高中数学 第二章 变化率与导数 2. 变化的快慢与变化率—瞬时变化率教案 北师大版选修2-2

变化的快慢与变化率——瞬时变化率

一、教学目标:

1、理解函数瞬时变化率的概念;

2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。 3、理解瞬时速度、线密度的物理意义,并能解决一些简单的实际问题。 二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。

教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程

（一）、复习：函数平均变化率的概念

1、对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f（x1）变为f(x2)。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数yf(x)在(x0,x0x)内的平均变化率为2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系. （二)、探究新课

例1、一个小球从高空自由下落,其走过的路程s(单位：m）与时间t（单位:s）的函数关系为

y，如我们常用到年产量的平均变化率。xs212gt 2其中，g为重力加速度(g9.8m/s)，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。 分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式

ss(t1)s(t0), tt1t0可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度

s(6)s(5)176.4122.553.9(m/s）。

651我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度.为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5~5。1s这段时间内的平均速度

s(5.1)s(5)127.45122.549.5（m/s）。

5.150.1用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。

如果时间间隔进一步缩短,那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。 解：我们将时间间隔每次缩短为前面的

1，计算出相应的平均速度得到下表： 10- 1 -

学必求其心得，业必贵于专精 时间的改变量 路程的改变量 (Δs ）/m 4.95 0.49 0.049 0。0049 … t0/s 5 5 5 5 5 t1/s （Δt)/s 5.1 5。01 5。001 5.0001 … 0.1 0。01 0.001 0.0001 … 平均速度s/（m/s) t49.5 49。049 49.0049 49。00049 … 可以看出,当时间t1趋于t0=5s时,平均速度趋于49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬时速度为49m/s。从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m。

例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m。x(单位：长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：

m）表示OX这段棒

yf(x)2x。

估计该合金棒在x=2m处的线密度。

分析:一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度。 解：由yf(x)2x，我们可以计算出相应的平均线密度得到下表

平均线密度 长度x的改变量 质量y的改变量 （Δs ）/kg 0。070 0。0071 0.00071 0。000071 … x0/s x1/s (Δx）/m y/（kg/m) x0。70 0。71 0。71 0.71 … 2 2 2 2 2 2。1 2。01 2.001 2.0001 … 0.1 0.01 0。001 0.0001 … 可以看出,当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋于0.71kg/m，因此，可以认为合金棒在x0=2m处的线密度为0。71kg/m。从上面的分析和计算可以看出,线密度为0.71kg/m的物理意义是，如果有1m长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg.

（三)、小结：对于一般的函数yf(x)，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若设Δx= x1－x０，yf(x1)f(x0)，则函数的平均变化率是

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学必求其心得，业必贵于专精

yf(x1)f(x0)f(x0x)f(xx0)xx, 10x而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。 （四）、练习:课本P30练习2:1、2. （五）、作业：课本P31习题2-1：3、4、5 五、教后反思：

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