襄阳市2013-2014学年普通高中调研统一测试

襄阳市2013-2014学年普通高中调研统一测试

高三数学（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

2

1．设集合A={x|112i=1+i则 abi3113，b= B．a=3，b=1 C．a=，b= D．a=1，b=3 2222123．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为

2211 A． B．- C．2 D．-2

444．已知向量a=（cos，sin），向量b=（3，-1），则|2a-b|的最大值，最小值分别是

A．42，0 B．4，42 C．16，0 D．4，0

5．命题甲：p是q的充分条件，命题乙：p是q的充分必要条件，则命题甲是命题乙的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知f（x），g（x）是定义为R的函数，

在有穷数列

前k项和大于

的概率是

中，任意取正整数k（1≤k≤10），则

7．执行如右图所示的程序框图，若输出的值为-105，则输入的n值可能为

A．5 B．7 C．8 D．10

8．已知正数x、y满足x+2y-xy=0，则x+2y的最小值为 A．8 B．4 C．2 D．0 9．给出下面结论：

①命题p：“x0R，x03x02≥0”的否定为p：“xR，x03x020”． ②若 ③函数 ④设函数

，则实数m的值为在

22内没有零点；

则f（x）为周期函数，最小正周期为

其中正确结论的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知函数有两个极值点，若，则关于x的方程

的不同实根个数为

A．4 B．4 C．5 D．6

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。将答案填在答题卡相应位置上。） （一）必做题 11．容量为60的样本的频率分布直方图共有n（n>1）个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n-1个小矩形面积和的学科网，则这个小矩形对应的频数是 ▲ ．

15x+）（212．若函数f（x）=2sin（13．设变量x、y满足约束条件（1）当k＝1时，则（2）若

的最大值为

，其中

的最大值为 ▲ ．

，则实数k的取值范围是＿＿＿＿。

14．5位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学报的数是1，第二位同学报的数也是1，之后每位同学所报的数都是前两位同学报的数之和；若报的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，

（1）当5位同学依次循环共报20个数时，甲同学拍手的次数为 ▲ ；

（2）当甲同学开始第10次拍手时，这5位同学己经循环报数到第 ▲ 个数． （二｜选题题（14、15题任选题作答）

15、如图，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE＝＿＿＿＿

16、已知曲线C：

，则曲线C被直线

所截得的弦长为＿＿＿＿

三、解答题（本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17．（本大题满分12分） 已知函数f（x）=2sinxcosx+23sin （1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）将函数f（x）的图象向左平移

2

x-3（>0）的最小正周期为．

个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，6若y=g（x）在[0，b]（b>O）上至少含有10个零点，求b的最小值．

18．（本大题满分12分）

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，„，8，其中≥5为标准A，≥3为标准B。产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准，从该厂生产的产品随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品，

（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；

（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率。 19．（本大题满分12分）

已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且{an}、{bn}满足条件：S4=4a3－2，Tn=2 bn－2． （1）求公差d的值；

*

（2）若对任意的n∈N，都有Sn≥S5成立，求a1的取值范围； （3）若a1=1，令Cn=anbn，求数列{cn}的前n项和． 20、（本大题满分12分）某投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得10-1 000万元的投资收益，现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时奖金不超过投资收益的20%， (Ⅰ)设奖励方案的函数模拟为f（x），试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f（x）的基本要求； (Ⅱ)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： (1)y=

+2；(2)y=4lgx-3．

试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求？

21．（本大题满分13分）设m＞3，对于项数为m的有穷数列an，令bk为a1,a2,,ak(km)中最大值，称数列bn为an的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．

考查自然数1,2,,m(m3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列cn． （1）若m＝5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列cn；

（2）是否存在数列cn的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．

（3）是否存在数列cn，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列cn的个数；若不存在，请说明理由．

22．（本大题满分14分）

已知函数

（1）当a＝1时，求函数f（x）的极小值；

（2）当a＝－1时，过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值； （3）设定义在D上的函数y＝g（x）在点处的切线方程为 若

在D内恒成立，则称P为函数y＝g（x）的“转点”。

当a＝8时，试问函数y＝f（x）是否存在“转点”，若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由。

2013年12月襄阳市高中调研统一测试

高三数学(理科)参及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一．选择题：BAADB CCABA 二．填空题：11．10 12．32 13．(1)

1 (2){2} 3 14．(1)1 (2)195(填196也可以，主要是对循环报数的理解) 15． 16．3 三．解答题：

17．(1)解：由题意得：f(x)sin2x3cos2x2sin(237 73) 2分

由函数的最小正周期为，得1

∴f(x)2sin(2x)

35由2k≤2x≤2k+，得：k，k∈Z ≤x≤k23212125所以函数f (x)的单调增区间是[k，k]，k∈Z

1212(2)解：将函数f (x)的图象向左平移得到y2sin[2(x4分

6分

6个单位，再向上平移1个单位，

6)3}1，即y2sin2x1的图象

所以g(x)2sin2x1 令g (x) = 0得：xk711 或 xk，k∈Z 12128分 10分

所以在每个周期上恰好有两个零点，

若y = g (x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可， 1159即b的最小值为4 121212分

18．(1)解：根据题意，由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．

∴样本中一等品的频率为二等品的频率为

60.2，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2， 302分 4分 6分

90.3，故估计该厂产品的二等品率为0.3， 30

三等品的频率为

150.5，故估计该厂产品的三等品率为0.5． 308分

(2)解：根据题意，由样本数据知，样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，

记等级系数为7的3件产品分别为C1、C2、C3，等级系数为8的3件产品分别为P1、P2、P3， 则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，P1)，(C1，P2)，(C1，P3)，(C2，C3)，(C2，P1)，(C2，P2)，(C2，P3)，(C3，P1)，(C3，P2)，(C3，P3)，(P1，P2)，(P1，P3)，(P2，P3)，共15种

10分

记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A 则A包含的基本事件有 (P1，P2)，(P1，P3)，(P2，P3)共3种

故所求的概率P(A)31515．

19．(1)解：设等比数列{bn}的公比为q，由S4 = 4a3﹣2，得：

4a4312d4(a12d)2d1．

(2)解：由公差d = 1 > 0知数列{an}是递增数列 由Sn≥S5最小知S5是Sn的最小值 ∴S4≥S5a5≤0S 6≥S5a6≥0即a14≤0a，解得：－5≤a115≥0≤－4

∴a1的取值范围是[－5，－4]．

另解：由Sn≥S5最小知S5是Sn的最小值

Snan(n1)121n122n(a12)n

当n12a1时，Sn有最小值

又S111n的最小值是S5，∴42≤2a1≤52

故－5≤a1≤－4

∴a1的取值范围是[－5，－4]． (3)解：a1 =1时，an = 1 + (n﹣1) = n 当n = 1时，b1 = T1 = 2b1﹣2，解得b1 = 2

当n≥2时，bn = Tn﹣Tn﹣1 = 2bn﹣2﹣(2bn﹣1﹣2) = 2bn﹣2bn﹣1，化为bn = 2bn﹣1． ∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴bn22n12n ∴cnn2n

记数列{cn}的前n项和为Vn，则 ∴Vn12222323„n2n

2Vn22223(n1)2nn2n1

两式相减得：Vn22223„2nn2n1 2(2n1)21n2n1(n1)2n12 ∴V1n(n1)2n2．

20．(1)解：由题意知,公司对奖励方案的函数模型f (x)的基本要求是：

12分

2分

4分

6分

4分

6分

8分

10分

12分

当x∈[10，1000]时，①f (x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③fx)≤(2)解：①对于函数模型f(x)x恒成立． 52分

x2 150当x∈[10，1000]时，f (x)是增函数，则f(x)≥1显然恒成立

xx而若使函数f(x)2≤在[10，1000]上恒成立，即29x≥300恒成立

1505x而(29x)min = 290，∴fx)≤不恒成立

5故该函数模型不符合公司要求．

②对于函数模型f(x)4lgx2

当x∈[10，1000]时，f (x)是增函数，f(x)minf(10)4lg10221. ∴f (x)≥1恒成立

4lge1x，则g(x) 5xlge12lge1lge21当x≥10时，g(x)≤0

x55分

6分

8分

设g(x)4lgx2所以g (x)在[10，1000]上是减函数 从而g (x)≤g (10) = 4lg10－2－2 = 0

xx∴4lgx2≤0，即4lgx2≤

55x∴f(x)≤恒成立.

5故该函数模型符合公司要求．

10分

12分

21．(1) 解：根据“创新数列”的定义，可得创新数列为3，5，5，5，5的数列{cn}有： 3，5，1，2，4 3，5，1，4，2 3，5，2，1，4 3，5，2，4，1 3，5，4，1，2 3，5，4，2，1

(2)解：存在数列{cn}的创新数列为等比数列

设数列{cn}的创新数列为{en}，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em = m 若{en}为等比数列，设公比为q

因为 ek+1≥ek (k = 1，2，3，…，m﹣1)，所以q≥1

当q = 1时，{en}为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m 当q＞1时，{en}为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3，…，m 又1，2，3，…，m不是等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个． (3)解：设存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列

设数列{cn}的创新数列为{en}，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em = m 若{en}为等差数列，设公差为d

因为ek+1≥ek (k = 1，2，3，…，m﹣1)，所以 d≥0，且d∈N 当d = 0时，{en}为常数列，满足条件，即为数列em = m

m1此时数列{cn}是首项为m的任意一个排列，共有Am1个

2分 4分

6分 8分

10分 12分

当d = 1时，符合条件的数列{en}只能是1，2，3，…，m 此时数列{cn}是1，2，3，…，m，有1个；

当d≥2时，∵em = e1 + (m﹣1)d≥e1 + 2(m﹣1) = e1 + m + m﹣2 又m > 3，∴m﹣2 > 0

∴em > m，这与em = m矛盾，所以此时{en} 不存在 综上满足条件的数列{cn}的个数为(m﹣1)! + 1个．

22．(1)解：当a = 1时，f(x)2x312x23x1(xxx1)(2x1)x

当0x12时，f(x)0

当12x1时，f(x)0 当x > 1时，f(x)0

所以当x = 1时，f (x)取到极小值－2．

(2)解：f(x)2x11x(x0) 所以切线的斜率k2m11n0m2mm0mlnmm

整理得m2lnm10 显然m = 1是这个方程的解,

又因为yx2lnx1在(0，+∞)上是增函数 所以方程x2lnx10有唯一实数解，故m = 1．

(3)解：当a = 8时，f(x)x210x8lnx，f(x)2x10x8x 函数y = f (x)在其图象上一点P(x0，f (x0))处的切线方程为

h(x)(2x820k10)(xx0)x010x08lnx0

设F(x)f(x)h(x)，则F(x0)0

82(xx40)(xF'(x)f'(x)h'(x)(2xx)0x10)(2x80k10)x

若0 < x(x40 < 2，F (x)在0，x)上单调递减

0所以当x∈(x40，

x)时，F (x) > F (xF(x)0) = 0，此时0xx0

0若x40 > 2，F (x)在(x，x0)上单调递减 0所以当x∈(

4x，x)时，F (x) > F (x) = 0，此时F(x)000xx0

0所以y = f (x)在(0，+∞)上不存在“转点”

若x = 2，F(x)2(x2)20x0，∴即F (x)在(0，+∞)上是增函数,

当x > x0时，F (x) > F (x0) = 0，当x < x0时，F (x) < F (x0) = 0 即点P(x0，f (x0))为“转点”

故函数y = f (x)存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．

13分 2分

2分

4分

6分

8分

10分

12分

14分