湖南高二高中数学开学考试带答案解析

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

一、选择题

1.设A．0

B．1

（ ）

C．2

D．3

2.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

3.过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（ ）

A．B． C．D．

4.若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5. 已知等差数列{an}满足A．140

=28，则其前10项之和为（ ） B．280 C．168

D．56

6.对某班学生一次英语测试的成绩分析，各分数段的分布如下图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率

（不小于80分）为（ ）

A．92% B．24% C．56% D．76%

7.如图，三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下

列叙述正确的是（ ） A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面A1B1BA

C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E

8.已知-9，a1，a2，-1四个实数成等差数列，-9，b1，b2，b3，-1五个实数成等比数列，则b2（a2-a1）=（ ） A．8 B．-8 C．±8 D．7

9.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A．f（x）＝|x|，g（x）＝

B．f（x）＝lg x，g（x）＝2lg x

2

C．f（x）＝D．f（x）＝

，g（x）＝x＋1 ·

，g（x）＝

10.设D-、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且与 （ ）

A．互相垂直 B．同向平行

C．反向平行 D．既不平行也不垂直

则

二、填空题

1.若

2.设两个方程3.由直线

，则

、

上的一点向圆

= ．

的四个根组成以2为公比的等比数列，则引切线，则切线长的最小值为 ．

的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件

．

4.下图给出的是计算

是 ．

5.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域；

③若有理数集QM，则数集M必为数域； ④数域必为无限集．

其中正确的命题的序号是 ．（填上你认为正确的命题的序号）

∈P（除数b≠0）则称P是

三、解答题

1.（本小题满分12分）已知（Ⅰ）求（Ⅱ）求（Ⅲ）若

[

的最小正周期； 的单调增区间；

，

]时，求

的值域．

．

2.（本小题满分12分）某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段，画出如下图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：

（1）求70～80分数段的学生人数；

（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；

（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．

3.（本小题满分12分）在棱长为2的正方体中，设是棱的中

点．

（1）求证：（2）求证：

； 平面

；

（3）求三棱锥的体积．

4.（本小题满分13分）函数y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x＝

π时，y有最大值3，当x＝6π时，y有最小值-3． （1）求此函数解析式；

（2）写出该函数的单调递增区间； （3）是否存在实数m，满足不等式Asin（值（或范围），若不存在，请说明理由．

5.（本小题满分13分）设关于的一元二次方程（1）试用

． 表示

；

是等比数列；

的通项公式，并求数列

的前项和

．

）＞Asin（

）?若存在，求出m

（）有两根和，且满足

（2）求证：数列（3）当

时，求数列

6.（本小题满分13分）已知A、B为抛物线C：y2 = 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．

（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程； （Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点，求面积的最小值．

湖南高二高中数学开学及解析

一、选择题

1.设A．0

B．1

（ ）

C．2

D．3

【答案】C 【解析】

，

．故C正确．

【考点】分段函数．

2.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】从这4个数中任取两个数包含的所有基本事件有都是奇数的基本事件有

共1个，所以所求事件的概率为

．故A正确．

共6个，其中两个数

【考点】古典概型概率．

3.过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（ ）

A．B． C．D．

【答案】A

【解析】由分析可知当直线过点所以所求直线方程为

且与，即

垂直时原点

到直线的距离最大．

，

，

．故A正确．

【考点】直线方程．

4.若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D 【解析】

【考点】象限角．

5. 已知等差数列{an}满足A．140

且

，

，

为第四象限角．故D正确．

=28，则其前10项之和为（ ） B．280 C．168

D．56

【答案】A

【解析】由等差数列的性质可知

，所以前10项和

．故A正确．

【考点】等差数列的性质，前项和．

6.对某班学生一次英语测试的成绩分析，各分数段的分布如下图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率

（不小于80分）为（ ）

A．92% B．24% C．56% D．76%

【答案】C 【解析】

．故C正确．

【考点】频率分布直方图．

7.如图，三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ） A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面A1B1BA

C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E

【答案】C 【解析】

A叙述不正确； 由题意可知

面，显然

，

面

，

面

，所以

与

是共面直线，所以

不垂直与面，所以B叙述不正确；

因为为正三角形且是的中点，所以，，，显然异面，所以C叙述正确； 因为面， 且，可知与面必相交．所以D叙述不正确； 综上可得C正确．

【考点】线线位置关系，线面位置关系．

8.已知-9，a1，a2，-1四个实数成等差数列，-9，b1，b2，b3，-1五个实数成等比数列，则b2（a2-a1）=（ ） A．8 B．-8 C．±8 D．7

【答案】B 【解析】成等比，

成等差， 公差

，

与

同号，

，即

，

；

．故B正确．

【考点】1等差的通项公式；2等比数列的性质．

9.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A．f（x）＝|x|，g（x）＝

2

B．f（x）＝lg x，g（x）＝2lg x C．f（x）＝D．f（x）＝

，g（x）＝x＋1 ·

，g（x）＝

【答案】A

【解析】A选项中两函数定义域，对应法则，值域均相同，两函数表示同一函数； B，C，D选项中两函数定义域均不同；故A正确． 【考点】函数的三要素．

10.设D-、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且与 （ ）

A．互相垂直 B．同向平行

C．反向平行 D．既不平行也不垂直 【答案】C 【解析】

，

则

与共线，且反向．故C正确．

【考点】1向量的加减法；2向量共线．

二、填空题

1.若【答案】

，则

= ．

【解析】

【考点】同角三角函数关系式．

2.设两个方程、【答案】【解析】设

．

则有，

，又因为

，

的根为

，由韦达定理可得

．

的四个根组成以2为公比的等比数列，则 ．

；设

， ，

的根为，可得

，根据等比数列的性质不妨设此数列为，可得

， ．

，

【考点】1等比数列的通项公式；2等比数列的性质．

3.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】

到直线

的距离

，由数形结合分析可知所求切线长的最小值为

【解析】圆心

．

【考点】1直线与圆相切；2数形结合思想．

4.下图给出的是计算

的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件

是 ．

【答案】【解析】

，并由流程图中

的值．故

．

可知循环的初始值为1，终值为10，步长为1，， 时应不满足条件，继续循环，当

时满足条件退出

故循环10次才能求出循环．故此处应填【考点】算法．

5.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域；

③若有理数集QM，则数集M必为数域； ④数域必为无限集．

其中正确的命题的序号是 ．（填上你认为正确的命题的序号） 【答案】①④ 【解析】①当②不妨取

时，此时

，所以①正确； ，所以②不正确；

∈P（除数b≠0）则称P是

③不妨令中多一个元素，即，此时，所以③不正确； ④根据数域的定义可知，数域中必有无限个元素，所以④正确． 故正确的命题为①④．

【考点】1新定义；1合情推理．

三、解答题

1.（本小题满分12分）已知（Ⅰ）求（Ⅱ）求（Ⅲ）若

[

的最小正周期； 的单调增区间；

，

]时，求

的值域．

；（Ⅲ）

．（Ⅰ）根据周期公式

．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】先将函数

用二倍角公式，化一公式化简可得

可求得其周期．（Ⅱ）将整体角围可求得整体角

代入正弦函数的单调增区间内，求得的的范围即为所求．（Ⅲ）由的范

的范围，从而可求得

的范围．

的范围，根据正弦函数图像可求得

试题解析：解:

（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为（Ⅱ）由得 函数

的单调增区间为

，

，

（Ⅲ）因为

，

【考点】三角函数的化简，周期，单调性，最值．

2.（本小题满分12分）某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段，画出如下图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：

（1）求70～80分数段的学生人数；

（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；

（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率． 【答案】（1）18；（2）

；（3）

可得所求频数．（2）根

【解析】（1）频率分布直方图中每个小矩形的面积，表示该组的频率，根据据

可求得成绩在80分及以上的学生人数，以此人数除以总数即为所求优分率．中位数是平分频率分

布直方图面积的数．平均数为各组的中点的数乘以这组的频率之和．（3）将6组两两一组的所有组合一一例举，再将两组分数之差大于30分的所有组合一一例举，根据古典概型概率公式可求得所求概率． 试题解析：解：（1）

（2）成绩在80分及以上的学生有∴估计这次考试中该学科的优分率为（3）所有的组合数：

，

符合“最佳组合”条件的有：， 所以

．

；

（人），

（人）．

【考点】1频率分布直方图；2古典概型概率．

3.（本小题满分12分）在棱长为2的正方体

中，设是棱的中

点．

（1）求证：（2）求证：（3）求三棱锥

； 平面

；

的体积．

，应根据线面垂直的判定定理先证平面．（2）中点．根据中位线可得，根据线面平行的判定定，所以点A到平面得体积．

的距离等于C到平面

的距

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】（1）因为

连接，设理可证得离，可知

平面

平面，所以为证

，连接，可得为．（3）因为

平面

，从而易求得三棱锥

试题解析：

【证明】连接BD，AE． 因四边形ABCD为正方形，故因底面ABCD，面ABCD，故，又故平面，平面，故． ⑵．连接，设，连接， 则，

为

中点，而平面

，的体积

为

的中点，故平面

，故，

，三棱锥为三角形

平面

．

，

，

的中位线，的距离，

⑶．由⑵知，点A到平面故三棱锥而

的距离等于C到平面

的体积为．

【考点】1线面平行；2线面垂直；3棱锥的体积．

4.（本小题满分13分）函数y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x＝

π时，y有最大值3，当x＝6π时，y有最小值-3． （1）求此函数解析式；

（2）写出该函数的单调递增区间； （3）是否存在实数m，满足不等式Asin（值（或范围），若不存在，请说明理由． 【答案】（1）

【解析】（1）由最大值可得值可求得．（2）将整体角

和

为

；（2）

；（3）存在，

． 可得

．根据最

）＞Asin（

）?若存在，求出m

，取的最大值与最小值时的值差半个周期，根据周期公式

代入正弦函数的单调增区间内，所得的范围即为所求．（3）分析可得均在

内，而正弦函数在

内单调递增，所以可将原不等式转化满足题意，否则说明不存在．

，若不等式有解，则说明存在

试题解析：解：（1）∵∴∴（2）令

∴函数的单调递增区间为：（3）∵ 而∴

在

上是增函数

得

【考点】1正弦函数周期性，最值；2正弦函数的单调性．

5.（本小题满分13分）设关于的一元二次方程（1）试用

． 表示

；

是等比数列；

的通项公式，并求数列；（2）详见解析；（3）

，

，代入已知

（）有两根和，且满足

（2）求证：数列（3）当

时，求数列

的前项和．

【答案】（1）

【解析】（1）由韦达定理可得和关系式可得与的关系式．（2）

由（1）中所得的与的关系式，根据等比数列的定义证为常数．（3）根据等比数列的通项公式可

先求得，从而可得．根据分组求和及错位相减法可求得数列

，

，

的前项和．

试题解析：解：（1）根据韦达定理，得由得

（2）证明：若

，则

，从而

，故

，

，

无实数根，故

这时一元二次方程，

所以，数列是公比为的等比数列．

（3）设，则数列是公比的等比数列，

又所以所以

则由错位相减法可得

，

，

， ．

．

【考点】1等比数列的定义；2分组求和法，错位相减法求和．

6.（本小题满分13分）已知A、B为抛物线C：y2 = 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．

（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程； （Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点，求面积的最小值． 【答案】（Ⅰ）点【解析】（Ⅰ）设

在定直线

，

上；（Ⅱ）

（

）．设出直线方程，与椭圆联立，消去可得关于的一

与

间到直

元二次方程，因为直线与椭圆相切，所以此二次方程只有一个根，即判别式等于0，可得直线的斜率的关系式．设出直线方程，与直线方程联立可得交点的值，从而可得点线

即

的坐标．根据

过抛物线

的焦点

的坐标．即可证得所求．（Ⅱ）可求得

的坐标，根据两点间距离公式求

可得，点

的距离为，从而可得三角形面积．用导数求其最值． ， ，则方程为

（

）． ．

试题解析：（Ⅰ）设易知斜率存在，设为

由

由直线与抛物线于是，

得，相切，知

．

． 坐标为，

方程为

①

．

，方程为

同理，方程为联立、方程可得点∵

，

，

过抛物线，，点

的焦点

．

在定直线上．

．

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴∴设由∴

（

），

，

知，

，当且仅当

．

时等号成立．

设∴在区间∴ ∴ 当即

，时，时，

，则

；

上为增函数． 取最小值，

时，

，

面积取最小值

．

． 时，

．

在区间

．

上为减函数；

【考点】1直线与抛物线的位置关系问题；2用导数求最值．