第四章电路定理-讲稿(可编辑修改word版)

第四章 电路定理

线性网络的分析方法有两种：一是以 KCL、KVL 为基础的分析方法，如支路电流法、网孔电流法、回路电流法、结点电压法。另一种方法是电路定理。利用电路定理将复杂电路化简或将电路的局部用简单电路等效替代，以使电路的计算得到简化。这种方法有： 叠加定理、代维南（诺顿）定理等。

第一节

一、齐性原理（线性原理）：

叠加定理

叠加定理是线性电路中的重要定理，在线性电路的分析计算中起着重要的作用。为了说明齐性原理，从一个简单的示例入手，如图 4-4-1。

从 电 路 结 构 可 以 看 出 ， 各 电 流 、 电 压 为 ：

i1 

R1 

us1

R 2 R 3 R 2  R 3

2

i  i

R 3 R 3

 u s1 1

R RR 2  R 3 3  R 3 R1 1 2  R 2 R

可见，任一

u R1  u R 2  R 2i2

支路的电流、电压均与电源电压成正比。这一结果具有普遍意义，即在只有一个源的电

路中，任一部分的电压、电流响应与激励成正比，即齐性原理。

二、 叠加定理：

叠加定理适用于多个电源作用的电路中 。以图 4-1-2 为例。求各支路电流和电压 u12。利用结点电压法，由此

u1 1 1

(  )u  s  i  u  u  i

n1

2 2 n1 2 s 2 s 则电压、电流分别为：  1 u u s  is 10  2 1 1 

i1  us  is

4 2  1 1 i 2  4 us  2 is 

s

可见，在具有两个电源的电路中，支路电压和支路电流均由两部分组成，一部分与电压源有关，另一部分与电流源有关。可以证明，该结果等于每一个电源单独作用于电路时所产生的响应的叠加。证明如下。将图 4-1-2 分为两个电路图 4-1-3（a）、4-1- 3(b)。

1

（1）当电压源单独作用时，电流源开路。根据电路结构，电压、电流为：

 us us

i1 (1)  i 2 (1)   2  2 4us u (1)  2i1 (1)  102 

i3 (1)  0 

（2）当电流源单独作用时，电压源短路。根据电路结构，电压、电流为：

1  i1 (2)  i 2 (2)   2 is 

u10 (2)  2i 2 (2)  is  (2)  i i s  3 



i1  i1 (1)  i1 (2) 

由此可见，  i (2) i2  i (1) 2 2

u 10  u10 (1)  u10 (2) 

这个特例具有普遍意义。叠加定理归纳如下：在多个电源作用的电路中，任一支路

的电压、电流响应等于电路中每个源单独作用于电路产生的响应的代数和。所谓每一个电源单独作用是指其它源变为零（电压源短路，电流源开路）。如果电路中有受控源，此类电源不能单独作用于电路。通过例 4-1 说明。

【实例 4-1】电路结构如图 4-1（a）。（1）应用叠加定理求电压 u3。（2）如果 us2 由 6

2

伏增加到 8 伏，再求 u3。

【解】（1）将（a）图分解为每一个源单独作用的(b)、(c)、(d)。 (b) 中：电压源 us1 单独作用于电路。 (c) 中：电压源 us2 单独作用于电路。

i1 (1) 10  1A 

6  4  u (1)  10i (1)  4i (1)  6i (1)  6V

1 1 1  3 (d) 中：电压源 us1 单独作用于电路。

  6

i 0.6A 1 (2) u (2)  10i (2) 6  4  4i (2)  6  9.6V

 3 1 1

4 

 1.6A i1 (3)  4 4  6 

u 3 (3)  10i1 (3)  6i1 (3)  16i1 (3)  25.6V 叠加：u 3  u1 (3)  u 2 (3)  u 3 (3)  29.2V

（2）如果 us2 由 6 伏增加到 8 伏，此题可直接根据齐性原理计算即可。

此时，u3(2)=9.6*(4/3)=12.8V，则电压 u3=-6+12.8+25.6=32.4V。

3

第二节 替代定理

在电路的分析中，可将电路的某一部分用一个理想电压源或理想电流源等值代替。通过图 4-2-1 说明。

应用任意方法（本题采用结点电压法）求出各支路电流和电压如下。

如果用一个理想电压源替代 8Ω的电部分不变，则电路变为图 4-2-2。

20 4 6 4  u  8V

 n1

1 1 1   6 8 4 

us1  un1 20  8

  2A i1 6 6  us2  un1 8  4   1A i2 4 4 

i  un1  1A 3 阻， 其它 8 

其中理想电压源的大小和参考方向如图

示。

替代后，各电压、电流均未发生变化。也可 以用一个理想电流源替代任一支路，如右支路， 如图 4-2-3。电流源的大小和参考方向如图示。替代后，各电压、电流均未发生变化。

替代定理归纳如下：对于给定的线性电阻网络，当第n条支路的电压uk 或电流ik已知时， 则该支路可以用一个理想电压源代替，其电压的大小、极性均与uk相同；也可以用一个理想电流源代替，其电流的大小、方向与 ik 相同。替代后，不影响电路中各部分的电压和电流。

定理中提到的第 K 条支路可以是有源的，也可是无源的，但一般不含受控源。

通过电阻支路证明如下：

图（a）为电路中的任一支路（电阻支路）。在二端元件的引线上串联两个理想电压源极 性如(b)。从电路可见 A、C 等电位，用导线连

4

接起来，如图(c)。最后电路为图(d)。用理想电压源代替了原来的二端元件。

用类似的方法可以证明用电流源替代已知电流的支路。

第三节 戴维南定理和诺顿定理

在某些实际问题中如果只求电路中某一支路的电流或电压，就不必列方程组求出所有支路的电流、电压。只需找出待求支路以外的二端网络的等值电路即可。对于无源二端网络来说，其等值电路是一个等值电阻，对于有源二端网络来说，其等值电路是什么？ 这就是本节要叙述的问题。

一、 戴维南定理：

内容为：任何一个线性含源二端网络就其外部性能来说，可以用一个电压源等值代替，电压源的电压等于原含源二端网络的开路电压，电压源的内阻等于原含源二端网络变为无源二端网络的入端电阻。

应用戴维南定理的关键在于正确求出二端网络的开路电压和入端电阻。所谓开路电压是指外电路（负载）断开后，两端纽间的电压；入端电阻指将含源二端网络变为无源二端网络后（电压源开路，电流源短路）的入端电阻。其过程通过图 4-3-1 说明。

戴维南定理的理论证明过程略。 【说明】入端电阻的求法:

在无受控源时一般应用电阻的等效变换(电阻串联、并联，星—角转换等)； 有受控源时应用除源、加压求流

法，或用开路电压除以短路电流，即Rin 

uoc

。 isc

【实例 4-2】应用戴维南定理求例 4-2（a）中电流 I2。 【解】首先求开路电压 uoc,如图（b）。

uoc=us+R1*is=10+2*5=20V

作为电压源的电压。

再求入端电阻，将电源置为零，如图(c)。

Rin=R1+R4//(R3+R5)=2+1=3Ω作为电压源的内电阻。

应用戴维南定理，最后计算电路为（d）。 I2 

5

20

 5A 为所求。 3  1

【实例 4-3】应用戴维南定理求例 4-3（a）中电压 U0。

【解】首先求开路电压 uoc,将电压源转换为电流源如图（b）。

6

12  8I1 I   I1  1A 1 4 UOC  12  2 *1  10V

为求入端电阻,采用求短路电流的方法,如图(c)。

ISC=I1+I2=（12/2）+（8I1/2）=6+24=30A 则入端电阻 Rin=1/3Ω。

最后利用戴维南等效电路（d）。 U  1*

0

10  20

 

30

 7.5v

4 1 1

3

本题也可以用除源加压求流法求入端电阻，如图例 4-4。

在端口上加电压 u,产生电流 i。根据电路结构：

u u u

i    4( )  3u 2 2 2

u 1

入端电阻Rin   欧姆,与前面的结果相同。

i 3

二、 诺顿定理：

既然电压源和电流源之间可以进行等效转换，则含源二端网络也可以用电流源等值替代，即诺顿定理。内容如下：

任何一个线性含源二端网络就其外部性能来说，可以用一个电流源等值代替，电流

源的电流等于原含源二端网络的短路电流，电流源的内电导（电阻）等于原含源二端网络变为无源二端网络的入端电导（电阻）。应用诺顿定理的关键在于正确求出二端网络的短路电流和入端电导 （电阻）。所谓短路电流是指外电路（负载） 短路后两，端纽间的电流，入端电（导电阻指）将 含源二端网络变为无源二端网络后（电压 源开路，电流源短路的）入端电导（电阻）。其

过程通过图 4-3-2 说明。

【实例 4-4】应用诺顿定理求例 4-5（a）的电流 I。

7

【解】首先求短路电流 Isc，如（b）所示。为求出短路电流 Isc，可利用任意方法， 本题采用叠加定理，将（b）等效为（c）（d）的叠加。在（c）图中，

1 12

*  1mA ，在图（d）中，Isc（2）-2mA 。叠加结果： 2.25 1  2.25 3 

1  2.25

Isc=Isc（1）+Isc（2）=-1mA。最后等效电路为（e）。则电流

3

I  (1) *  0.6mA。

3  2

三、 由给定直流电源向负载传输最大功率的条件。

可以证明，当负载电阻等于给定的电压源的内阻时，负载可以获得最大功率。通过例 4-6 说明。求（a）图中当电阻 RX 的值多大时，其可以获得最大功率，并求出最大功率的值。 ISC (1) 

8

【解】首先求（a）图的戴维南等效电路（d）。其过程请看图（b）中的开路电压 UOC，图（c）中的入端电阻 Rin。

32  14 9

  24  3  21V UOC   6I 2 

2  4  6 12  6 6I1

6 * 6 6 *12 R in   7欧姆 6  6 6  12 在于(d)中，

dPRX UOC

22获得最大功率，必须令 0 ) * R X。为使R X PRX  I * R X  ( dR X R in  R X

则：R X  R in即最大功率的传输条件。最大功率的值PMAX 

U OC2

4R in

212

 15.75W 4 * 7

第四节 特勒根定理

特勒根定理是电路理论中普遍适用的定理，是在基尔霍夫定律的基础上发展起来的。不但适用于线性电路，而且适用于非线性电路和时变网络。

定理 1。一个具有 n 个结点、b 条支路的电路，假设各支路电压和电流选择关联参考

9

b

方向，支路电压和电流分别为：u1—ub,i1—ib，则对任意时间

 u

k1

k k

i  0 。证明略。

特勒根定理 1 实际上是功率守恒的具体体现，它表明，电路中全部支路所吸收的功率的代

数和恒等于零。

定理 2。两个具有 n 个结点、b 条支路的电路，它们可以由不同的二端元件构成，但具有相同的电路结构（即相同的拓扑图）。支路电压和电流分别为：

证明略。

特勒根定理 2 不能用功率守衡来解释，因为它是对于两个电路的描述。但其形式与特勒根定理 1 类似，故称为似功率平衡。

第五节 互易定理

互易定理的适用条件是：（1）电路中只能有一个电源，无受控源。（2）电路中均为线性元件。内容为：对仅含线性元件的电路，在单一激励的情况下，激励和响应互换位置，将不改变响应的大小。

互易定理有三种形式。

形式 1。如图 4-5-1。当将图（a）中的电压源和电流响应 I1 交换位置时，得到图(b)。则短路电流 I1=I2。应用特勒根定理 2 可以证明，在此略。

形式 2。如图 4-5-2。当将图（a）中的电流源和电压响应 U1 交换位置时，得到图(b)。则开路电压 U1=U2。应用特勒根定理 2 可以证明，在此略。

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形式3。如图4-5-3如。果将(a)图中的电流源换为(b)图中的电压源，且Us=Is,则U1=I2。

I2 I S

 。 ， 一般情况下

US U1

【实例 4-7】图示电路中，N 仅由电阻组成，对不同的电源及电阻 R1、R2 进行两次测量，结果如下：当 R1= R2=2Ω、US =8V 时， I1=2A、U2=2V；当 R1=1.4Ω、R2=0.8Ω、US '=9V 时，I '=3A、求 U '=？ 1 2

【解】根据特勒根定理 2 进行计算。

由条件 1：U1=US-R1I1=8-2*2=4 I2=U2/R2=2/2=1A

由条件 2：U '= U '- R I '=9-1 S 1 1

1.4*3=4.8V U1 2 1(-I ')+ U I 2 1 1 '= U ' (-I )+

U ' I 2 2 带入数据

''

4(-3)+2(U 2 /0.8)=4.8(-2)+ U 2 *1 得 U2 '=1.6V

本章必做的作业:4-1,4-3,4-4,4-6,4-7,4-10,4-12,4-15,4- 16,4-17,4-18，4-20。

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