Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ日” 铆，ｊｃ日ｆｆＤｎ 计算机工程与应用 一种欠定盲源分离新算法 董天宝，杨景曙 ＤＯＮＧ Ｔｉａｎｂａｏ，ＹＡＮＧ Ｊｉｎｇｓｈｕ 电子工程学院７０２室，合肥２３００３７ Ｔｅａｃｈｉｎｇ ａｎｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７０２，Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｈｅｆｅｉ ２３００３７，Ｃｈｉｎａ ＤＯＮＧ Ｔｉａｎｂａｏ，ＹＡＮＧ Ｊｉｎｇｓｈｕ．Ｎｅｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｌｉｎｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎ－ ｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１２，４８（１２）：１１２－１１５． Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｎｅｗ ｔｗｏ—ｓｔｅｐ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｍｉｘｉｎｇ ｍａｔｉｘ ｒｉｓ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｕｓｉｎｇ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｓｏｕｒｃｅｓ ａｒｅ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｕｓｉｎｇ ａ ｆａｓｔ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｈｉｃｈ ｄｅｆｉｎｅｓ ａ ｃｏｎｔｉｎｕ— ＯＵＳ ａｎｄ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＳＯ ａｓ ｔｏ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｎｏｒｍ．Ｔｈｅ ｎｅｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｒｕｎｓ ｆａｓｔ ａｎｄ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ． Ｉｔ ｉＳ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｌｙ ｓｈｏｗｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｒｕｎｓ ｆａｓｔｅｒ ｔｈａｎ ｏｔｈｅｒ ｔｗｏ ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｕｓｉｎｇ ｆａｓｔ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ －ｎｏｒｍ ａｎｄ ＯＭＰ ｍｅｔｈｏｄｓ，ｗｈｉｌｅ ａｃｑｕｉｒｉｎｇ ａｌｍｏｓｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｑｕａｌｉｔｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｌｉｎｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ；ｓｐａｒｓｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｔｗｏ－ｓｔｅｐ ｍｅｔｈｏｄ； －ｎｏｒｍ 摘要：提出了一种基于两步法的欠定盲源分离新算法。在混合矩阵估计阶段，采用基于势函数的聚类方法， 在源信号恢复阶段，提出一种快速的稀疏信号重构算法，通过定义一个连续可微函数来近似 范数，使得 范数可解。该算法的特点是实现简单、速度快。仿真实验表明，与现有的采用快速 范数最小化和ＯＭＰ算法 的欠定盲源分离方法相比，提出的算法在保证分离性能的前提下大幅度提高了算法的运行速度。 关键词：欠定盲源分离；稀疏分量分析；两步法； 范数 文章编号：１００２．８３３１（２０１２）１２．０１ｌ２—０４ 文献标识码：Ａ 中图分类号：ＴＮ９１１．６ １ 引言 盲源分离是当前国内外的一个热点研究课题， 在无线通信、雷达、语音、图像、医学等领域具有广阔 对于欠定盲源分离问题，普通的盲分离算法不 再适用，目前的研究方法主要是基于信号的稀疏分 量分析，采用两步法来解决：首先估计混合矩阵，然 后在已知混合矩阵的前提下重构源信号。对于混合 矩阵的估计，目前主要采用聚类的方法，如势函数 法ｎ 、 均值法 、模糊Ｃ均值法 、基于霍夫直线检测 的方法Ｈ 。在稀疏分量分析的方法中，估计源信号就 是寻找式（１）的最稀疏解，它可以转化为下面的优化 问题： 的应用前景。近几年欠定盲源分离（即传感器数目 少于源信号数目时的盲分离）得到了更多学者和工 程人员的关注。欠定盲源分离可以用下面的数学模 型描述： （ ＝ （力＋，ｌ（０ （１） 其中 （ｆ）＝［ ），Ｘ２ ），…， （ 是ｆ时刻的ｍ×１的 观测信号向量，Ａ是未知的ｍ×ｎ（ｍ＜ＹＩ）混合矩阵， 量，，ｌ（ｆ）是未知的 ×１加性噪声向量。欠定盲源分 离的目的就是在传感器数目小于信号数目且仅仅知 道观测信号的条件下重构源信号。 （Ｐ０）：ｍｉｎ ｌｌｓ（ｔ）ｌｌ ｓ．ｔ． （ｆ）： （ｆ） 范数，（Ｐ ）问题的解通常称为最小 范数解。 （２） Ｉｓ（０１１ 表示 （ 的非零元素的个数，通常称为 。 ｓ（ｔ）＝Ｉｓ ），Ｓ２（ ），…， ］Ｔ是ｔ时刻的未知的源信号向 其中ｌ然而（Ｐ ）问题是一个ＮＰ问题，它的计算时问随 着 （ 的维数的增加呈指数级增长，而且对噪声比较 作者简介：董天宝（１９７６一），男，博士生，讲师，主要研究方向：盲信号处理；杨景曙（１９５０一），男，教授，博士生导师，主要研究方 向：智能信号处理。Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｔｂｌ＠１６３．ｃｏｒｎ 收稿日期：２０１０．１２—１０ 修回日期：２０１１－０２—１０ ＣＮＫＩ出版日期：２０１１—０７．２０ ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２・８３３１．２０１２．１２．０２２ ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／１１．２１２７．ＴＰ．２０１１０７２０．１５１６．０６２．ｈｔｍｌ 董天宝，杨景曙：一种欠定盲源分离新算法 敏感。因此，许多学者致力于研究解决（Ｐ ）问题的替 代方法，许多学者已经证明，在满足一定条件下，下 也可以近似表示为： 胁 ㈦ 面问题的解与（Ｐ ）问题的解等价： （Ｐ】）：ｍｉｎ ｌＪ ） ｓ．ｔ． （ｆ）＝ （ ） （３） 定义如下函数： Ｌ （Ｐ ）问题的解通常称为最小 范数解。（Ｐ ）问题通 常可以采用线性规划的方法来解决。ＢＰ算法就是解 （ ）＝ ｆ＝１ ） （９） 决（Ｐ ）问题的一个经典算法，但它所需运行时间较 长。为此许多人提出了不同的算法以提高运行速 由式（９）可知，当 足够小时，Ｆ（ ）代表信号为零的 元素的个数，由此可得： 度，如文献［５—９］就是近几年提出的几种快速 范数 最小化方法。此外正交匹配追踪（０ＭＰ）算法也是一 种比较常用的用于稀疏信号重构的算法，它也是目 前运行速度较陕的算法之一。 本文研究基于两步法的欠定盲源分离问题，对 于两步法的第二步，即稀疏信号的恢复问题，提出一 种采用连续函数代替 。范数的方法，从而解决了直 接求解 范数所遇到的难题，与现有的基于线性规 划的方法和ＯＭＰ方法相比，大大提高了算法的运行 速度。 ２混合矩阵的估计 混合矩阵的估计采用文献［１］中的势函数法，定 义如下的势函数： （ ， ）＝∑，， （ （ 一 ））） （４） 其中，， ＝√ ）＋ ； ），０（ｔ）＝ｔａｎ～ｘ１（ｔ）／ｘ２ ）），代表观 测数据在散点图中对应的过原点的直线方向。定义 基函数： ：ｊＬ 一ｏ， ，其他 （５） 是一个常数，它可以控制角度分布的宽度。对 势函数中的变量０进行离散化０ ＝ｎ／２Ｋ＋ｋｎ／Ｋ， ＝ ｌ，２，…， 。离散化的点数 越多，角度分辨率越高。 通过检测势函数的极值点的个数和极值点，可以得 到源信号的个数及混合矩阵的估计值。 ３稀疏信号重构算法 ３．１基本思想 定义如下高斯型函数： （ ）＝ｅｘｐ（一寺） （６） 趋近于零时有： （ ＝｛０ｌ ｉ （７） ｌ ｔ＇１一 （ ） （１ｏ） 其中聆代表信号的个数，由式（１０）可知，信号 的 范数可以近似由 一 表示，当 ０时， Ｉ 与 力一Ｆ（ ）趋于无限接近。 因此，（Ｐ ）问题的解可以通过最优化方法解决， 即在满足约束条件ｘ＝Ａｓ下通过最大化函数 （ ） 来求解 ０）。 （ ）中的 决定它的平滑程度及 式（１０）的近似程度，盯越大， ）越平滑，它的局部 极值点越少，执行最大化算法时越容易，但 一 （ ） 与 范数近似程度越差； 越小，Ｆａ（ ）越不平滑，它 的局部极值点越多，执行最大化算法时越容易陷入 局部极值点，但ｇ／一Ｆ（ ）与 范数近似程度越好。 为了解决这个矛盾，采取的方法是通过逐步减小仃 值以避免陷入局部极值点。给定一个 值，在执行 最大化算法时，其初始值由前一次仃取较大值时的 优化数值解确定，当初始值处在全局极值点附近时， 逐步减小 的值，所得优化数值解也不会过多偏离 全局最优解。当盯 ０时，优化数值解就是（Ｐ ）的 解。在确定 的逐步下降序列值时，文献［１０］采取了 如下方法： 式中ｃ是一个常数。本文研究表明，在用于欠定盲源 分离算法时，仃下降的步长越小，分离效果越好，原 因是步长越小，则每一次的优化解所对应的极值点 偏离上一次较大 值对应的极值点越小。为了提高 算法的运行速度， 值的下降步长应取较大值；为了 提高算法的精度，则应减小步长值。由于盯值越大， ）越平滑，越不容易陷入局部极值点，因此在盯值 较大时，步长可以适当加大以加快算法执行的速度， 在 值较小时，由于局部极值点增多，容易陷入局部 极值点，步长则应适当缩小。 ３．２初始值的选取及收敛性分析 如上一节所述，（Ｐ ）的解可以在满足约束条件 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ口 ４ ，ｆｃ口ｆｆＤｎ 计算机工程与应用 Ｘ＝Ａｓ下对 （ 进行最大化的方法求解，由最优化 理论，采用拉格朗日方法乘数时，有： ｃ（ｓ， ）＝ （ ）－２ （Ａｓ一 （１２） （３）令仃＝盯ｌ， ＝１。 （４）当 ＞盯ｍｊ 时，执行如下步骤： ①采用梯度上升法求解优化问题的解，即在满 该最优化问题对应的最优性条件为： 足Ｘ＝Ａｓ的条件下（ ＝｛ｓｉｘ＝Ａｓ１表示可行集）求解 （ ）的最大值解： 【Ａｓ—ｘ：０ 其中 ＝一 。而采用拉格拉日乘数方法求解方程 ｊ ｅ ／２ａ２， ：ｅ－ｓ ，２ ，…， ｅ ２ ］ 一 。：０（１３） 初始化：令 ＝ 。 进行 次的迭代：令 ｅｘｐ（一ｓ￣／２ａ ）， Ａｓ＝ 的最小 范数解时，其最优Ｉ生条件为： ， …， ｌ＿Ａ ２＝０ （１４） 【Ａｓ— ＝０ 比较式（１３）和式（１４）可知，当盯 ∞时，两个式子等 价。因此本文提出方法的初始值可以设定为方程 Ｘ＝Ａｓ的最小 范数解。 定理给定单变量函数． ，其中盯∈Ｒ ，假设该 函数满足如下条件： （１） （ ＝０当 ≠０时； （２）厂（０）＝１其中 ∈Ｒ ； （３）０ 厂（ ） １其中盯∈Ｒ ，Ｓ∈Ｒ； （４）对任意的正值参数Ｄ和 ，存在ｃｒｎ∈Ｒ ，满足 如下式子： ＩＳＩ＞ ＝＝＞ （ ＜ ＜盯ｏ） （１５） 此外，假设矩阵Ａ行满秩，令Ｓ￣－｛ｓＩｘ＝Ａｓ｝，Ｆ（ 由式（９）定义，假设方程ｘ＝Ａｓ存在一个稀疏解 ∈Ｓ， 且其稀疏度 Ｉ１０＝ｋ＜ｍ／２，并且令 ＝ ；，…， ：） 表示Ｆ（ ）的一个极大值解，且 ∈Ｓ，则如下的关系 成立： ｌｉｍ￥ ＝ 。 （１６） 口—÷０ 该定理保证了本文提出的算法的收敛性。 ３．３算法实现 本文提出算法的实现步骤为： （１）初始化： ＝ （ ） ，即用最小 范数 解进行初始化。 （２）设置合适的参数值： 表示盯取的第一个 值，通常取为２倍Ｉ￣ｍａｘ ， 表示 取的最小数 值，该参数的取值与噪声有关，ｃ表示式（１１）中的步 长系数，一般取值在０．５和１之间，ｃ一表示该算法中 Ｃ可能取的最大值，Ｐ表示变步长时的系数，上表示 采用梯度上升法时的迭代次数，一般取为３， 表示 梯度上升法中的迭代步长，一般取值为大于等于１的 数，取值越小，迭代法的收敛性越好。 ２ ｅｘｐ（一ｓ￣／２ａ ），…， ｅｘｐ（一ｓ２／２ａ ）】Ｔ；ｓ＝ｓ－ｐ６；将 重新投影到可行集 上： ＝ —Ａ （ＡＡ ）～（Ａｓ一 。 ②减小盯的值，令盯＝ＣＧ。 ③若Ｃ＞Ｃ 则令ｃ＝ｃ一，否则令Ｃ＝ｐｃ。 ④令§；＝ｓ。ｊ：ｊ＋１。 （５）最后结果为 ＝ 。 ４仿真实验 为了验证本文提出的算法的性能，将现有的两 个快速稀疏信号重构算法（一个是文献［５］中的梯度 投影算法（ＧＰＳＲ），另一个是ＯＭＰ算法）用于欠定盲 源分离，与本文提出的算法进行了比较，从运算时间 和重构源信号的性能两方面进行了比较，恢复源信 号的性能用最小均方误差（ＭＳＥ）来衡量，其定义为 一 ／ｎ，其中 为源信号的估计值， 为源信号， 为采样点数。传感器为２个，源信号为４个语音信 号。混合矩阵 为： —ｌ０．９９８ ５—０．１ｌ４２ ０．２１５ ２ ０．４０２ ７Ｉ — １０．０５５ ５ －０．９９３ ５－０．９７６ ６ ０．９１５ ３ｌ 首先将观测信号进行短时傅里叶变换到时频 域，然后采用势函数法估计出混合矩阵 ，在混合矩 阵估计出来后分别采用三个不同的稀疏信号恢复算 法得到时频域的源信号的估计值，最后采用逆短时 傅里叶变换将时频域的信号恢复成时域信号。仿真 参数设置如下： １＝２ｍａｘ［ｓｆＩ，盯 ｉ ＝０．００１，ｃ＝０．５， ｃ ＝Ｏ．８，Ｐ＝１．３，Ｌ＝３， ＝１。图１给出了源信号 和重构信号的波形图。 表１是三个算法运行所需时间。 图２是源信号重构的性能对比图。 由表１及图２可知，本文提出算法的运行速度 大大快于采用梯度投影和ＯＭＰ的欠定盲源分离算 法，在源信号重构性能上，ＯＭＰ算法的性能最好， ＧＰＳＲ的性能最差，本文提出的算法与ＯＭＰ算法的 性能相当。 董天宝，杨景曙：一种欠定盲源分离新算法 ２０１２，４８（１２） １１５ 薹 三 ．。．０． ０５ ，三 三 一 Ｕ ｕ．） Ｊ．ｕ １．５ ２．０ ２．５ ３．０ 一 ｕ ０．５ １．０ １．５ ２．０ ２．５ ３．０ 采样个数 １０ 采样个数 １０ ０． ０５ 三 巨三 三三 采样个数 １０ 采样个数 １０４ 踅巨 函 三互 ０ ０．５ １．０ １．５ ２．０ ２．５ ３．０ 巨 三至 ０ ０．５ １．０ １．５ ２．０ ２．５ ３．０ 采样个数 １０ 采样个数 １０ ｏ ０５Ｅ三三三三 ０ ０．５ １．０ １．５ ２．０ ２．５ ３．０ 嚣Ｅ三 ０ ０．５ １．０ １．５ 三 ２．０ ２．５ ３．０ 采样个 １０ 采样个 １０ （ａ）源信号 （ｂ）重构后的信号 图１ 源信号和重构后的信号波形图 表１算法运行时间 ｓ ｓｅｎｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｂｌｉｎｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｅｕｒａｌ Ｃｏｍｐｕｔａ－ ｔｉｏｎ，２００４，１６（６）：１１９３—１２３４． ［３］Ｚｉｂｕｌｅｖｓｋｙ Ｍ，Ｋｉｓｉｌｅｖ Ｐ，Ｚｅｅｖｉ Ｙ Ｙ，ｅｔ ａ１．Ｂｌｉｎｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｖｉａ ｍｕｌｔｉｎｏｄｅ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｃ］／／Ａｄｖａｎｃ－ ｅｓ ｉｎ Ｎｅｕｒａｌ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ， ＭＡ，ＵＳＡ：ＭＩＴ，２００２：１０４９—１０５６． ［４］Ｌｉｎ Ｊ Ｋ，Ｇｒｉｅｒ Ｄ Ｇ，Ｃｏｗａｎ Ｊ Ｄ．Ｆｅａｔｕｒｅ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ ａｐ・ ｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｂｌｉｎｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ Ｗｏｒｋｓｈｏｐ ｏｎ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｆｏｒ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓ－ ｉｎｇ．Ａｍｅｌｉａ Ｉｓｌａｎｄ，ＦＬ，ＵＳＡ：ＩＥＥＥ，１９９７：３９８—４０５． ［５］Ｆｉｇｕｅｉｒｅｄｏ Ｍ，Ｎｏｗａｋ Ｒ，Ｗｒｉｇｈｔ Ｓ．Ｇｒａｄｉｅｎｔ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ：ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｅｌｅｃｔｅｄ 信号 Ｔｏｐｉｃｓ ｉｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００７，１（４）：５８６—５９７． 图２源信号重构性能对比 ［６】Ｄｏｎｏｈｏ Ｄ，Ｔｓａｉｇ Ｙ．Ｆａｓｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ １ １一ｎｏｒｍ ｍｉｎｉｍｉｚａ－ ｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｍａｙ ｂｅ ｓｐａｒｓｅ［ＥＢ／ＯＬ］． ５结束语 （２００６）．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｓｔａｎｆｏｒｄ．ｅｄｕ／ｔｓａｉｇ／ｒｅｓｅａｒｃｈ．ｈｔｍ１． 研究了两步法的欠定盲源分离算法，提出了一 ［７］Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ Ｉ，Ｄｅｆｒｉｓｅ Ｍ，Ｍｏｌ Ｃ．Ａｎ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ 种快速的信号重构算法，用连续可微函数来近似 。 ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ａ ｓｐａｒｓｉｔｙ ｃｏｎ— 范数，解决了直接求解最小化 范数所遇到的难 ｓｔｒａｉｎｔ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐｕｒｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈ， 题。仿真实验表明，与已有的两个算法相比较，本文 ２００４，５７：１４１３．１４５７． ［８］Ｂｅｃｋ Ａ，Ｔｅｂｏｕｌｌｅ Ｍ．Ａ ｆａｓｔ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｓｈｒｉｎｋａｇｅ—ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ－ 提出的算法易于实现，且在保证较好的信号分离性 ｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｈｔｍ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊｏｕｒ— 能的前提下大大提高了欠定盲源分离的速度。 ｎａｌ ｏｎ Ｉｍａｇｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２００９，２（１）：１８３—２０２． ［９】Ｙａｎｇ Ｊ，Ｚｈａｎｇ Ｙ．Ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ １ １・ 参考文献： ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｅｎｓｉｎｇ［Ｒ］．Ｒｉｃｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００９． ［１］Ｂｏｆｉｌｌ Ｐ，Ｚｉｂｕｌｅｖｓｋｙ Ｍ．Ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｌｉｎｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐ— ［１０］Ｍｏｈｉｍａｎｉ Ｈ，Ｂａｂａｉｅ－ｚａｄｅｈ Ｍ，Ｊｕｔｔｅｎ Ｃ．Ａ ｆａｓｔ ａｐｐｒｏａｃｈ ａｒａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， ｆｏｒ ｏｖｅｒｃｏｍｐｌｅｔｅ ｓｐａｒｓｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｍ￣ｄｅ ２００１，８１（１１）：２３５３．２３６２． １０一ｎｏｒｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００９，５７： ［２】Ｌｉ Ｙ Ｑ，Ｃｉｃｈｏｃｋｉ Ａ，Ａｍａｒｉ ｓ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅ— ２８９—３０】．
