第３４卷第５期 ＪｏｕｍａＩ ｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅ ｓ Ｎａｔ． Ｉ 西南民族大学学报‘自然学版ｕｒａＩ ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ Ｉ ｏｃｔ．２００８ ……— 文章编号：１ ００３－２８４３（２００８）０５．０８９２．０３ Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中的Ｄｉａｚ Ｍｅｔｃａｌｆ不等式及其应用 罗俊丽 （商洛学院数学系，陕西商洛摘７２６０００） 要：在研究各种有限维Ｄｉａｚ．Ｍｅｔｃａｌｆ不等式的基础上，得到了Ｈｉｌｂｅｎ空间中的Ｄｉａｚ．Ｍｅｔｃａｌｆ不等式，又进一步讨论 了Ｈｉｌｂｅ￣空间中反向Ｃａｕｃｈｙ．Ｓｃｈｗａｒｚ不等式和Ｐ６１ｙａ—Ｓｚｅｇ５不等式． 关键词：Ｈｉｌｂｅｒｔ空间；Ｄｉａｚ－Ｍｅｔｃａｌｆ不等式；反向Ｃａｕｃｈｙ・Ｓｃｈｗａｒｚ不等式；Ｐ６１ｙａ－Ｓｚｅｇ５不等式 中图分类号：Ｏ１７８ 文献标识码：Ａ Ｊ．Ｂ．Ｄｉａｚ和Ｆ．Ｔ．Ｍｅｔｃａｌｆ在文献［１］证明了定理若ａ （≠０）和ｂ （ｋ＝１，２，…， ）是实数，且ｍ ａ ， 则∑ｂ ＋ｍＭ∑口 （Ｍ＋ ）∑以 ｂ ， ｋ＝ｌ ｋ＝ｌ ｋ＝ｌ 等号成立的充分必要条件是：ｂ ＝ｍａ 或ｂ ＝Ｍａ ． 文献【２，３，４］研究了Ｄｉａｚ－Ｍｅｔｃａｌｆ不等式的离散型，文献【５，６１ ）１，１］１研究了其相应的积分不等式，而文献［７１Ｎ进一步 研究了Ｄｉａｚ．Ｍｅｔｃａｌｆ不等式的积分推广形式及其应用，又这个不等式在分析学中有着重要的理论价值和工具性作 用，因而，对Ｄｉａｚ．Ｍｅｔｃａｌｆ不等式的深入探究是十分有趣的．本文将在研究Ｄｉａｚ．Ｍｅｔｃａｌｆ不等式的基础上，运用类比 的方法，给出了Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中的Ｄｉａｚ Ｍｅｔｃａｌｆ不等式的相应形式，其本质是 维欧氏空间的无限维推广，最后讨论 了其推广式的应用． １主要结论及其证明 定理１设Ｋ是实数域或复数域，爿是Ｋ的Ｈｉｌｂｅｒｔ空 ，对任恿的 ，Ｙ∈Ｈ，看０＜ｍ≤Ｍ便得 Ｒｅ（ｘ一， ，Ｍｙ—Ｘ）≥０，则有 ＋ｍＭ ｙ ≤（ ＋ ） ． （１） 等号成立的充分必要条件是：ｊＰ ，Ｐ ∈ 使得（ｅ ，ｅ：）＝０， ｌｌ＝ ｌｌ， ＝ＮｆＭ－ｅ ＋√ ， １ －＋ ｉ 证明 由于 ，Ｙ∈Ｈ，（ｘ，Ｙ）＝ （共轭对称性），所以 Ｒｅ（ｘ—ｍｙ，ｙ— ）＝Ｍ（Ｍｘ， ）－ｊｌｘｌｌ 一ｍＭ Ｙｌ ＋ｍ（ｘ， ）． 又知Ｒｅ（ｘ一， ，ｙ—Ｘ）≥０，Ｍ从而有 ＋ｍＭ ｙ （ｍ＋Ｍ）Ｒｅ（ｘ， ） 而Ｒｅ（ｘ， ） ｉ（ ， ）ｌ， 收稿日期：２００８－０８－２０ 作者简介：罗俊Ｎ（１９７０．），女，河南灵宝人，商洛学院数学系副教授，研究方向：不等式 基金项目：商洛学院科研基金资助项目（０８ＳＫＹ００９）． 第５期 罗俊丽：Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中的Ｄｉａｚ—Ｍｅｔｃａｌｆ不等式及其应用８９３ 故｝ｌｘ ＋ｍＭＩｌＹｌ （， ＋ ）ｌ（ ， ）Ｉ． 若将 ￣／－Ｍ－＇ｅｌ＋√ Ｐ２， Ｐｌ＋ Ｐ２代入验证并注意到 （ｅ。，Ｐ ）＝０，ｌｉｅ，ｌｌ＝ ｌｌ，则等号成立． 定理２设Ｋ是实数域或复数域，Ｈ是Ｋ的Ｈｉｌｂｅｒｔ空问，对任意的ｘ，Ｙ∈Ｈ，若 ，Ｍ∈Ｃ（Ｃ为复数 集），Ｒｅｍ＋Ｉｍｍ ＲｅＭ＋ＩｍＭ使得Ｒｅ（ｘ—ｍｙ，Ｍｙ— ）≥０，贝０有 ｆ Ｉ＋（Ｒｅ（ ））ｌ ｌｌ ｌ≤Ｒｅ（（ ＋ ） ， ）） ｆｍ＋Ｍｌｌ（ｘ， ）１． 证明同定理１的证明过程． （２） ２应用 （Ｉ）由基本不等式 ＋Ｂ ≥２ＡＢ，有 ＋ｍＭＩｌｙｒ ｌ ２４－；￣ｌ－ｌｘｌｌｌｔｙｌ｝． 所以，（１）式可化为 ２√ ｌｌ …Ｉ ｌ （ｌ， ＋ ）ｆ（ ， ）ｌ， 两边平方并稍加整理得 ｌｆ ｌ ｌ ｌｆｆ Ｊ（ ， ）ｆ ． （３） 这实质上是反向Ｃａｕｃｈｙ．Ｓｃｈｗａｒｚ不等式的一种形式． （Ⅱ）（１）式可变形为 ｌ （ ＋ ）ｉ（ ，Ｙ）］－ｍＭ ｙ ， 这样就有 Ｙ ≤（ ＋Ｍ） Ｙ）Ｙｌ 一ｍＭｌｌｙ ＝ ＋ ） ｙ）［ＨｙＩ［ 一２ （ ，Ｙ）ＩＩ［ＹＩ［ ＋２４￣ｌ４ｍ（ｘ，ｙ）ＩＩ［ｙＨ 一ｍＭ［［ｙ 一 （ ＋Ｍ一２ｘ／－￣）（ｘ，Ｙ） Ｙ 一（４－４￣ｍｙ 一 ）Ｉ） ＋ ）ｌ Ｉ（ ， ）ｆ ＋（√ 一√ ） ｌ（ｘ，Ｙ） Ｙ ， ．＋ ｙ）ｌ ＝ 即 ｔｙＩｆ＜ ｙ）ｌ ＋（ 一 ） Ｙ） Ｙ ． 这是一个较强的反向Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｚ不等式．并且从以上的证明过程中知： （４） 若有ｅ ，ｅ ∈Ｈ使得（ｅ ，ｅ ）＝０，ｌｉｅ ＩＩ＝Ｉｌｅ ｊｌ， ＝Ｍ４４－￣ｅ ＋ ４√Ｍｅ ， Ｙ＝４Ｎ／－ｍ－ｅ１＋ ２，则（４）式等号成立． ， ：一Ｍ１，（ＩｌＩ）在（１）式中，若置 ： 则 Ｍ ２ ｍ２ ＋景・ Ｍ１ （鲁 ，得 『， 即 ２Ｍ２ＩＩｘ ＋ １ １ Ｙ （ １ ２＋ ｌ ２）ｉ（ ， ）ｆ． 给上式两边同乘以 —— 一ｍ】ｍ２Ｍ１Ｍ２ 嘲 ８９４ 西南民族大学学报・自然科学版 第３４卷 ）Ｉ（ ， ） （５）式可视为在Ｈｉｌｂｅｒｔ空问中的Ｄｉａｚ．Ｍｅｔｃａｌｆ不等式的另一种表达形式． （Ⅳ）在（５）式中，由基本不等式 ＋Ｂ。 ２ＡＢ得 （５） 藤 ＋匿 ＩＹ ２ ｘ ｙ， 贿２肛… 脬＋蓐 两边平方并稍加擎理得 ≤ ， ． ， ，这样就得到了Ｈｉｌｂｅｒｔ空问中的Ｐ６１ｙａ．Ｓｚｅｇ６不等式． Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中的Ｐ６１ｙａ－Ｓｚｅｇ６不等式也可在（３）式中，令 ＝ ｍ１ Ｍ＝Ｍ Ｉ￣２到 参考文献： 【ｌ１ ＤＩ】ＡＺ Ｊ Ｂ，ＭＥＴＣＡＬＦ Ｆ Ｔ Ｓｔｒｏｎｇｅｒ ｆｏｒｍｓ ｏｆａ ｃｌａｓｓ ｏｆｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｆＧ Ｐ ６ ｌｙａ．ＧＳｚｅｇ０．ａｎｄ Ｌ．Ｖ．Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ［Ｊ］．Ｂｕｌｌ Ａｍｅｒ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，１９６３，６３：４１５－４１８． ＰＬＹＡＧ，ＧＳＺＥＧＯ．Ａｕｆａｂｅｎ ｕｎｄ Ｌｅｈｒｓ￣ｔｔｚｅ ａｕｓ ｄｅｒＡｎａｌｙｓｉｓ（ｖｏ１．１）［Ｍ】．ＳｐｒｉｎｇｅｒＶｅｒｌａｇ，１９７２． 徐利治，王兴华．数学分析中的方法及例题选讲［Ｍ】．２版．北京：高等教育出版社，１９８３． Ｄ．ｓ．密特利诺维奇著．张小萍，王龙译．解析不等式【Ｍ】．北京：科学出版社，１９８７． ＨＡＲＤＹ Ｇ Ｈ，ＬＩＴＴＥＷＯＯＤ Ｊ Ｅ，Ｐ＇ＯＬＹＡ．Ｇ．Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ［Ｍ］．ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ．２ｎｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ，１９５２ 匡继昌．常用不等式【Ｍ】．３版．济南：山东科学技术出版社，２００４． 罗俊丽．—个新推广的Ｄｉａｚ．Ｍｅｔｃａｌｆ不等式及其应用［Ｊ】＿宝鸡文理学院学报：自然科学版，２００６，２６（２）：１０７－１０８． 胡克．解析不等式的若干问题【Ｍ】．２版．武汉：武汉大学出版社，２００７． Ｔｈｅ Ｄｉａｚ－Ｍｅｔｃａｌｆ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ Ｈｉｌｂｅｒｔ Ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ＬＵｏ Ｊｕｎ．Ｉｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｇｌｕｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｌｕｏ，７２６０００，Ｐ．Ｒ．Ｃ．） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｔｈｅ ｖａｒｉｏｕｓ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｄｉａｚ－Ｍｅｔｃａｌｆ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，Ｏｂｔａｉｎｓ ｔｈｅ Ｄｉａｚ－Ｍｅｔｃａｌｆ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ Ｈｉｌｂｅｒｔ ｓｐａｃｅ，ａｎｄ ｆｕｒｔｈｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｒｅｖｅｒｓｅｄ Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｚ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ａｎｄ Ｐ６１ｙａ—Ｓｚｅｇ６ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ Ｈｉｌｂｅｒｔ ｓｐａｃｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｈｉｌｂｅｒｔ ｓｐａｃｅ；Ｄｉａｚ—Ｍｅｔｃａ１ｆ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｒｅｖｅｒｓｅｄ Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｚ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；Ｐ６１ｙａ—Ｓｚｅｇ６ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ
