计算方法复习题大全

例1． 已知数 x=2.718281828...,取近似值 x*=2.7182,那麽x具有几位有效数字 点评；考查的有效数字的概念。

e*xx*2.7182818282.71820.00008182解；

110.0005103101422故有四位有效数字。

例2．近似数x*0.01999关于真值x*0.02000有几位有效数字

e*xx*0.019990.020000.00001解：

110.00005104101322故有三位有效数字。

例3．数值x*的近似值x=0.1215×10－2，若满足xx( )，则称x有4位有效数字

点评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。 解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如0.a1a2a3an的数

1则绝对误差限一定为104，由于题目中的数x0.a1a2an102,故最终的

211绝对误差为 104102106

22******例4．有效数x1的相对误差限。 3.105,x20.001,x30.100，试确定x1x2x3

点评；此题考查相对误差的传播。

nf*er(y)()er(xi*)xi*i1xi**1*2*3y*

*********er(x1)x1er(x2)x2er(x3)x3e(x1)e(x2)e(x3)故有er(xxx) ******x1x2x3x1x2x3111333101010e(x)e(x)e(x)2***22x2x3)解：er(x1=0.0004993 **x1xx33.1050.0010.100*1*2*2*3例5．sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 解法1 ：1110211010.00625（有效数字与相对误差限的关系） 28161解法2；1020.840.0059524（相对误差限的概念）

2例6．nx*的相对误差为x*的相对误差的----倍。

nf*解：根据误差传播公式er(y)()er(xi*)xi*i1xi*y*

则有 er(nx*)(nx*)'er(x*)x*/nx*1

n

第二章

例1．设f(x)可微，求xf(x)根的牛顿迭代公式----。

)0解；化简得到 xf(x

根据牛顿迭代格式 xk1xkf(xk)f'(xk)xkf(xk)1f'(xk)(k0,1,2,)

则相应的得到 xk1xk例2： 求方程

(k0,1,2,)

f(x)x3x10

在区间[1, 1.5]内的实根。要求准确到小数点后第2位。

思路；用二分法，这里a = 1, b = 1.5， 且f (a) < 0，f (b) > 0。取区间[a, b]的中点x0 = 1.25将区间二等分，由于f (x0)< 0，即f (x0)与f (a)同号，故所求的根必在x0的右侧，这里应令a1 = x0 = 1.25，b1 = b = 1.5，而得到新的有根区间（a1, b1）。 对区间（a1, b1）再用中点x1 = 1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤2、3； 解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式

x*xkbk1ak112k1(ba)

解得k = 6，即只要二分6次，即达所求精度。计算结果如下表：

k 0 1 2 3 4 ak 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 bk 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 f (xk)的符号 - + - + + 5 6 1.3125 1.3203 1.3281 1.3281 1.3203 1.3242 - - 例3：求方程f(x)x10x20的一个根

解：因为f (0) = 1>0 f (1) = -7 <0，知方程在[0, 1]中必有一实根，现将原方

程改为同解方程

10xx2 xlgx(2)

由此得迭代格式

xk1lg(xk2)

收敛性判断；当x(0,1)时，(x)lg(x2)(0,1)，且由于

'(x)110.21711， 故迭代格式收敛

(x2)ln102ln10取初始值x0 = 1，可逐次算得

例4：求方程x33x10在[0, 0.5]内的根，精确到10-5。

解：将方程变形

1x(x31)(x)

3

x1 = 0.4771 x2 = 0.3939 „ x6 = 0.3758 x7 =0.3758

因为'(x)x20，在[0, 0.5]内为增函数，所以

Lmax'(x)0.520.251

满足收敛条件，取x0 = 0.25，用公式（2.3）算得

x1 =  (0.25) = 0.33816 x2 =  (x1) = 0.3462668 x3 =  (x2) =0.3471725

x4 =  (x3) =0.3472814 x5 =  (x4) =0.3472945 x6 =  (x5) =0.3472961 x7 =  (x6) =0.3472963

取近似根为x* = 0.347296

例5： 用牛顿迭代法建立求平方根c （c >0）的迭代公式，并用以上公式求

0.78265

解：设f(x)x2c，（x >0）则c就是f (x) =0的正根。由为f’ (x) = 2x，所以得迭代公式

xk12xkc xk2xk或

xk11cx k2xk （2.6）

由于x >0时，f’ (x) >0，且f (x) > 0，根据定理3知：取任意初值x0c，所确定的迭代序列{xk}必收敛于c。 取初值x = 0.88，计算结果见表

k 0 1 2 3

0.88 0.88469 0.88468 0.88468

xk

故可取0.782650.88468

第三章

例1．.用列主元消去法解线性方程组

12x13x23x31518x13x2x315 xxx6231计算过程保留4位小数.

123315 (选a18为主元) 解. [Ab]=183115211161183115r1,r2)(151233(换行，消元)

116112r1181r3r118r2

311518(选a1.1667为主元，并换行 012.33353270.94445.166701.166消元)

311518 系数矩 01.16670.94445.166703.142.42850(r2,r3)1r3r21.1667阵为上三角形矩阵，于是回代得解

9.42853.00003.1428x2[5.16670.94443.0000]/1.16672.0000 x3x1[153.000032.0000]/(18)1.0000

方程组的解为X(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T 例2：用列主元高斯消去法求解方程

2x1x23x314x12x25x34 x2x721 由于解方程组取决于它的系数，因此可用这些系数（包括右端项）所构成的

“增广矩阵”作为方程组的一种简化形式。对这种增广矩阵施行消元手续：

2131* 42

1207 第一步将4选为主元素，并把主元素所在的行定为主元行，然后将主元行换到第一行得到

10.51.25124第一步消元*2131020.5101.51.2561207110.51.2510.51.251第二步消元第三步消元010.250.5010.250.5000.8755.250016

消元过程的结果归结到下列三角形方程组：

x10.5x21.25x31x20.25x30.5 x36x19x21 x63123x114252x218 315x203回代，得

例3：用直接三角分解法解

解：（1）对于r = 1，利用计算公式

u111 u122 u133

l21 = 2 l 31 = 3 （2）对于r = 2，

u22a22l21u12= 5 – 2  2 = 1

u23a23l21u13= 2 – 2 3 = -4

l32(a32l31u12)(132)5

u221（3）r = 3

u33a33(l31u13l32u23)5(33(5)(4))24

3112A2114LU

35124于是

（4）求解：

Ly = b 得到

y1 = 14 y2 = b2 – l21y1 = 18 – 2  14 = -10 y3 = b3 – (l31y1 + l32y2) = 20 – (3 14 + (-5)(-10)) = - 72 从而 y = (14, -10, -72)T 由Ux= y 得到

x3y3723 u3324

x2(y2u23x3)10(43)2

u221y1(u12x2u13x3)14(2233)1

u111

x1x(1,2,3)T

911x170x27 18109x38例5：用雅克比迭代法和高斯――赛得尔迭代法解线性方程组

解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高

斯――赛得尔迭代法都收敛。

D = diag (9, 8, 9) D-1 = diag (1/9, 1/8, 1/9)

1/91/901IDA1/800

1/9007/91 Db7/8

7/9雅克比迭代法的迭代公式为：

X(k1)01/91/97/91/800X(k)7/8 1/907/90取X(0) = (0, 0, 0)T，由上述公式得逐次近似值如下：

k 0 1 2

X (i)

3

0.99420.9993 0.99934

0.99930.9993 0.999300 00.77780.8750 0.880.97380.9723 0.9753

高斯――赛得尔迭代法：

(k1)1(k)(k)xxx71239(k1)1(k1)(k)x1x37 x28(k1)1(k1)(k1)xx0x83129

迭代结果为：

k

0 1 2 3 4

x(i)

00 00.77780.9722 0.97530.99420.9993 0.99930.99981.0000 1.00001.0001.000 1.000

9x12x2x36例6．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组x18x2x38

xx8x8312收敛性，并取x(0)(1,0,0)T，求近似解x(k1)，使得xi(k1)xi(k)103（i=1，2，3） 解法同上（1，1，-1）

1021，例7. 设矩阵A＝2101那么以A为系数矩阵的线性方程组AX＝b的雅

125可比迭代矩阵为( A )

00.20.1 (B) (A)0.200.10.20.4010.20.10.210.1 0.20.41021201 1200.20.10 (D) (C) 0.200.100.20.4例8、 高斯--塞尔德迭代法解线性方程组

的迭代格式中求 ＿

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

例9、 若

第五章

第六章

则矩阵A的谱半径

(A)= ＿＿＿

x12.81． 矛盾方程组的最小二乘解为----。

x13.22． 给出拟合三点A(0,1),B(1,0)和C(1,1)的直线方程。 第七章

1．插值型求积公式的求积系数之和为＿1＿＿

已知f(x)x21，则差商f[1,2,3] 。

33． 求积公式f(x)dx2f(2)有几次的代数精确度？（1）

14． 插值型求积公式

baf(x)dxAif(xi)的代数精确度至少是----次。N

i0n(4)5． 已知n=4时牛顿－科茨求积公式的科茨系数C0716(4)2(4),C1(4),C2,那么C3904515716239 90451590＝( ) (A)790(B)b15n(C)215(D)16． 设求积公式f(x)dxAkf(xk)，若对 的多项式积分

ak0公式精确成立，而至少有一个m+1次多项式不成立。则称该求积公式具有m次代数精度.

7． 取m=4,即n=8，用复化抛物线求积公式计算积分 计算过程保留4位小数. 解 n=8, h=

1.202

0.15,f(x)=ln(1+x) 81.20ln1(x2)dx

计算列表

f(xk) 奇数号 0.022 3 0.184 4 0.446 3 =2ln(1xk) k 0 1 2 3 4 5 xk 0.00 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 偶数号 0.086 2 0.307 5 端点 0 6 7 8 

0.90 1.05 1.20 0.593 3 0.743 1 1.396 1 0.987 0 0.2 0 0.2 0

代入抛物线求积公式 hln(1x2)dx[f0f84(f1f3f5f7)2(f2f4f6)] 030.15 ＝[0.2041.396120.987]0.4225

31.2

第八章

例1用欧拉法求初值问题

0.9yy'12xy(x0)1x000.9y代入欧拉法计算公式。就得 12x0.9yn12xnynn0,1,,5

当h = 0.02时在区间[0, 0.10]上的数值解。

解 把f(x,y)yn1ynh

0.018112xn

具体计算结果如下表：

n xn yn y(xn) n = y(xn) - yn 0 0 1.0000 1.0000 0 1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 2 0.04 0.9650 0.9660 0.0005 3 0.06 0.94 0.9503 0.0014 4 0.08 0.9336 0.93 0.0018 5 0.10 0.9192 0.923 0.0021

例2．.取h=0.1, 用改进欧拉法预报－校正公式求初值问题

y1xy2 y(0)1在x=0.1, 0.2处的近似值. 计算过程保留3位小数.

预报－校正公式为

2yk1ykhf(xx,yk)ykh(1xkyk)2hh2yy[f(x,y)f(x,y)]y(2xyxyk1kkkk1kkkk1k1k1)22h=0.1,x0=0，y0=1，x1=0.1，于是有

y110.1(1012)1.2 0.122(2010.11.2)1.227y112h=0.1,x1=0.1，y1=1.227，x2=0.2，于是有

y21.2270.1(10.11.2272)1.488 0.122(20.11.2270.21.488)1.528y21.2272

所求为y(0.1)y1=1.227 y(0.2)y2=1.528

例3 导出用三阶泰勒级数法解方程

y'x2y2

的计算公式 解: 因

y'f(x,y)x2y2

yf'2x2yy'2x2y(x2y2)

yf22yy2(y')224xy2(x2y2)(x23y2) y(4)f2yy2y'y4y'y2yy6y'y4y4x(3x25y2)8y(x2y2)(2x23y2) 故 而

yn1ynhfn121hfnh3fn 26

h4(4)R3fn()4!xnxn1

其中fn(k)表示f(x, y)对x的k阶偏导数在x = xn点上的值。 例4 用龙格――库塔法解初值问题 y’ = x2 – y (0≤x≤1) y(0) = 1 解 ： 取 h = 0.1， 由下面公式

hyy(k12k22k3k4)n1n6k1f(xn,yn)1h k2fxnh,ynk1221hk3fxnh,ynk222k4fxnh,ynhk32k1xnyn2k2(xn0.05)(yn0.05k1) 2k3(xn0.05)(yn0.05k2)k(x0.1)2(y0.1k)nn34

把初始条件x0 = 0，y0 = 1，代入,得k1 = -1，k2 = -0.9475，k3 = -0.9501，k4 = 0.50，

将这些k值代，得

y110.112(0.94750.9501)0.50 60.90516重复上述步骤可算出y2，y3，„，y10等。

y'f(x,y) 例5．设有求解初值问题的如下格式

y(x0)y0yn1ayn1bynchf(xn,yn)

如假设yn1y(xn1),yny(xn)问常数a,b,c为多少时使得该格式为二阶格式？