处不可

微.

2. 若果f在点(x0,y0)处连续,存在fx(x0,y0)、fy(x0,y0),则f在点

(x0,y0)处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式： （1） zf(x0x,y0y)f(x0,y0)

fx(x0,y0)xfy(x0,y0)y(x2y2其中0

（当x0,y0）

（2） zf(x0x,y0y)f(x0,y0)

fx(x0,y0)xfy(x0,y0)y1x2y 其中10,20（当x0,y0时）

推论 4 若二元函数zf(x,y)在(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)均存在,且fxy(x0,y0)或者fyx(x0,y0)存在,则函数f(x,y)在(x0,y0)处可微.

证明 不妨设fxy(x0,y0)存在（fyx(x0,y0)存在的情形可作类似证明）.因为

fxy(x0,y0)lim所以

yy0yy0fx(x0,y)fx(x0,y0)

yy0limfx(x0,y)fx(x0,y0),

即fx(x0,y)在yy0处连续.根据定理3可知函数f(x,y)在(x0,y0)处连续. 2.3 二元函数偏导数存在性进一步研究

二元函数fx,y在点(x0,yo)的两个偏导数有明显的几何意义：设

M0(x0,y0,f(x0,y0))为曲面zf(x,y)上的一点,过M0作平面yy0,截此曲面

得一曲线,此曲线在平面yy0上的方程为zf(x,y0),则导数

df(x,y0)|xx0, dx即偏导数fx(x0,y0),就是这曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.同样,偏导数fy(x0,y0)的几何意义是曲面被平面xx0所截得的曲线在点M0处的切线

M0Ty对y轴的斜率.

我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续.但对于二元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时,函数值f(p)趋于f(p0),但不能保证点P按任何方式趋于P0时,函数值f(p)都趋于f(p0).

3 二元函数三个概念之间关系的总结

3.1 二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证

对一元函数来说,可导必连续.但对二元函数来说,即使fx,fy存在但f也不一定连续.事实上,对于二元函数来说,函数在一点处的偏导数存在和函数在该点处连续是没有必然联系的.下面加以说明这个问题. 3.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明

例 1 讨论函数gx,yx2y2在点0,0处的连续性和偏导数是否存在？ 解： 由

x,y0,0limgx,y0

x,y0,0limx2y2

g(0,0)

可知函数gx,yx2y2在点0,0连续. 而由偏导数定义：

fx(00)limg(0x,0)g(0,0)

x0xx1,x0x2 limlimx0xx0x1,x0该极限gx0,0不存在,同理可证gy0,0也不存在. 所以函数g(x,y)在0,0点的偏导数不存在. 由此说明,二元函数在一点连续,偏导数未必存在. 3.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明

xy0x2y2,例 2 函数fx,y 在点0,0处fx0,0,fy0,0

xy01,

存在,但不连续.

证明 由偏导数定义：

f0x,0f0,0fx0,0lim x0xlimx

x0 0 同理可求得 fy0,00 因为

x,y0,0limfx,yx,y0,0limx2y20f0,01

x2y2,xy0故函数fx,y 在点0,0处不连续.

xy01,综上可见,对于二元函数fx,y在某点x0,y0的连续性与偏导数存在,两者之间没有必然的联系,即fx,y在某点x0,y0偏导数存在与否,与其在该点是否连续无关.

但如果假定函数的各个偏导数有界,即有下面命题：

命题 1 如果二元函数f在点P(x0,y0)的某邻域U(P)内的偏导数fx,fy有界,则f在U(P)内连续.

证明 由fx,fy在U(P)内有界,设此邻域为U(P,1),存在M0,使

fxM,fyM ,在U(P,1)内成立,由于

Zf(xx,yy)f(x,y)fx(x1x,yy)xfy(x,y2y)yMxMy（其中01,21）.

所以对任意的正数,存在1,,当x,y时,有

2(M1)f(xx,yy)f(x,y),故f在U(P,)内连续.

3.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证 3.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明

定理 6 （可微的必要条件）若二元函数zfx,y在其定义域内一点

P0x0,y0处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且

d|x0,y0fxx0,y0dxfxx0,y0dy ,Afxx0,y0,Bfyx0,y0. 证明 由于fx,y在点P0(x0,y0)可微,则

zfx0x,y0yf(x0,y0)AxBy()

其中,x,y为自变量x,y的该变量,A,B仅与点P0(x0,y0)有关,而与x,y无关,x2y2.若令yy0即y0,于是x,故zAx(x)可见

(x)zAxx,

fx(x0,y0)(x)z|(x0,y0)lim(A)Ax0xx,即

fxx0,y0A,类似可证fyx0,y0B.

可见,对于二元函数,偏导数的存在是函数zf(x,y)可微分的必要条件.但是偏导数的存在不是函数可微分的充分条件.事实上,当一个二元函数

zf(x,y)在点(x,y)处的偏导数

zz,都存在时,尽管形式上可以写成式子xyzzxy,但是它与z之间可以不是x2y2的高阶无穷小,因而由xy定义,此时函数zf(x,y)在点(x,y)处是不可微的.

注 1：定理5的逆命题不成立.即二元函数fx,y在点P0x0,y0处的偏导数即使存在也不一定可微.

下面用例3说明函数在一点的偏导数存在,但函数在该点却不可微.

22xyxy0,22例 3 证明函数fx,yxy 2 在原点两个偏导数存2xy00,在,但不可微.

证明 由偏导数的定义：

fx0,0limx0f0x,0f0,0

x =lim000

x0x同理可证fy0,00,即在原点关于x与y的偏导数存在. 下面利用可微的定义来证明其不可微 用反证法：

若函数f在原点可微,则

fdff00,0dxfy0,0dy f0x,0yf0,0xy  22xy应是较x2y2的高阶无穷小量,为此考察极限

lim0fdflimxy

0x2y2当动点x,y沿直线ymx趋于0,0时, 则

xymm lim2x,y0,0x2y2x,y0,01m21mymxlim这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在.故函数f在原点不可微. 3.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明

定理 7 （可微的充分条件） 若二元函数zfx,y的偏导在点P0x0,y0的某邻域内存在且fx与fy在点P0x0,y0处连续,则函数fx,y在点P0x0,y0可微.

可微的充分条件可以改进： 如果函数zfx,y满足以下条件： 1. fx(x,y)在点(x0,y0)处存在；

2. fy(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内存在； 3. fy(x,y)在点(x0,y0)处连续； 则f(x,y)在点(x0,y0)处可微.

证明 由于fx(x0,y0)存在,即有：

f(x0x,y0)f(x0,y0)limfx(x0,y0) x0x即：

f(x0x,y0)f(x0,y0)fx(x,y)（其中lim0）

x0x则

f(x0x,y0)f(x0,y0)fx(x0,y0)xx

由于fx(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内存在,不妨设fy(x,y)在

{(x,y)|xx01且yy02}内存在

设g(y)f(x0x,y)并规定x1

则g(y)在y|yy02上每一点都存在,从而g(y)在y|yy0222上每一点都连续,规定：y22

则根据中值定理存在y1,使得：g(y0y)g(y0)g(y1)y（其中

y1y0y）

即：

f(x0x,y0y)f(x0x,y0)fy(x0x,y1)y

当x2y20且y0 从而有x0xx0,y1y0

又由于fy(x0x,y1)fy(x0,y0)在点(x0,y0)处连续

fy(x0x,y1)fy(x0,y0)

其中则

x2y20lim0

f(x0x,y0y)f(x0x,y0)fy(x0,y0)yy

综上所述有：

f(x0x,y0y)f(x0,y0)

f(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0y)f(x0,y0) fx(x0,y0)xxfy(x0,y0)yy

又由于

x2y20limxyxy220

故f(x,y)在点(x0,y0)点可微.证毕.

教材中关于二元函数的微分一般只是分别给出了必要条件和充分条件,对可微的充要条件涉及比较少.偏导数的存在是函数可微的必要条件而不是充分条件,但是,如果在假设函数的各个偏导数连续,则函数是可微的.但此条件给的太强,于是我们总结了判别二元函数在某点可微的一个充分条件,可对此定理的条件进行减弱,得出：

定理 8 若函数zfx,y在点P0x0,y0的邻域G内fxx,y连续,fyx0,y0

存在,则函数f在点x0,y0可微.

证明 全增量zfx0x,y0yf(x0,y0)

f(x0x,y0y)f(x0,y0y)f(x0,y0y)f(x0,y0)

这里第一个括号是当yy0y时函数关于x的增量,而第二个括号则是当

xx0时函数关于y的增量,对于它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,得

zfxx01x,y0yxfy(x0,y02y)y (01,21) 由于fxx,y,fyx0,y0在点x0,y0连续,因而有

fxx01x,y0yfx(x0,y0),fyx0,y02yfy(x0,y0), 其中当((x,y)0)时,0,0.

所以zfxx0,y0yxfyx0,y0yxy 令x2y2,则当0时,

xy(xyxy)是关于的高阶无穷小.事实上,由于

而当0时0,即xy().

这就证明了zf(x,y)在点(x0,y0)是可微的.

1x2eysin,y0y例 4 求证f(x,y)在点(0,0)可微.

0,y0证明 因为

ff(xx,y)f(x,y)(x,y)lim

x0xxexxy2sinlimx011exy2sinyy

xexy2sinlimx01x(e1)y

xexy2sin1(y0) y

ff(x,yy) (x,y)limy0xyex(yy)2sinlimy011exy2sinyyy

y2exysin1x111ecosex(2ysincos).(y0) yyyyff(xx,0)f(x,0)00(x,0)limlim0

x0x0xxx同理即

f(0,y)0 y1x2eysin,y0fy (x,y)x0,y011xe(2ysincos),y0fyy (x,y)x0,y0于是fx(0,0)fy(0,0)0 又limexy2sinx0y010, y所以fx(x,y)在点(0,0)连续. 但limex(2ysinx0y011cos)不存在,即fy(x,y)在(0,0)点不连续. yy又定理8可知f(x,y)在点(0,0)可微.

显然,与传统的判别方法相比,这个充分条件更加减弱了判别条件,进一步阐明了二元函数偏导数与可微性的关系,使适用范围扩大,适用性加强.

注意 这个条件是可微的充分条件并非必要条件,即zfx,y在x0,y0的邻域G内fyx0,y0存在但fxx,y不连续,但fx,y在点x0,y0也可微.

下面我们用例5说明函数在一点可微,但它的偏导数在该点却不连续. 例 5 求函数

122xysin,x2y2022xy 2fx,y,在原点0,0处,（1）fy0,0是2xy00,否存在 （2）fx是否连续（3）是否可微.

解 （1） 由定义知

fx0,0limf0,yf0,0

yy0y2sin lim所以fy0,0存在.

1y2y0y0

（2） 因为当x2y20时,fx,y偏导数存在,故

111,x2y202xsincos222222 fxx,y, xyxyxy 22xy00,而limfxx,y不存在,故fx,y在原点不连续.

x0y0（3）法 1：因fx(0,0)limx0fx,0f0,01limxsin20 x0xxfy(0,0)limy0f0,yf0,01limysin20 y0yy则dffx0,0dxfy0,0dy0

ffx,yf(0,0)(x2y2)sin11 22xy2sin12（x,y:x2y20）

从而lim0fdf2sinlim02limsin0120

即函数fx,y在点0,0可微.

法 2：fx(0,0)0,fy(0,0)0,

fxy(0,0)limy0fx(0,y)fx(0,0)0

y0即fx(0,0),fy(0,0)存在,且fxy(0,0)存在.根据推论4可知题设所给函数

f(x,y)在(0,0)处可微.

3.3 二元函数连续性与可微性的关系及例证

类似于一元函数的连续性与可导性间的关系,即二元函数fx,y在点

P0x0,y0可微,则必连续.反之不然.

定理 9 若二元函数fx,y在其定义域内一点x,y可微,则f在该点必然连续.

证明 事实上zxy,limz0,

0x0y0limfxx,yylimfx,yzfx,y

0故f在x,y连续.

注意 函数fx,y在某点x,y可微,则fx,y在该点连续;但fx,y在某点

x,y连续,函数在该点却不一定可微.

例 6 证明函数fx,y|xy|在点0,0连续,但它在点0,0不可微.

证明 （1） 因为limfx,ylim|xy|0f0,0,故函数fx,y|xy|x0y0x0y0在点0,0连续.

（2） 因为ff(0x,0y)f(0,0)|x||y|

dffx0,0dxfy0,0dy0

所以 lim0fdflim|x||y|(x)(y)22x0y0

当动点x,y沿直线yx趋于0,0时,有

x0y0lim|x||y|(x)2(y)210 2即lim0fdf0,故fx,y在原点0,0不可微.

例 7 函数f(x,y)xy在点(0,0)处连续,但在(0,0)点不可微. 解： 因为

x,y0,0limfx,yx,y0,0lim(xy)0f(0,0)

所以f(x,y)xy在点(0,0)处连续. 又因为fx(0,0)limx0xf(0x)f(0,0)lim,此极限不存在；同理x0xxfy(0,0)的极限也不存在.因此不能把zAxBy()的形式.

4 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图

如果函数zfx,y在点(x,y)可微分,则函数在该点必连续,反之不一定成立.

如果函数zfx,y在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏导数必存在,反之一定成立.

如果函数zfx,y在点(x,y)连续,则偏导不一定存在. 如果函数zfx,y在点(x,y)偏导存在,则不一定连续.

如果函数zfx,y在点(x,y)偏导连续,则函数在该点必可微,反之不一定成立.

综上所述二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的关系如下图所示.

偏导连续 可微 连续 偏导存在

结束语

本文对二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间关系的讨论,根据分析可以看出二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系比一元函数连续、导数存在及可微之间的关系要复杂的多,究其原因主要在于二元函数极限比一元函数极限对自变量的要求更高、更复杂.如limf(x)只要求在x从x0的

xx0左右俩侧趋向于x0时,f(x)趋于同一值.而对

x,yx0,y0limfx,y要求点x,y以

任何方式趋向于点x0,y0时,fx,y都趋向于同一极限,任何方式包含了x与y的不同关系以及趋向时的不同路径,从而导致二元函数产生了二重极限与累次极限的区别,正是由于二元函数极限的这种复杂性导致了二元函数诸多关系的复杂性.依据本文的分析得出它们三者之间的关系,不但对学习是一种积极的推动作用,有助于使学生对这方面的知识不会产生干扰,能较好地辨别它们之间的本质区别,使得原有知识更加牢固,也同时抓住了函数的本质.

这方面的知识繁多,证明的方法难易悬殊,使用技巧各异,而且同一问题也可用多种不同方法来解决. 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间关系的知识是人类智慧最伟大的成就之一,是数学上的伟大创造,它现在广泛影响着生产技术和科学的发展,如今已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具.以上我从比较初等的方法入手,进而对二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的若干概念、定理、性质等内容这一方面的内容作了浅显的论述,将初等数学和高等数学的有关内容衔接起来,从而在整体上更好地理解有关这方面的知识.至于解决具体问题时个人可依据知识的储备、问题的要求来进行方法的选择.

本文列举了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这方面的知识和证明方法,根据证明方法、举例、适用范围进行了归纳总结,力求有理论依据、有例题参考、有实用价值．从定义出发证明是最“原始”的做法,不易被人想到,但它在证明中确有其优势.证明的方法应该还有很多,对于其它新的方法有待于进一步探索与研究.

为此,我们有必要学习好、掌握好二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系这方面的知识,配以先进的管理观念和现代化的通信、网络、计算机技术,尽可能的把这些知识灵活运用推广,满足其他行业对这些知识的需要,创造更好的经济效益和社会效益.

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[17] 罗炳荣. 《数学》（报考理工科研究生复习指导丛书）.湖南科学技术出版社,.高等教

育出版社,1985.327.

致谢

大学的读书生活在这个季节即将划上一个句号,而于我的人生却只是一个逗号,我将面对又一次征程的开始.几年的求学生涯在师长谆谆教导、亲友的大力支持下,走得辛苦却也收获满囊,在论文即将付梓之际,思绪万千,心情久久不能平静. 伟人、名人为我所崇拜,可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人—我的导师—周红玲老师.我不是最出色的学生,而您却是我最尊敬的老师.您治学严谨,学识渊博,思想深邃,视野雄阔,为我营造了一种良好的精神氛围.精益求精的作风,诲人不倦、平易近人的态度对我影响深远.“授人以鱼不如授人以渔”,置身其间,耳濡目染,潜移默化,使我不仅接受了全新的思想观念,领会了基本的思考方式,还明白了许多做人的道理.从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的惊喜.

在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意！ 同时也感谢学院为我提供良好的写作毕业论文的环境.

最后再一次感谢所有在毕业论文写作过程中曾经帮助过我的良师益友和同学,以及在论文中被我引用或参考的论著的作者.

1 连续与偏导的关系

1.1 函数在一点连续而在该点偏导数不存在

例1：f(x,y)xy在点(0,0)处连续而函数在该点偏导不存在。 解：由 于limf(x,y)0f(0,0)所以f(x,y)在(0,0)点连续。

x0y0由fx(0,0)limx，知fx(0,0)不存在；同理fy(0,0)也不存在。

x0x1.2 函数在一点偏导数存在而在该点不连续

xyx2y2022例2：f(x,y)xy, 2 2xy00,在点(0,0)处偏导数存在而函数在该点不连续。

解：由偏导数定义可得fx(0,0)0及fy(0,0)0 而

当

点

p(x,y沿

着

yk趋

近于

(0,0)时

xykx2klimf(x,y)lim2lim， 22222x0x0x0xyxkx1ky0ykx0显然它是随着k的不同而改变，所以此函数在(0,0)点不连续。 2 偏导与可微的关系

（1）函数zf(x,y)在点p(x,y)可微分，那么函数zf(x,y)在点p(x,y)的偏导数必存在。

（2）函数在一点偏导数存在而在该点不可微

xy22xy022f(x,y)例3： xy，22xy00,在点(0,0)处偏导数存在而函数在该点不可微。

解：由偏导数定义易得fx(0,0)0及。 下面证明函数在(0,0)点不可微；

zfx(0,0)xfy(0,0)yxy(x)(y)22，如果考虑p(x,y)沿着直线yx

xy趋于(0,0)，则(x)2(y)2xyxx1，这表明0时，2222(x)(y)(x)(x)2zfx(0,0)xfy(0,0)y并不是一个比较高阶的无穷小，因此函数在点(0,0)处

不可微。

如果再假定函数zf(x,y)的个偏导数函数，则函数在该点的全微分存在。 （3）如果函数的偏导数在点p(x,y)连续，则函数在该点的全微分存在。 证明见同济大学编《高等数学》。

（4）函数在一点可微，偏导数存在但偏导数在该点不连续

22122xy0xysin,22xy例4：fx,y 22xy00,在点(0,0)处可微但偏导数在该点不连续。

f0x,0f0,0limx0x解：由偏导数定义得fx0,0lim理fy(0,0)0，

(x)2sinxx01x20，同

22(x)(y)zfx(0,0)xfy(0,0)ysin1，

(x)2(y)21(x)2(y)2sin(x)2(y)2(x)2(y)2sin10，这表明22(x)(y)0时，zfx(0,0)xfy(0,0)y是一个比较高阶的无穷小，因此函数在点

(0,0)处可微。

2212x1xy02cos2,2xsin2222xyxyxy fxx,y22xy00,而当点p(x,y)沿着yx趋于0时，

lim111fx(x,y)lim2xsin2cos2不存

x0x02xx2xyx在，

同理，

limfx(x,y)不存在，因此偏导数在点(0,0)处不连续。

x0yx3 连续与可微的关系

3.1函数在一点连续而在该点不可微 例题同例1.

由该文二中的第二条可知偏导数存在是可微的必要条件，例1给出的函数在点(0,0)偏导数不存在，所以函数在该点不可微。

3.2 函数在一点连续且在该点偏导数存在而在该点不可微 例题同例3.

3.3 函数在一点可微，则函数在该点必连续 证明：因为函数在点

p(x0,y0)可微，由全微分定义知

zfx(x0,y0)xfy(x0,y0)y()

则

lim(z)0，因此函数在点p(x0,y0)连续。

xx0yy0综上所述，多元函数在点p(x,y)可微分，那么函数在p(x,y)的偏导数必存在。即偏导数存在时可微的必要条件但不是充分条件。而多远函数偏导数在点p(x,y)连续是函数在该点可微的充分条件，但不是必要条件。但是，多元函数在一点连续在该点其偏导数不一定存在，也不一定可微；多元函数在一点偏导数存在而在该点不一定连续；多元函数在一点可微在该点也不一定连续。 参看文献

［1］同济大学数学教研室，高等数学【M】。北京：高等教育出版社，1996（4）。 ［2］张尊国。高等数学学习导引【M】。北京：海洋出版社，1993.