高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题3.7 三点共线证法多斜率向量均可做()

【题型综述】

三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.

【典例指引】

类型一 向量法证三点共线

例1 （2012北京理19）（本小题共14分）已知曲线C:(5m)x(m2)y8（mR） (Ⅰ)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

(Ⅱ)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线ykx4与曲线交于不同的两点M,N,直线y1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线.

22高考数学压轴题

MB方程为：y3xMkxM6，1， x2，则GxMkxM6AG3xM，1，ANxN，xNk2，

xk6M欲证A，G，N三点共线，只需证AG，AN共线 即

3xM(xNk2)xN成立，化简得：(3kk)xMxN6(xMxN)

xMk6将①②代入易知等式成立，则A，G，N三点共线得证。 类型二 斜率法证三点共线

例2.（2017•上海模拟）已知抛物线y=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N． （1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小； （2）求证：点B、O、C三点共线．

2

高考数学压轴题

∵kOB=

=

，y1y2=﹣4，

∴kOB=kOC，∴点B、O、C三点共线． 类型三 直线方程法证三点共线 例3（2017•贵阳二模）已知椭圆C：距为2．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过点R（4，0）的直线l与椭圆C交于两点P，Q，过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N，F为椭圆C的右焦点，求证：三点N，F，Q在同一条直线上．

=1（a＞0）的焦点在x轴上，且椭圆C的焦

高考数学压轴题

==，

即直线QN过点（1，0），

又∵椭圆C的右焦点坐标为F（1，0）， ∴三点N，F，Q在同一条直线上．

高考数学压轴题

类型四 多种方法证三点共线

例4.（2017•保定一模）设椭圆x+2y=8与y轴相交于A，B两点（A在B的上方），直线y=kx+4与该椭圆相交于不同的两点M，N，直线y=1与BM交于G． （1）求椭圆的离心率； （2）求证：A，G，N三点共线．

2

2

高考数学压轴题

【扩展链接】

1.给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

2. 给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数,使ABAC；③若存在实数

,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线；

3.

【同步训练】

1．已知椭圆E：

+

=1（a＞

）的离心率e=

，右焦点F（c，0），过点A（

，0）

的直线交椭圆E于P，Q两点． （1）求椭圆E的方程；

（2）若点P关于x轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线； （3）当△FPQ面积最大时，求直线PQ的方程．

【思路点拨】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得a与c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案；

高考数学压轴题

（2）根据题意，设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），联立直线与椭圆的方程可得（3k+1）x﹣18kx+27k﹣6=0，设出P、Q的坐标，由根与系数的关系的分析求出平行的坐标表示方法，分析可得证明；

（3）设直线PQ的方程为x=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m+3）y+6my+3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合根与系数的关系分析用y1．y2表示出△FPQ的面积，分析可得答案．

2

2

2

2

22

、的坐标，由向量

（3）设直线PQ的方程为x=my+3．

由方程组，得（m+3）y+6my+3=0，

22

高考数学压轴题

2.已知椭圆C：

+y=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，

2

且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点． （Ⅰ）求△MFN的面积的最小值； （Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．

【思路点拨】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．由MF⊥NF，可得化为：t1t2=﹣1．S△MFN=（II）A（﹣

，利用基本不等式的性质即可得出．

=0，

，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的

x+t，y=

x﹣．分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系

方程分别为：y=

数的关系可得kOE，kOD．只要证明kOE=kOD．即可得出E，O，D三点共线． 【详细解析】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2． ∵MF⊥NF，∴

=1+t1t2=0，化为：t1t2=﹣1．

高考数学压轴题

∴S△MFN=取等号．

=≥=1．当且仅当t1=﹣t2=1时

3.已知焦距为2的椭圆W：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为A1，A2，上、下顶点

分别为B1，B2，点M（x0，y0）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之积为． （1）求椭圆W的标准方程；

（2）如图所示，点A，D是椭圆W上两点，点A与点B关于原点对称，AD⊥AB，点C在x轴上，且AC与x轴垂直，求证：B，C，D三点共线．

高考数学压轴题

【思路点拨】（1）由c=1，a﹣b=1，求得四条直线的斜率，由斜率乘积为，代入求得a和b的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆W的标准方程；

（2）设A，D的坐标，代入椭圆方程，作差法，求得直线AD的斜率，由kAD•kAB=﹣1，代入求得

=

，由kBD﹣kBC=0，即可求证kBD=kBC，即可求证B，C，D三点共线．

2

2

（2）证明：不妨设点A（x1，y1），D（x2，y2），B的坐标（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）， ∵A，D在椭圆上，

，=0，即（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

高考数学压轴题

∴=﹣，

由AD⊥AB， ∴kAD•kAB=﹣1，

•

=﹣1，

•（﹣

，）=﹣1，

∴=，

∴kBD﹣kBC=kBD=kBC，

﹣=﹣=0，

∴B，C，D三点共线． 4.给定椭圆C：

2

+

2

=1（a＞b＞0），称圆C1：x+y=a+b为椭圆的“伴随圆”．已知A（2，

2222

1）是椭圆G：x+4y=m（m＞0）上的点． （Ⅰ）若过点P（0，

）的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求直线l被椭圆G的“伴

随圆”G1所截得的弦长；

（Ⅱ）若椭圆G上的M，N两点满足4k1k2=﹣1（k1，k2是直线AM，AN的斜率），求证：M，N，O三点共线．

【思路点拨】（Ⅰ）将A代入椭圆方程，可得m，进而得到椭圆方程和伴椭圆方程，讨论直线l的斜率不存在和存在，设出l的方程，代入椭圆方程运用判别式为0，求得k，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即可得到所求弦长；

（Ⅱ）设直线AM，AN的方程分别为y﹣1=k1（x﹣2），y﹣1=k2（x﹣2），设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆方程求得交点M，M的坐标，运用直线的斜率公式，计算直线OM，ON的斜⇐率相等，即可得证．

高考数学压轴题

高考数学压轴题

5.已知椭圆

中恰有三点在椭圆C上 （1）求椭圆的方程.

（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点，

轴于点，点在椭圆C上，且求证： ，

三点共线.

，

，则

，

,四点

【思路点拨】根据椭圆上的点坐标求出椭圆方程；设出

高考数学压轴题

，再向量坐标化，得到，得到，最终得到；

6.已知抛物线：

（

）的焦点为，点

为直线与抛物线准线的交点，直

线与抛物线相交于、两点，点关于轴的对称点为. （1）求抛物线的方程； （2）证明：点在直线

上.

高考数学压轴题

【思路点拨】（1）由交点坐标可得为进而得

（

，求得可得抛物线方程；（2）设直线的方程

，再设，又

，，

，，

），代入抛物线方程消去x整理得，可得直线

的方程为

故BD方程化为，令，得，即结论成立。

【详细解析】（1）依题意知所以抛物线的方程（2）设直线的方程为

.

（

，解得，

），

x2y2x2y21的离心率互为7.已知椭圆C： 221(ab0)的离心率与双曲线C'：

ab22倒数，且经过点M41,． 33

（1）求椭圆C的标准方程；

高考数学压轴题

（2）如图，已知R,S是椭圆上的两个点，线段RS的中垂线的斜率为

1且与RS交于点P， 2O为坐标原点，求证： P,O,M三点共线．

【思路点拨】(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点M程组从而得到椭圆的标准方程； （2）因为线段线段RS的中垂线的斜率为

41,，建立关于a，b，c的方331，所以线段RS所在直线的斜率为2，线段RS2所在直线的方程为y2xm，联立方程可得9x28mx2m220，利用韦达定理得到弦的中点的坐标，所以y011x0，所以点P在定直线yx上，而O,M两点也在定直线44y1x上，所以P,O,M三点共线． 4x2y2c'22， 1的离心率e'【详细解析】（1）因为双曲线C'：

a'222而椭圆C的离心率与双曲线C'的离心率互为倒数，所以椭圆C的离心率为

2， 2设椭圆C的半焦距为c，则ec2.① a222414133又椭圆C经过点M,，所以221.②

ab33a2b2c2，③

联立①②③，解得a2,b1,c1.

x2y21. 所以椭圆C的标准方程为2高考数学压轴题

8.设椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，离心率为

．

，过点F1且与x轴垂直的直

线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆C的方程；

（2）若y=4x上存在两点M，N，椭圆C上存在两个点P，Q，满足：P，Q，F1三点共线，M，N，F1三点共线且PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值． 【思路点拨】（1）由题意可知：a=圆的标准方程；

（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．

b，a=

2

2

c及a=b﹣c，即可求得a和b的值，求得椭

222

高考数学压轴题

由弦长公式|PQ|=•=，

∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=令1+k=t，（t＞1）， 则S=∴S＞4

，

=

=4

×（1+

）＞4

2

，

，

高考数学压轴题

综上可知：四边形PMQN的面积的最小值49.已知椭圆

．

的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为

k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点． （I）若直线l1的倾斜角为

，求△ABM的面积S的值；

（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．

【思路点拨】（I）由题意，直线l1的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得△ABM的面积S的值；

（Ⅱ）直线y=k（x﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得kAM=kMN，A，M，N三点共线．

高考数学压轴题

10.已知椭圆C：公共弦长为

．

=1（a＞b＞0）的长轴长为2

，且椭圆C与圆M：（x﹣1）+y=的

2

2

（1）求椭圆C的方程．

（2）经过原点作直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AD⊥x轴于点D，点E在椭圆C上，且

【思路点拨】（1）由题意得

，求证：B，D，E三点共线.. ，由椭圆C与圆M：

的公共弦长为

，

其长度等于圆M的直径，得椭圆C经过点，由此能求出椭圆C的方程．

（2）设A（x1，y1），E（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），D（x1，0）．利用点差法求出从而求出kAB•kAE=﹣1，进而求出kBE=kBD，由此能证明B，D，E三点共线． 【详细解析】（1）由题意得

，则

．

，

高考数学压轴题

由椭圆C与圆M：其长度等于圆M的直径，

的公共弦长为，

即

．

又

所以kAB•kAE=﹣1， 即

，

=，

所以

所以

又

所以kBE=kBD，

所以B，D，E三点共线． 11.已知椭圆C：

+

=，

=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（﹣1，），椭圆C的右焦点

高考数学压轴题

为A，点B的坐标为（，0）． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知纵坐标不同的两点P，Q为椭圆C上的两个点，且B、P、Q三点共线，线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围．

【思路点拨】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且过点（﹣1，），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）依题意直线PQ过点（，0），且斜率不为0，设其方程为x=my+，联立，

得4（3m+4）y+12my﹣45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线AR的斜率的取值范围．

22

（Ⅱ）依题意直线PQ过点（，0），且斜率不为0， 故可设其方程为x=my+，

联立，消去x，得4（3m+4）y+12my﹣45=0，

22

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），直线AR的斜率为k， 故

，

，

∴

当m=0时，k=0，

，∴k=，

高考数学压轴题

当m≠0时，k=，故|4m+|=4|m|+，

∴0＜≤，

∴0＜|k|，∴﹣，且k≠0，

]．

综上所述，直线AR的斜率的取值范围是[﹣

12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦点是椭圆C的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

+=1（a＞b＞0）的离心率为，抛物线E：x=4y

2

（Ⅱ）若A，B分别是椭圆C的左、右顶点，直线y=k（x﹣4）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，直线x=1与直线BM交于点P． （i）证明：A，P，N三点共线； （ii）求△OMN面积的最大值． 【思路点拨】（Ⅰ）由题意知

⇒a=2，b=1，c=

，即可；

2

2

2

2

（Ⅱ）（i）将直线y=k（x﹣4）（k≠0）代入椭圆C得：（1+4k）x﹣32kx+k﹣4=0．则M（x1，k（x1﹣4）），N（x2，k（x2﹣4））．要证A，P，N三点共线，只证明

共线即可，即证明

成立．

（ii）将直线y=k（x﹣4）（k≠0）变形为x=my+4，（m=）．联立﹣12=0． |MN|=

，点O到直线MN的距离d=

得（m﹣4）y+8my

22

．△OMN面积S=×|MN|×d即可．

高考数学压轴题

则M（x1，k（x1﹣4）），N（x2，k（x2﹣4））． ∴BM的方程为：

，⇒P（1，

）

∴）．

要证A，P，N三点共线，只证明共线即可，

即证明成立．

即证明2x1x2﹣5（x1+x2）﹣8=0，将①代入上式显然成立． ∴A，P，N三点共线．

高考数学压轴题

高考数学压轴题