南召县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：

降水量X 工期延误天数Y 概率P X＜100 0 0.4 100≤X＜200 5 0.2 200≤X＜300 15 0.1 X≥300 30 0.3 在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（ ） A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5

2． 已知全集UR，A{x|23x9}，B{y|0y2}，则有（ ） A．AØB B．ABB C．A(ðRB) D．A(ðRB)R

B．命题q一定是假命题

3． 如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（ ） A．命题p一定是假命题 C．命题q一定是真命题 4． 如图F1、F2是椭圆C1：

D．命题q是真命题或假命题

+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共

点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）

A． B． C． D．

5． 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A．6． 函数

B．y=x2 C．y=﹣x|x| D．y=x﹣2

的定义域是（ ）

A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，+∞）

D．（1，+∞）

，

7． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的则这两个圆锥的体积之比为（ ） A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1

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2z2（ ） zA.1i B.1i C. 2i D. 2i

8． 设复数z1i（i是虚数单位），则复数

【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 9． 已知函数f（x）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ ）

A．y=2 B．y=log3（x+1） C．y=4﹣ D．y=

10．设函数f（x）=A．11

B．8

C．5

B．2

B．2bcosA

C．2bsinB D．2

，f（﹣2）+f（log210）=（ ）

11．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（ ） A．1 A．2bsinA

C．3 D．2bcosB

D．4

12．在△ABC中，若A=2B，则a等于（ ）

二、填空题

13．由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．

2ex1lnxxaaR，14．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数fx若曲线y2xxe1（e为自然对数的底数）上存在点x0,y0使得ffy0y0，则实数a的取值范围为__________.

15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小； ③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数； 以上命题中真命题的序号为 ．

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16．已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与17．已知f（x）=

3

的展开式中x的系数相等，则a= ．

，则f（﹣）+f（）等于 ．

18．已知f(x)是定义在R上函数，f(x)是f(x)的导数，给出结论如下：

x①若f(x)f(x)0，且f(0)1，则不等式f(x)e的解集为(0,)；

②若f(x)f(x)0，则f(2015)ef(2014)； ③若xf(x)2f(x)0，则f(2n1)4f(2n),nN；

f(x)0，且f(0)e，则函数xf(x)有极小值0； xex⑤若xf(x)f(x)，且f(1)e，则函数f(x)在(0,)上递增．

x④若f(x)其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题

19．已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．

（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值； （2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．

20．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx（a＞1）． （Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；

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（Ⅱ） 若a=2，数列{an}满足an+1=f（an）． （1）若首项a1=10，证明数列{an}为递增数列；

（2）若首项为正整数，且数列{an}为递增数列，求首项a1的最小值．

2221．已知Aa,a1,3,Ba3,3a1,a1,若AB3，求实数的值.

22．在数列{an}中，a1=1，an+1=1﹣（1）求证：数列{bn}为等差数列； （2）设cn=bn+1•（）（3）证明：1+

+

，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn； +…+

≤2

﹣1（n∈N）

*

，bn=

，其中n∈N．

*

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23．在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=（1）若cos∠ADC=，求AB的值；

．

（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？

24．已知函数f（x）=x3+x．

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （2）求证：f（x）是R上的增函数；

（3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．

3322

（参考公式：a﹣b=（a﹣b）（a+ab+b））

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南召县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P， 设：降水量X至少是100为事件A，工期延误不超过15天的事件B， P（A）=0.6，P（AB）=0.3， P=P（B丨A）=故答案选：D．

2． 【答案】A

【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，A(log32,2]，B(0,2]，∵log320，∴AØB，选A． 3． 【答案】D

【解析】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题， 又∵命题“非p”也是假命题， ∴命题p为真命题． 故命题q为可真可假． 故选D

=0.5，

【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．

4． 【答案】 D 【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：∴2a=4，b=1，c=

；

222

，即x+y=（2c）=

+y2=1上的点，

∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴

+

=

=12，②

由①②得：，解得x=2﹣

，2n=2c=2=

．

，y=2+，

，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，

则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2∴双曲线C2的离心率e==

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故选D．

【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

5． 【答案】D 【解析】解：函数

为非奇非偶函数，不满足条件；

函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件； 函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；

函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件； 故选：D

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．

6． 【答案】A

xx0

【解析】解：由题意得：2﹣1≥0，即2≥1=2， 因为2＞1，所以指数函数y=2为增函数，则x≥0．

x

所以函数的定义域为[0，+∞） 故选A

【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．

7． 【答案】D

2

【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr=

×4πR2=

．

，∴r=．

∴球心到圆锥底面的距离为∴两个圆锥的体积比为：故选：D．

8． 【答案】A 【

解

=．∴圆锥的高分别为和

=1：3．

析】

9． 【答案】C

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【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线， 函数y=2函数y=4﹣

，y=log3（x+1），y=

的值域均含4，

即y=4不是它们的渐近线，

的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），

故y=4为函数图象的渐近线， 故选：C

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．

10．【答案】B 【解析】解：∵f（x）=∴f（﹣2）=1+log24=1+2=3，

=5，

∴f（﹣2）+f（log210）=3+5=8． 故选：B．

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

11．【答案】B

222

【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x+y=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）

，

|}

222

将x﹣y=0代入x+y=1， 2

得y+y﹣1=0，△=5＞0，

所以方程组有两组解，

因此集合M∩N中元素的个数为2个， 故选B．

【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题

12．【答案】D 【解析】解：∵A=2B，

∴sinA=sin2B，又sin2B=2sinBcosB， ∴sinA=2sinBcosB， 根据正弦定理

=

=2R得：

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sinA=，sinB=，

代入sinA=2sinBcosB得：a=2bcosB． 故选D

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：由方程组

解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，

121

故所求图形的面积为S=∫﹣1（2x）dx﹣∫﹣1（﹣4x﹣2）dx

．

=﹣（﹣4）=

故答案为：

【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．

14．【答案】,

e1第 9 页，共 16 页

2ex11e2x2ex1【解析】结合函数的解析式：y2x可得：y'， 22xe1e1令y′=0，解得：x=0，

当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，

则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减， 则当x=0时，取最大值，最大值为e， ∴y0的取值范围（0，e]，

x2lnx1lnxxaaR可得：f'x结合函数的解析式：fx， 2xxx∈（0，e），f'x0， 则f（x）在（0，e）单调递增， 下面证明f（y0）=y0．

假设f（y0）=c>y0，则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0． 同理假设f（y0）=clnxxax． xlnx1lnx设gx，求导g'x，

xx2令函数fx当x∈（0，e），g′（x）>0， g（x）在（0，e）单调递增， 当x=e时取最大值，最大值为ge当x→0时，a→-∞， ∴a的取值范围,.

e1， e1点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．

（2）若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．

15．【答案】 ①②④ ．

【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．

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②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．

③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．

④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确． 故答案为：①②④．

【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．

16．【答案】

【解析】解：（ax+1）的展开式中x的项为

5

2

．

=10a2x2，x2的系数为10a2，

=5x3，x3的系数为5，

与

2

∴10a=5，

的展开式中x的项为

3

2

即a=，解得a=

． ．

故答案为：

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．

17．【答案】 4 ．

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【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=． f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣∴f（）+f（﹣）=+故答案为：4．

18．【答案】②④⑤

【解析】解析：构造函数g(x)exf(x)，g(x)ex[f(x)f(x)]0，g(x)在R上递增， ∴f(x)exexf(x)1g(x)g(0)x0，∴①错误；

．

）=f（）=2×=，

f(x)f(x)f(x)g(x)0，g(x)在R上递增，∴g(2015)g(2014)， ，xxee∴f(2015)ef(2014)∴②正确；

构造函数g(x)x2f(x)，g(x)2xf(x)x2f(x)x[2f(x)xf(x)]，当x0时，g(x)0，∴

构造函数g(x)g(2n1)g(2n)，∴f(2n1)4f(2n)，∴③错误；

xf(x)f(x)xf(x)f(x)0得0，即由f(x)0，∴函数xf(x)在(0,)上递增，在(,0)上递

xxx减，∴函数xf(x)的极小值为0f(0)0，∴④正确；

exexxf(x)x由xf(x)f(x)得f(x)，设g(x)exf(x)，则2xxexexxxg(x)ef(x)xf(x)e(x1)，当x1时，g(x)0，当0x1时，g(x)0，∴当

xxx0时，g(x)g(1)0，即f(x)0，∴⑤正确．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣（a+b）x+3a， 当不等式f（x）≤0的解集为[1，3]时， 方程x2﹣（a+b）x+3a=0的两根为1和3， 由根与系数的关系得

，

解得a=1，b=3；

（2）当b=3时，不等式f（x）＞0可化为 x2﹣（a+3）x+3a＞0， 即（x﹣a）（x﹣3）＞0；

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∴当a＞3时，原不等式的解集为：{x|x＜3或x＞a}； 当a＜3时，原不等式的解集为：{x|x＜a或x＞3}； 当a=3时，原不等式的解集为：{x|x≠3，x∈R}．

【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．

20．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵∴

当a=2时，则

， （x＞0），

在（0，+∞）上恒成立，

当1＜a＜2时，若x∈（a﹣1，1），则f′（x）＜0，若x∈（0，a﹣1）或x∈（1，+∞），则f′（x）＞0， 当a＞2时，若x∈（1，a﹣1），则f′（x）＜0，若x∈（0，1）或x∈（a﹣1，+∞），则f′（x）＞0， 综上所述：当1＜a＜2时，函数f（x）在区间（a﹣1，1）上单调递减， 在区间（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增； 当a=2时，函数（0，+∞）在（0，+∞）上单调递增；

当a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增． （Ⅱ）若a=2，则

，由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，

（1）因为a1=10，所以a2=f（a1）=f（10）=30+ln10，可知a2＞a1＞0， 假设0＜ak＜ak+1（k≥1），因为函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增， ∴f（ak+1）＞f（ak），即得ak+2＞ak+1＞0，

由数学归纳法原理知，an+1＞an对于一切正整数n都成立， ∴数列{an}为递增数列．

（2）由（1）知：当且仅当0＜a1＜a2，数列{an}为递增数列， ∴f（a1）＞a1，即设

∴函数g（x）在区间由于

∴首项a1的最小值为6．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用，考查运算能力，属于中档题．

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（a1为正整数），

（x≥1），则

上递增，

，g（6）=ln6＞0，又a1为正整数，

，

选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题计分．【选修4-2：矩阵与变换】 21．【答案】a【解析】

2． 3考点：集合的运算. 22．【答案】

【解析】（1）证明：bn+1﹣bn=等差数列，首项为1，公差为1． （2）解：由（1）可得：bn=n． cn=bn+1•（）

=（n+1）

． +3×+…+n

++（n+1）

+…+（n+1）

，

．

﹣

=

﹣

=1，又b1=1．∴数列{bn}为

∴数列{cn}的前n项和为Tn=

=

+3×

∴Tn=

+++…+﹣（n+1）=+﹣（n+1），

可得Tn=﹣

．

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（3）证明：1+∵∴1+∴1+

=++＜+…++…+

++…+=2

≤2﹣1（n∈N）即为：1+

*++…+≤﹣1．

（k=2，3，…）．

﹣1）+（﹣1（n∈N）．

*

≤1+2[（

≤2

）+…+（﹣）]=1+2=2﹣1．

23．【答案】

【解析】（本小题满分12分） 解：（1）∵∴∴∵

，

…2分（注：先算∴sin∠ADC给1分） ，…3分

，

∴

（2）∵∠BAD=θ， ∴

由正弦定理有∴∴=当

，即

，…5分

，…6

，…7分

，…8分

，…10分

，…11分

时f（θ）取到最大值9．…12分

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【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．

24．【答案】

【解析】解：（1）f（x）是R上的奇函数

33

证明：∵f（﹣x）=﹣x﹣x=﹣（x+x）=﹣f（x），

∴f（x）是R上的奇函数

（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+[（x1）3﹣（x2）3]=（x1﹣x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1﹣x2）[（x1+x2）

2

+x22+1]＜0恒成立，

因此得到函数f（x）是R上的增函数．

（3）f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，可化为f（m+1）＜﹣f（2m﹣3）， ∵f（x）是R上的奇函数，∴﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m）， ∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3﹣2m）， ∵函数f（x）是R上的增函数， ∴m+1＜3﹣2m， ∴

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