四种命题间的相互关系习题

[学业水平训练]

1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )

A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B

C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A

解析：选C.“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

解析：选A.由于一个命题的否命题既否定条件又否定结论，因此原命题的否命题为“若

a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3”．

π

3．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )

4

ππ

A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1

44

ππ

C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝ 44

ππ

解析：选C.命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．

44

4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是x，则x是p的( )

A．逆命题 B．否命题

C．逆否命题 D．以上判断都不正确

解析：选C.根据四种命题的关系，结合具体的例子可知，命题p与命题x是互为逆否命题．

5．命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．4

解析：选D.原命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a＞0，则a＞1”是真命题；否命题”对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．

6．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________________．

解析：原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．

答案：若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1

7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．

解析：由已知得，若1＜x＜2成立，

则m－1＜x＜m＋1也成立．

m－1≤1，∴

m＋1≥2，

∴1≤m≤2.

答案：[1,2]

8．在命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

解析：原命题为真命题，故其逆否命题为真命题，它的逆命题与否命题均为假命题．

答案：2

9．写出命题“已知集合A，B，若A∪B≠B，则A不是B的子集．”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

解：逆命题：已知集合A，B，若A不是B的子集，则A∪B≠B，真命题；

否命题：已知集合A，B，若A∪B＝B，则A⊆B，真命题．

逆否命题：已知集合A，B，若A⊆B，则A∪B＝B，真命题．

10．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0无解”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假．

解：(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0有解”．

(2)命题p的否命题是真命题．

判断如下：因为ac＜0，

所以－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c＞0有解，

所以该命题是真命题．

[高考水平训练]

1．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆命题；②“正方形是矩形”的否命题；③若“ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题；④若m＞2，则不等式x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选C.命题①的逆命题是“若x＝0且y＝0，则xy＝0”，为真命题；

命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；

命题③的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，为假命题；

命题④为真命题，当m＞2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图

象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.

2．给出以下命题：

①“正多边形都相似”的逆命题；

②“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

其中为真命题的是________．

解析：①逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题．②∵Δ＝1＋4m，若m＞0，则Δ＞0，

∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真命题．

∴逆否命题也为真命题．

答案：②

3．若方程x2＋2px－q＝0(p，q是实数)没有实数根，则p＋q＜1

4

. (1)判断上述命题的真假，并说明理由．

(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．

解：(1)上述命题是真命题．

由题意，得方程的判别式111＋≤，∴p＋q＜. 444

Δ＝4p2＋4q＜0，得q＜－p2，∴p＋q＜p－p2＝－(p－

1

)22

1

(2)逆命题：如果p，q是实数，p＋q＜，则方程x2＋2px－q＝0没有实数根．逆命

41

题是假命题，如当p＝1，q＝－1时，p＋q＜，但原方程有实数根x＝－1.

4

4．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，

则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1

＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0

∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．