二次函数在闭区间上最值求法讲解

影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。就高中学生而言，感到困难的主要是这两类问题：一是动函数定区间，二是定函数动区间。 一、动函数定区间

例1：求函数yx2tx(1x1)的最小值。 解:函数的对称轴是x（1）当xt。 2tt在区间-1,1的左侧时, 则1 即t2时，所以，当x1时，ymin1t； 22tttt2（2）当x在区间-1,1上时, 则 -1-21 即 2t2时，所以，当x时ymin；

224（3）当xtt在区间-1,1的右侧时, 则 1 即t2时，所以当x1 时ymin1t。 22练习：（1）求二次函数yx22ax1a在x0,1上的最大值。

（2）求二次函数yx22ax1a在x0,1上的最小值。 例2：求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值与最小值。

解：f(x)(xa)2a21，按直线xa与区间[0,2]的不同位置关系分类讨论： （1）若a0，则f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a； （2）若0a1，则f(x)minf(a)a21，f(x)maxf(2)34a； （3）若1a2，则f(x)minf(a)a21，f(x)maxf(0)1； （4）若a2，则f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1。 二、定函数动区间

例1：求函数yx2x2在txt1上的最小值。

2解：f(x)(x1)1，按直线x1与区间txt1的不同位置关系分类讨论：

2若t1，则ymin(t1)1；

2，即0t1，则ymin1； 若t1t12若t11，即t0，则ymint1。

练习：求函数y2x2x1在区间txt2上的最小值。 例2：求函数yx22x2在txt1上的最大值。

解：分析：只要对区间中点是在对称轴x1的左侧还是右侧进行讨论就可以了。

tt111，即t时，当xt时，ymaxt22t2； 22tt111，即t时，当xt1时，ymaxt21。 （2）当

22（1）当

练习：求函数y2x2x1在区间txt2上的最大值。