三次函数的图像和性质复习

定义1、形如

（从函数解析式的结构上命名）。 yax3bx2cxd(a0)的函数，称为“三次函数”

定义2、三次函数的导数

y3ax22bxc(a0)，把4b212ac叫做三次函数导函数的判别式。

三次函数图象与性质的探究： 1、单调性： 一般地，当b时，三次函数

23ac0时，三次函数yax3bx2cxd(a0)在R上是单调函数；当b23ac0（根据a0,a0两种不同情况进行分类讨论） yax3bx2cxd(a0)在R上有三个单调区间。

2、对称中心;三次函数

f(x)ax3bx2cxd(a0)是关于点对称，且对称中心为点(bb,f())， 3a3ay＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3.图像问题： 4.（1）

（2）

（3）

5.三次方程根的问题。 （1）当△=4b（2）当△=4b2

12ac0时，由于不等式f(x)0恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

12ac0时，由于方程f(x)0有两个不同的实根x1,x2，不妨设x1x2，可知，(x1,f(x1))为函

2数的极大值点，(x2,此时：①若

f(x2))为极小值点，且函数yf(x)在(,x1)和(x2,)上单调递增，在x1,x2上单调递减。

f(x1)f(x2)0，即函数yf(x)极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方

程有且只有一个实根。

②若f(x1)f(x2)0，即函数yf(x)极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x轴必有三个交点，所以原方程有三个

不等实根。

③ 若

f(x1)f(x2)0，即f(x1)与f(x2)中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

1、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（） C

2、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（）A. 1，－1B. 1，－17C. 3，－17 D. 9，－19

3、设函数

f(x)6x33(a2)x22ax.（1）若f(x)的两个极值点为x1,x2，且x1x21，求实数a的值；

f(x)是(,)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理由.

a9（2）是否存在实数a，使得

4、设定函数

f(x)a3xbx2cxd(a0)，且方程f'(x)9x0的两个根分别为1，4。 3yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；（Ⅱ）若f(x)在(,)无极值点，求a的取值范围。

ax332x1(xR)2，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若

（Ⅰ）当a=3且曲线

5、已知函数f（x）=

11,在区间22上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.y=6x-906、已知函数（Ⅱ）讨论

f(x)ax3x2bx（其中常数a，b∈R），

g(x)f(x)f'(x)是奇函数.（Ⅰ）求

f(x)的表达式；

g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值.

8、已知函数

（I）当a=1，b=2时，求曲线yf(x)在点（2，f(x)）处的切线方f(x)(xa)2（a-b）(a,bR,a程。

9、已知函数f（x）=

13xx2axb的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2(Ⅰ)求实数a,b的值；3