维普资讯 http://www.cqvip.com ＜中学数学杂志》（高中）２００２年第２期 ４７ 例谈数学复 习中的“小题大做” 江苏省沭阳高级中学 ２２３６００ 宋亚南 在数学总复习的实践过程中，我深深体会到 “小题大做”的“美妙”． 所谓“小题大做”，就是在数学复习中把一些小 题作为范例，利用它起点低、人手易的特点，在这些 小题上大做文章，或变换思维的角度，或把它引申、 面来考虑问题，经过探讨，师生又找出了另外四种解 法： 方法３（分割法） 如图３，取ＢＣ中点Ｄ，连结ＡＤ、ＰＤ， 易证：ＢＣ－ｌ＿ＡＤ，ＢＣ－ｌ＿ＰＤ， 拓展、变式等，以深化学生对基础知识的理解，完善 学生的知识结构，在综合性强的练习中进一步形成 基本技能，优化思维品质，使学生在多次的练习中充 分运用数学思想方法，提高数学能力． 下面仅以一例详细说明之： 。 Ｐ 图ｌ 图２ 例１如图１，三棱锥Ｐ—ＡＢＣ中，ＰＡ：ａ，ＡＢ ＝ＡＣ＝２ａ， ＰＡＢ： ＰＡＣ＝ ＢＡＣ＝６０。，求 三棱锥Ｐ—ＡＮ２的体积． 方法ｌ（直接运用体积公式） 作ＰＯ－ｌ＿面ＡＢＣ于０，令 ＰＡＯ：０，易证出： ｃｏｓＺＰＡＢ＝ｃｏｓＺＢＡ０・ｃｏｓＯ． 即ｃｏｓ６０。：∞ｓ３０。ｃｏｓＯ，则ｃｏｓＯ＝ ， Ｊ 则ＰＯ：ＰＡｓｉｎ ＝ 口， Ｊ 所以 一脚＝ １・Ｓ脯・ ・ＰＯ＝ ／Ｎ 口 ． 点评：此解法旨在深化学生对运用体积公式求 体积的基本方法的理解和掌握． 方法２（等积变换） 由已知可得：ＰＣ＝ＰＢ＝，／５口，从而 ＡＰＢ： ＡＰＣ＝９０。，所以ＡＰ－ｌ＿ＰＢ，ＡＰ－ｌ＿尸ｃ，所以ＡＰ －ｌ＿面ＰＢＣ，则 １ ．／５． 脚＝ 一ｐＢＣ：寺・ ・ＡＰ＝～－Ｔ“ ． 点评：通过换底求体积，使学生掌握求锥体体积 最常用的方法——等积变换． 在分析完以上两种解法以后，为了使学生能对 求体积问题有一个系统而有全面地认识和了解，我 又在原题的基础上加以引伸，适当向外发挥，引导学 生变换考虑问题的角度，启发学生从分割、补形两方 所以ＢＣ－ｌ＿面ＰＡＤ， 则 肼： 一ＡＰＩ）＋ —Ａ田 ：｛． ．ＢＣ： ，． Ｐ Ｃ Ｃ ８ ８ 图３ 图４ 方法４（分割法） 如图４，分别取ＡＢ、ＡＣ中点Ｄ、Ｅ， 则三棱锥Ｐ—ＡＤＥ为正四面体，其棱长为ａ， 可求出 一ＡＤＥ ｎ ， ・ 又可证得： 一＾雎＝ 一脚， 所以 一脚＝ ｎ ． 点评：将整体分割成部分，先求各个部分的体 积，再求总体积，这是求体积最常用的方法——分 割法． 方法５（补形法） 如图５，延长ＡＰ到Ｇ，使ＰＧ：ａ，连结ＧＢ、 Ｃ．Ｃ，则三棱锥Ｇ—ＡＢＣ为正四面体，其棱长为２ｎ， 可求出 一栅： ，， 又可证得： 一脚＝２ 一＾ ， 所以 脚＝ “ ． Ｇ Ｃ 口 图５ 图６ 维普资讯 http://www.cqvip.com 《中学数学杂志》（高中）２００２年第２期 方法６（补形法） 如图６，分别过Ｂ、Ｃ两点作 ，的平行线ＢＮ、 ＣＭ，使ＡＰ＝ＢＮ＝ＣＭ＝口，连结ＰＮ、ＰＭ、ＭＮ， 则原三棱锥被补成一个斜三棱柱ＰＭＮ—Ａ（ ， 由方法２可知：Ｐ４上面ＰＢＣ，所以，面删为 可得： Ｉ）Ｅ＝： ４／）。＋ＡＥ＝一２ＡＤ・ＡＥ・ｃ（ ｙ ＝ｄ ＬＯＳ２口＋口 ｃｏ 一２ａ ２ｃＯｓ口・ｃ（）ｓ ・ｃｏｓ７． 又ＯＤ上ＡＣ，ＯＥ上ＡＢ，所以，Ａ、Ｄ、０、Ｅ四 点共圆，ＯＡ为其四点圆的直径． 由正弦定理得： ：（Ｍ，所以， 斜三棱柱的直截面，可求出Ｓ ＝√２ｎ ， 则 而 一＾ｃＢ＝Ｓｒ￣，ｃ・ＰＡ＝ 口 ， 一＾ｃＢ＝３ 脚， ０４：ａ￣￣／ｃｏｓ２ａ＋ｃｏｓ２ｐ２ｃｏｓａ￣ｃｏｓｆｌ￣ｃｏｓ？＇ｓｉｎｙ， 所以 一脚＝等ｎ ３． 点评：补形法，就是将不规则的几何体补成规则 的几何体，先求规则几何体的体积，再转化为求原几 何体的体积． 在探讨完该题的六种解法以后，我又化特殊为 般，将题中的条件逐个作一变化，于是该题便进一 步变化为： 一在／＂ＡＰＯ中。 Ｐ０＝￣／—Ａｐ２＿—４０２ ，“・ｊｎ－＇７一ｃ０ 口一ｃ０ｓ 口十２ｃｏｓ口・ｃ０ｓ口．ｃ０ｓｙ Ｓｉｌｌｙ 所以， 一胛：｛・ｓ腰・Ｐ（） ｛・｛ ｎｙ・Ｐ０： 丢出・ ｙ一 ａ—ｃ０ｓ２卢十２ｃｏｓ口・ ￣ｃｏｓ７ ＝ｆ ｑ Ｃ 通过对这道“小题”“大做”以后，学生就会归纳 概括出求体积的各种常规方法和技巧，如等积变换、 分割、补形、换底等，从而进一步明确，求体积的各种 ８ Ｂ 图７ 图８ 常规方法和技巧统一的指导思想都是化残缺形为完 整形、不规则形为规则形、不熟悉形为熟悉形，而后 ＝（．． 解之． 在数学总复习的实践过程中，经常这样地“小题 大做”．不仅可以开阔学生的思维视野，帮助学生尽 如图７，三棱锥Ｐ—ＡＢＣ中，ＰＡ：口， ＡＣ：ｂ， ＰＡＣ：口， ＰＡＢ＝ ， ＢＡＣ＝ｙ，求 三棱锥Ｐ—ＡＢＣ的体积． 对这道题，可启发学生作如下探索： 如图８，过Ｐ作ＰＯ上面ＡＢＣ，ＰＤ上ＡＣ于Ｄ， ＰＥ上ＡＢ于Ｅ，连结ＯＤ、ＯＥ、ＱＡ、ＤＥ，则 ： 快形成知识脉络，建立起系统的知识结构，而且对提 高学生知识和技能的迁移能力以及综合归纳的能力 也大有裨益． Ⅱｃｏｓ口，ＡＥ＝ａｃｏｓ￣，所以，在△ ４ＤＥ中，由余弦定理 几个有趣的概率应用问题 临沂师范学院数学系 时至今日，概率论已被广泛地应用到科学技术 和现实生活中，以致我们每个人的工作和生活始终 在受着它的支配和影响．本文给出了几个有趣的概 率应用问题，可略见一斑． １ 投针妙用 ２７６００１ 徐传胜 说：“刚才我们所做的试验，就求出了 的近似值为 ．”圆周率 竟然在一个与圆“无关”的问题中 求出，这应如何解释？ 问题１ １７７７年的某日，法国科学家蒲丰（Ｃ．Ｉ） 一不妨设平行线的距离为ｎ，针长为， 为针的 中点到最近一条平行线的距离， 表示针与平行线 Ｂｕｆｆｏｎ，１７０７—１７８８）先在桌上铺一张纸，其上画好 条条等距为４厘米的平行线，又备了多枚长２厘米 的小针，然后兴致勃勃地清来许多客人，让他们向纸 ‘的夹角，则０≤ ≤号，０≤ ≤ 若针与平行线相 交，须 ≤／ｓｉｎ ，由几何概率得针与平行线相交的 概率为： 上随意投针．结果，客人们莫名其妙地共投针２ ２ｌ２ 枚，其中有７０４枚与平行线相交．蒲丰十分得意地
