高二数学数列教案

高二数学数列教案

§2.1数列

一：教学目标：

1、知道数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列。

2、理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。

二：教学重点：

1、 数列的概念及数列与集合的区别

2、 数列与函数的关系

3、 归纳数列的通项公式

三：教学过程：

一、问题情境

（1）填数：2，4，6，，10；

（2）：-1，1，-1，1，......

（3）细胞：1，2，4，8，16，......，（象棋中放米粒）

（4）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，......

（5）奥运会金牌数：（1984-2004）15，5，16，16，28，32

问：上面这些例子有什么共同的特点？

二、学生活动:

通过观察发现：

1、 每一个问题里都有一系列的数

2、 这些数有一定的次序，前后位置不能颠倒，并且有些数可以相同，但表示不同的意义。

通过讨论，得到这些情景的共同特点是都有一组按照一定次序排列的数。

三：数学建构

1、 数列：按照一定次序排列的一列数

与集合比较：（1）有序；（2）不互异

2、 数列的项：数列中的每个数

用小写的英文字母：简记为

第1项（首项），第n项

3、 数列与函数的关系：

（1） 定义域：（或它的有限子集）

（2） 自变量由小到大依次取值

（3） 函数值

4、 数列的通项公式：数列的第n项与序号n之间的关系可用一个公式来表示

（1） 作用：给出一个数列

（1） 数列简记为所有奇数前5项（2）（3）

（2）①不是每个数列都能写出它的通项公式；

②有的数列虽然有通项公式，但形式不唯一；

③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的

四：数用

例1：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式. ⑴ ⑵ 摆动数列 练：（） ⑶ ⑷ ⑸ ⑹

⑺ 练：（） ⑻解：⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

⑺ 练：

⑻

5．数列的表示方法：

函数、列表法、图象法，解析法

通项公式

例2：数列的通项公式是：，

⑴做出图象；⑵数列中有多少项是负数？⑶为何值时，有最小值？并求出最小值.

6．数列的分类：

恒成立

例3：已知数列的通项公式为，其中均为正数，比较与的大小.

解： 增练：最大项是，最小项是.

五：回顾小结

1、 数列的概念及分类，数列和函数的关系

2、 数列的通项公式

六：课外作业

1、 课后练习5，6

2、 习题1，2，3，4，5，6

§2.2.1 等差数列

教学目标

1． 明确等差数列的定义．

2． 能用定义判断一个数列是否为等差数列.

3． 掌握等差数列的通项公式，了解等差数列通项公式的推导过程及思想，并能在解题中加以利用.

教学重点

1． 等差数列的概念；

2． 等差数列通项公式的推导及应用.

教学难点

理解等差数列\"等差\"的特点及通项公式的含义.

教学方法

启发式数学

教具准备

多媒体ppt(内容见下面)

教学过程

上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法--通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点.

一、 问题情境

（1） 影院双号的座位号为：2，4，6，8，10，12；

（2） 小明觉得自己的英语很好，单词量3000，今天起不背单词，每天忘掉5个，依次为：3000，2995，2990，2985，2980；

（3） 1986年，人类在地球上观测到哈雷慧星第5次出现，最早在1682年，每隔76年观测到一次，依次为：1682，1758，1834，1910，1986，2062.

二、 学生活动

请大家观察以上三个数列，看看这三个数列有什么共同特点？

生：这些数列后一项与前一项之差是常数，分别是2、5、76.

三、 建构数学

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

是等差数列（常数）

练习1下列数列是否是等差数列：

(1) 3,7,11,15,19,23

(2) 1,2,4,6,8,10,12

(3) 3,3,3,3,3,3,3

(4) 5,0,5,0,5,0,5

(5) 8,6,5,2,0,-2,-4

归纳：(Ⅰ) 公差是由后项减前项所得，而不仅仅是前后两项的差；

(Ⅱ) 对数列，若，则是等差数列，其中为公差.

练习2求证数列：是等差数列.

分析：要证一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只要证是一个与无关的常数.

证明：由题可知：

∴

∴ 数列是等差数列

推导：等差数列的通项公式

法一：累加法

等差数列的首项是，公差是∴当时，左式＝，右式＝，即时，等式也成立∴ ()法二：递推法（不完全归纳法）

上式对亦成立∴

口答：求引例的通项公式（学生）

根据等差数列的通项公式，再这四个量中，只要知道其中任意三个量，就可求出另一个量.（知三求一）

四：数用

例1(1) 求等差数列的第20项

解：

∴

(2) 是不是等差数列的项？

分析：要判断是不是该数列的项，关键式求出数列的通项公式，看是否存在正整数，使得成立解：

令 得

即是该数列得第项

练习2. 在等差数列中，已知，，求

解：∴∴∴

思考：能否不求，而利用等差数列项与项之间的关系求解？

猜想：

证明：

故

∴

五、回顾小结：

1. 等差数列的概念；

2．用定义法判断数列是否为等差数列；

3．等差数列通项公式的推导及应用.

六、课外作业

1、课后练习及数学之友

§2.2.2等差数列的通项公式

教学目的：

1．理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项；

2．初步掌握从等差数列中项的序号关系推断序号对应的项的关系；

3．会用等差中项等性质解决简单问题。

教学重点：

等差数列的性质

教学过程：

一、问题情境：

1、等差数列的定义

2、等差数列的通项公式

3、推导公式

例：已知一个无穷等差数列的首项为a1,公差为d：

（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，

（2）取出数列中的所有奇数项，

（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，这3个新数列是等差数列吗？如果是，首项和公差分别是多少？

am+1,am+2,......am+n......首项是am+1，公差为d

a1,a3, a5......a2n+1......首项是a1，公差为2d

a7,a14, a21......a7n......首项是a7，公差为7d

二、学生活动

问题：如果在a与b中间插入一个数A，

使a，A，b成等差数列，

那么A应满足什么条件？

证：由a,A,b成等差数列，可得：

A-a = b-A2A=a+b即A-a=b-A

可以考虑一下反过来是否也成立？

2A=a+b

A-a = b-A

亦即 a,A,b成等差数列

三、建构数学

1、定义:

如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。

不难发现：在一个等差数列中，从第2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

符号化：{an}为等差数列→2an=an-1+an+1(n≥2)

{an}为等差数列 ←→2an=an－1+an+1(n≥2)

证：{an}为等差数列

设首项为a1,公差为d，

则通项公式为 an=a1+(n-1)d

任取一项an=a1+(n-1)d (n≥2)

前一项为an-1=a1+(n-2)d= an-d

后一项为an+1=a1+nd= an+d

an-1+an+1= an-d +an+d=2an

例如：数列1、3、5、7、9、11、13、......

有3是1和5的等差中项

5是3和7的等差中项

也是1和9的等差中项

即：2×5=3+7 =1+9

亦即：2a3=a2+a4 =a1+a5

7是5和9的等差中项

也是3和11

还是1和13的等差中项

即：2×7=5+9=3+11=1+13

亦即：2a4=a3+a5 =a2+a6 =a1+a7

进一步观察发现：

引申：

an是它的前后\"等距离\"的 项的等差中项。

・ 由于：a3＋a3 = a2+a4 =a1+a5

3＋3＝2＋4＝1＋5

a4＋a4 = a3+a5 =a2+a6 =a1+a7

4＋4＝3＋5＝2＋6＝1＋7

猜测：在等差数列{an}中,若m+n=p+q, 则

am+an=ap+aq2、性质在等差数列{an}中，若m+n=p+q, 则am+an=ap+aq

证明：由等差数列的通项公式得由

am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d

ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d

则am+an=2a1+(m+n-2)d

ap+aq=2a1+(p+q-2)d

因为m+n=p+q

所以am+an=ap+aq

四、数用例题1在-1和8之间插入两个数a和b，使这四个数成等差数列，则a 、b的值各是多少？

解：这四个数分别为-1, a, b, 8

则a为-1和b的等差中项

b为a和8的等差中项，得：

故a,b的值分别是2和5。例题2在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,

求a2+a8的值。

解：由a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5

得：5a5=450

故：a5=90

所以：a2+a8=2a5=2×90=180

例题3已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p,q是常数且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了。

证明：取数列{an}中的任意相邻两项 an-1与an(n≥2)，

由已知条件：an=pn+q得：

an=pn+q, an-1=p(n-1)+q

an-an-1= (pn+q) - [p(n-1)+q]

= pn + q - pn + p - q

= p

同样，我们反过来考虑一下：

若{an}为等差数列，

则an=a1+(n-1)d

即an=nd+a1-d

亦即an=pn+q（p，q为常数）

结论： 若{an}为等差数列，

当p≠0时，它是关于n的一次式。

如：an=2n-1(首项为1，公差为2)

该数列的图象是直线y=2x-1上，均匀排开的无穷多个孤立点

当p＝0时，它是一常数数列。如：an=2该数列的图象是在直线y=2上均匀排开的无穷多个孤立点。

问：给定一个数列，如何判定它是一个等差数列？

（1）据定义，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数

即an- a n-1 = d (n≥2)

（2）据等差中项，每一项都是它前一项与后一项的等差中项

即2an= a n-1+ a n+1 (n≥1)

（3）据通项公式形式，它可以表示成关于n的一次式

即an= kn + b (k,b为常数)

例4（思考） 四个数成等差数列，其四个数的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求这四个数。

分析：本题关键：如何设未知量？

三个数成等差数列， 可设三个数为a-d,a,a+d

四个数成等差数列， 可设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d

这样设具有对称性，给解题带来方便。

法1：设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d，依题意有

或 或 或

法2：设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d，依题意有

∴ a=±, d=±

所以这四个数为－8，－5，－2，1或－1，2，5，8

或1，－2，－5，－8或8，5，2，－1

课堂练习:

1、求下列各题中两个数的等差中项

（1）100与180（2）-2与6

2、在等差数列{an}中，若a3+a9+a15+a21=8,求a12。

3、由下列等差数列的通项公式，求首项和公差。

（1）an=3n+6( 2 ) an=-2n+7

五：回顾小结

首先，需掌握等差中项的概念及等差数列通项公式的图形特征和有关性质

其次，在设元求数列的时候一定要注意对称性

另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活运用。

六、课外作业

数学之友

§2.2.3等差数列的前n项和

教学目的：（1）掌握等差数列前n项和的公式及推导该公式的数学思想方法，并能用公式解决一些简单的问题

（2）探素活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力

教学重点：等差数列的前n项和；

教学难点：前n项和的求法及实际应用，等差数列与函数性质；

教学过程：

一、 问题情境

1. 复习引入（1）（2）（2）（3）

（4）是的等差中项

2. 思考：1+2+3+4+...+100=？

二、学生活动

思考：一堆钢管共有9层，它的每层钢管数成等差数列分布，求钢管总数；

三、建构数学

一般地，设有等差数列{an}，它的前n项和是sn，即sn=；根据等差数列通项公式，上式可以写成：

sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+...+[a1+（n-1）d]；

又可以写成：

sn=an+（an -d）+（an -2d）+...+[ an-（n-1）d]；

两式相加即得（公式说明知道首项和第n项及项数就可以求前n项和）

因为an=a1+（n-1）d，所以公式还可以写成：；公式说明知道首项和项数及公差就可以求前n项和

四、数用

例题分析

（1）若等差数列-10，-6，-2，...中，前n项和=，求n及通项公式；

（2）等差数列中，，求

（3）已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是220，求前n项和；

（4）等差数列中，，求

（5）某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50米，最远一根电线杆距离电站1550米，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工，若汽车往返运输总行程为17500米，试求：（1）共竖立多少根电线杆？（2）第一根电线杆距离电站多少米？

解：由题意汽车逐趟往返运输行程组成一个等差数列，记为，则n取10，3. 补充：等差数列{ an}中，

（1）a2=18，a10+ a12=0，求a1，d和Sn的最大值（20，-2，110）

（2）d=2，an=11，Sn=35，求a1；（3或-1）

（3）d=，S100=145，求a1+a3+a5+...+a99的值；（60）

（4）Sn=3n2+2n，求d（=6）

（5）a1=13，S3=S11，求Sn的最大值；（S7=49）

4. 设等差数列中的前n项和为，已知

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出中哪个值最大？最大

5. 等差数列前12项和为84，前20项和为460，求前2和；

6. 一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和；

五、回顾小结

1、掌握等差数列前n 项和的公式及推导方法

2、熟练运用数列前n 项和的公式解决一些简单的问题

六、课外作业

练习：1，2，3，4

习题：3，4，5，6，7，8