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2015年中考数学复习全国：解直角三角形

来源：钮旅网

一、选择题

1. （2014•浙江杭州，第3题，3分）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（） 3sin40° 3sin50° 3tan40° 3tan50° A．B． C． D．考点：解直角三角形分析：利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，又∵tanB=， ∴AC=BC•tanB=3tan50°．故选D．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

2. （2014•浙江杭州，第10题，3分）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）

A．1+tan∠ADB=2BC=5CF B． C． ∠AEB+22°=∠DEF D． 4cos∠AGB= 考点：轴对称的性质；解直角三角形．分析：连接CE，设EF与BD相交于点O，根据轴对称性可得AB=AE，并设为1，利用勾股定理列式求出BE，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，由轴对称性得，AB=AE，设为1，则BE==， ∵点E与点F关于BD对称， ∴DE=BF=BE=， ∴AD=1+， ∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE， ∴四边形ABCE是正方形， ∴BC=AB=1， 1+tan∠ADB=1+CF=BF﹣BC==1+﹣1， ﹣1=，故A选项结论正确； ∴2BC=2×1=2， 5CF=5（﹣1）， ∴2BC≠5CF，故B选项结论错误； ∠AEB+22°=45°+22°=67°，在Rt△ABD中，BD=sin∠DEF====， =， ∴∠DEF≠67°，故C选项结论错误；由勾股定理得，OE=（∴OE=， 2）﹣（2）=2， ∵∠EBG+∠AGB=90°， ∠EGB+∠BEF=90°， ∴∠AGB=∠BEF，又∵∠BEF=∠DEF， ∴4cos∠AGB=故选A． ==，故D选项结论错误．点评：本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解． 3. （2014•江苏苏州,第9题3分）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）

4km A．B． C． D．（+1）km 2km 2km 考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4， ∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°， ∴BD=AD=2， ∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4. （2014•山东临沂,第13题3分）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）

A．20海里 B． C． D． 30海里 10海里 20海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：如图，根据题意易求△ ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．解答：解：如图，∵ ∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE， ∴∠DAB=15°， ∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE， ∴∠CBA=45°． ∴在直角△ABC中，sin∠ABC=∴BC=20海里．故选：C． ==，点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ ABC是等腰直角三角形． 5．（2014•四川凉山州，第5题，4分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：高BC=10m，则坡面AB的长度是（）

，堤

A． 15m 考点：分析：解答： B． 20m 20m C． D． 10m 解直角三角形的应用－坡度坡角问题在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：∴AC=BC÷tanA=10m， ∴AB==20m．；点评：故选C．此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 6.（2014•孝感，第8题3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是（）

absinα A．absinα B． abcosα C． D． abcosα

考点：平行四边形的性质；解直角三角形．分析：过点C作CE⊥DO于点E，进而得出EC的长，再利用三角形面积公式求出即可．解答：解：过点C作CE⊥DO于点E， ∵在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，AC=a，BD=b， ∴sinα=， ∴EC=COsinα=asinα， ∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα， ∴▱ABCD的面积是：absinα×2=absinα．故选；A．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，得出EC的长是解题关键．

7. （2014•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（） A．1，2，3

考点：解直角三角形专题：新定义．分析：A 、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定； D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定． B． 1，1， C． 1，1， D． 1，2，解答：解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误； B、∵12+12=（C、底边上的高是故选项错误； D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．

8. （2014•扬州，第8题，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）

）2，是等腰直角三角形，故选项错误； =，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，

（第2题图）

A．

考点：全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理专题：计算题．分析：连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作ME⊥ON于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN． B． C． D． ﹣2 解答：解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60° 在Rt△ABC与Rt△ADC中，， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH） ∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC， ∴BC=AC， ∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2， 3BC2=AB2， ∴BC=2， ==2．在Rt△BMC中，CM=∵AN=AM，∠MAN=60°， ∴△MAN是等边三角形， ∴MN=AM=AN=2，过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，则CE=2∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2解得：x=∴EC=2∴ME=， ﹣==，， ﹣x， ﹣x）2，）2﹣（2∴tan∠MCN=故选A． = 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

9.AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，（2014•滨州，第11题3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，则BC的长为（） A． 6 考点：分析：解直角三角形根据三角函数的定义来解决，由sinA=BC=解答： =． =，得到7.5 B． 8 C． 12.5 D．解：∵∠C=90°AB=10， ∴sinA=， ∴BC=AB×=10×=6．故选A．点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=． 10.（2014•德州，第7题3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）

A．4米 B． 6米 C． 12米 D． 24米

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．解答：解：在Rt△ABC中，∵∴BC=6米，根据勾股定理得： AB=故选B．点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键． 11. （2014•湖南衡阳,第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）

=6米， =i=，AC=12米，

A． 26米

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5， ∴AE=1.5BE=18米， ∵BC=10米，

∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选D．

B． 28米

C． 30米

D．46米

点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．

12. （2014•丽水，第5题3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡

面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）

9m A．

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：在Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：∴AC=BC÷tanA=3∴AB=故选B．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 13．（2014•四川绵阳,第8题3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）

米， =6米．； 6m B． C． m D． m

A．40

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：根据题意画出图形，进而得出PA，PC的长，即可得出答案．海里 B． 40海里 C． 80海里 D． 40海里解答：解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40（海里），则PB=故选：A． =40（海里）．点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．

二、填空题

1. （2014•上海，第12题4分）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 26 米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题：应用题．分析：首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．解答：解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD， ∵i==， ∴BE=24米， ∴在Rt△ABE中，AB=故答案为：26． =26（米）．点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 2. （2014•山东潍坊，第17题3分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端

C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．

考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：根据AB∥CD∥FE，可得△ABG∽△CDG，△ABH∽△EFH，可得CD:AB=DG:BG, EF:AB=FH:BH，即可求得AB的值，即可解题．解答：∵△ABG∽△CDG，∴CD:AB=DG:BG ∵CD=DG=2， AB=BG ∵△ABH∽△EFH，∴EF:AB=FH:BH，∵EF=2，FH=4 ∴BH=2AB ∴BH=2BG=2GH ∵GH=DH－DG=DF=FH－DG=52－2+4=，∴AB=BG=GH=. 故答案为：

点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了平行线定理，本题中列出关于GH、BH的关系式并求解是解题的关键． 3．（2014•湖南怀化，第13题，3分）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A= 30 °．

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：直接利用正弦函数的定义求解即可．解答：解：由题意得：AB=4米，BC=2米，在Rt△ABC中，sinA=故∠A=30°，故答案为：30． ==，点评：本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键．落千丈 4．（2014•四川内江，第23题，6分）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是．

考点：含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可．解答：解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB， ∴PD=PC，在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2， ∴QC=OCtan30°=2×==，∠APD=30°，，即PQ=， DP=PC，在Rt△QPD中，cos30°=∴QC=PQ+PC，即解得：PC=故答案为：． PC+PC= 点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 5．（2014•，第13题5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC= ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据正切的定义得到tanB=，然后把tan37°≈0.75和BC=32代入计算即可．解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，所以tanB=，即tan37°=，所以AC=32•tan37°=32×0.75=24．故答案为24．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．

6．（2014•舟山，第12题4分）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米（用含α的代数式表示）．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．解答：解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α， ∴=tanα， ∴BC=AC•tanα=7tanα（米）．故答案为：7tanα．点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解． 7．（2014•浙江宁波，第17题4分）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位．（

≈1.4）

考点：分析：解直角三角形的应用．如图，根据三角函数可求BC，CE，则BE=BC+CE可求，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．解答：解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×CE=5×sin45°=5×BE=BC+CE≈5.04， EF=2.2÷sin45°=2.2÷（56﹣5.04）÷3.14+1 =50.96÷3.14+1 ≈16+1 =17（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17． ≈3.14米， ≈3.5米， ≈1.米，点评：考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

8. （2014•株洲，第13题，3分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为 182 米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.30，tan70°≈2.7475）．

（第1题图）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC的长度．解答：解：在Rt△ABC中， AB=500米，∠BAC=20°， ∵=tan20°， ∴BC=ACtan20°=500×0.30=182（米）．故答案为：182．点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．

9. （2014•泰州，第16题，3分）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 1或2 cm．

（第2题图）

考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．解答：解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC=PN，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm， ∴tan30°=，即DE=cm， =2cm，根据勾股定理得：AE=∵M为AE的中点， ∴AM=AE=cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，， ∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL）， ∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°， ∵PN∥DC， ∴∠PFA=∠DEA=60°， ∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=∴AP===2cm；，由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 10.（2014•济宁，第12题3分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=的长为 3+

．

，则AB

考点：解直角三角形．分析：过 C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解答：解：过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD， ∵∠A=30°，AC=2∴CD=，， =3，．， ∴BD=CD=由勾股定理得：AD=∴AB=AD+BD=3+故答案为：3+．点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．

11. （2014•黑龙江龙东,第8题3分）△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC的面积为 2

或2

﹣

（答对1个给2分，多答或含有错误答案不得分）．

考点：解直角三角形．. 专题：分类讨论．

分析：分两种情况：过点B或C作AC或AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可．

解答：解：当∠B为钝角时，如图1，过点B作BD⊥AC， ∵∠BAC=30°， ∴BD=AB， ∵AB=4， ∴BD=2， ∴AD=2∵BC=3， ∴CD=

，

）×2=2

；

，

∴S△ABC=AC•BD=×（2当∠C为钝角时，如图2，

过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D， ∵∠BAC=30°， ∴BD=AB， ∵AB=4， ∴BD=2， ∵BC=3， ∴CD=∴AD=2∴AC=2

，， ﹣

，

∴S△ABC=AC•BD=×（2﹣）×2=2﹣．

点评：本题考查了解直角三角形，还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．

12. （2014•浙江绍兴,第14题5分）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是 sin35°=或b≥a ．考点：作图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形分析：首先画BC=a，再以B为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C为圆心b为半径交AB于点A，然后连接AC即可，①当AC⊥BC时，②当b≥a时三角形只能作一个．解答：解：如图所示：[来源:学。科。网] 若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：①当AC⊥BC时，即sin35°=②当b≥a时．故答案为：sin35°=或b≥A．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法． 13．（2014•江西，第13题3分）如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。若BAD60，AB=2，则图中阴影部分的面积为______.

【答案】 12－43.[来源:学+科+网Z+X+X+K] 【考点】菱形的性质，勾股定理，旋转的性质．

【分析】连接AC、BD，AO、BO，AC与BD交于点E，求出菱形对角线AC长，根据旋AC2(23)2转的性质可知AO⊥CO。在Rt△AOC中，根据勾股定理求出AO=CO=6，22从而求出Rt△AOC的面积，再减去△ACD的面积得阴影部分AOCD面积，一共有四个这样的面积，乘以4即得解。【解答】解：连接BD、AC，相交于点E，连接AO、CO。[来源:学科网ZXXK] ∵因为四边形ABCD是菱形， ∴AC ⊥BD，AB＝AD＝2。 ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形，BD＝AB＝2， ∴∠BAE＝111∠BAD＝30°，AE＝AC，BE=DE=BD=1， 222AB2BE222123，在Rt△ABE中，AE＝∴AC＝23。 ∵菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°， ∴∠AOC＝1×360°＝90°，即AO⊥CO，AO＝CO 422在Rt△AOC中，AO=CO=AC(23)6。 22∵S△AOC=1111AO·CO=×6×6=3，S△ADC=AC·DE＝×23×1＝3, 2222∴S阴影＝S△AOC －S△ADC=4×（3－3）＝12－43 所以图中阴影部分的面积为12－43。

三、解答题

1. （2014•四川巴中，第27题9分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：度之比）°．

≈1.414，

≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长

考点：解直角三角形的应用．

分析：过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．

解答：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，

由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，在Rt△ABE中，BE=20米，

，∴AE=50米．

米，

在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20∴AD=AE+EF+FD=50+6+20

≈90.6（米）．故坝底AD的长度约为90.6米．

点评：本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．

2. （2014•山东枣庄，第21题8分）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向想内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．

（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）

考点：分析：解直角三角形的应用（1）根据三角函数分别表示出OE和DE，再根据点D到点O的距离为30cm可列方程求解；（2）在Rt△BDE中，根据三角函数即可得到滑动支架的长．解：（1）在Rt△BOE中，OE=在Rt△BDE中，DE=则+=30，，，解答：解得BE≈10.6cm．故B点到OP的距离大约为10.6cm；（2）在Rt△BDE中，BD=故滑动支架的长25.3cm． ≈25.3cm．此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题． 3. （2014•山东潍坊，第21题10分）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是450，然后：沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是600，求两海岛间的距离AB．点评：

考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得岛屿两端A、B的距离．

解答：如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF上CD，交CD的延长线于点F，则四边形ABFE为矩形，所以AB=EF， AE=BF，由题意可知AE=BF=1100—200=900，CD=19900．

AE900900

tanCtan450BF9003003 在Rt△BFD中，∠BDF=600，BF=900，BF=900 ∴DF0tanBDFtan60∴在Rt△AEC中，∠C=450, AE=900, ∴CE∴ AB=EF=CD+DF－CE=19900+3003－900=19000+3003 答：两海岛之间的距离AB是(19000+300√3）米

点评：此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．

4. （2014•山东烟台，第21题7分）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长

米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，

求浮漂B与河堤下端C之间的距离．

考点：解直角三角形的应用．

分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD=米，CD=2AD=3米，

再证明△BOD是等边三角形，得到BD=OD=OA+AD=4.5米，然后根据BC=BD﹣CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．解答：延长OA交BC于点D．∵AO的倾斜角是60°， ∴∠ODB=60°．∵∠ACD=30°，∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD=

•

=（米），

∴CD=2AD=3米，又∵∠O=60°，∴△BOD是等边三角形， ∴BD=OD=OA+AD=3+=4.5（米），∴BC=BD﹣CD=4.5﹣3=1.5（米）．

答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．

点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作出辅助线得到Rt△ACD是解题的关键． 5．（2014•湖南怀化，第21题，10分）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部

（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题；作图—应用与设计作图分析：（1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，分别在Rt△CMD中和Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的长，从而求得CD的长即可．解答：解：（1）答图如图：（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°， ∵在Rt△CMD中，∴MD==； =tan∠CMN， ∵在Rt△CND中，∴ND==CD； =tan∠CNM， ∵MN=2（+1）km， ∴MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km，解得：CD=2km． ∴点C到公路ME的距离为2km．点评：本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键，难度不大．

6.（2014•湖南张家界，第21题，8分）如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：首先作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔政船C 的距离最近，进而表示出AB的长，再利用速度不变得出等式求出即可．解答：解：作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔政船C 的距离最近，设CD长为x，在Rt△ACD中， ∵∠ACD=60°，tan∠ACD=∴AD=x，，在Rt△BCD中，∵∠CBD=∠BCD=45°， ∴BD=CD=x， ∴AB=AD﹣BD=x﹣x=（﹣1）x，设渔政船从B航行到D需要t小时，则=， ∴∴（=， ﹣1）t=0.5，解得：t=， ∴t=，小时后，离渔船C的距离最近．答：渔政310船再按原航向航行点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，利用渔政船速度不变得出等式是解题关键． 7. （2014•江西抚州，第21题，9分）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2.晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化.已知每个菱形边长均等于20cm ,且AHDEEG=20cm .

图1 图2

⑴ 当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；

⑵ 当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm ?(结果精确到0.1cm) ⑶ 设DGxcm ,当∠CED的变化范围为60°~ 120°(包括端点值)时，求x的取值范围 .(结果精确到0.1cm)

(参考数据31732. ，可使用科学计算器) 解析：(1)如图1，

∵每个菱形的边长都是20㎝，

且DE=20㎝, ∴CE=DE, ∵∠CED=60°，

∴⊿CED是等边三角形，

∴CD=20cm, ∴C、D两点之间的距离是20cm. (2)如图2，

作EH⊥CD于H,

在⊿CED中，CE=DE， ∠CED=120° ∴∠ECD=30°,∴EH=

1CE=10, 2 ∴CH=103 , ∴CD=203, ∴点C向左移动了(203－20),

∴点A向左移动了(203－20)×3≈43.9cm . (3)如图1，当∠CED=60°时， ∵ED=EG, ∠CGD=30°，在Rt⊿CGD中， cos30 ∴DG=203≈34.6；

DG ，∵CG=40, CG 如图2，当∠CED=120°时， ∠CGD=60°, ∴DG=

1CG=20, ∴20≤2x≤34.6.

8．（2014•山东聊城，第21题，8分）如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带称为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）

考点：解直角三角形的应用．分析：如图，过点D作DE⊥AC于点E．通过解Rt△EAD和Rt△EBD分别求得AE、BE的长度，然后根据图示知：AB=AE﹣BE﹣100，把相关线段的长度代入列出关于ED的方程﹣=100．通过解该方程求得ED的长度．解答：解：如图，过点D作DE⊥AC于点E． ∵在Rt△EAD中，∠DAE=60°， ∴tan60°=∴AE=，．同理，在Rt△EBD中，得到EB=又∵AB=100米， ∴AE﹣EB=100米，即则ED=﹣≈=100． ≈323（米）．答：观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为323米．点评：本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

9.(2014年贵州黔东南)黔东南州22．（10分）某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，则MN=0.25m．由小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，可得△AEM是等腰直角三角形，继而得出得出AM=ME，设AM=ME=xm，则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m．在Rt△CEN中，由tan∠ECN=代入CN、EN解方程求出x的值，继而可求得旗杆的高EF．解答：解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N， ∴MN=0.25m， ∵∠EAM=45°， ∴AM=ME，

设AM=ME=xm，

则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m， ∵∠ECN=30°， ∴tan∠ECN=

，

解得：x≈8.8，

则EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3（m）．答：旗杆的高EF为10.3m．

点评：本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些． 10.（2014•遵义21．（8分））如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．解答：解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，，∴∠ECF=30°， ∴EF=CE=10米，CF=10米， ∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°， ∴AH=HE=（25+10）米， ∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：楼房AB的高为（35+10）米．）米，点评：本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． 11.（2014•十堰15．（3分））如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 24 海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．解答：解：∠CBA=25°+50°=75°．作BD⊥AC于点D．则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°， ∠ABD=30°， ∴∠CBD=75°﹣35°=45°．在直角△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×在直角△BCD中，∠CBD=45°，则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里）．故答案是：24． =10．点评：本题主要考查了方向角含义，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键． 12.（2014•娄底22．（8分））如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）

考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：先过点C作CP⊥AB于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在Rt△PCB中，根据勾股定理求出BP=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．解答：解：过点C作CP⊥AB于P， ∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF， ∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°， ∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时， ∴BC=90， 222∵BC=BP+CP， ∴BP=CP=45， ∵∠CAP=60°， ∴tan60°==， ∴AP=15， ∴AB=AP+PB=15+45=15×2.45+45×1.41≈100（km）．答：小岛A与小岛B之间的距离是100km．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键． 13.（( 2014年河南) 19.9分）在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。参考数

B680A300海平面DC据:sin680≈0.9,cos680≈0.4,,tan680≈2.5.3 ≈1.7)

解：过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.则AD即为潜艇C的下潜深度．根据题意得 ∠ACD=300，∠BCD=680．设AD=x.则BD＝BA十AD=1000＋x. 在Rt△ACD中， CD=

ADx=3x……………4分 0tanACDtan30 在Rt△BCD中，BD=CD·tan688

∴1000+x=3x·tan688 …………………………………………………7分 ∴x=10001000308 03tan6811.72.51 ∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米。……………………9分

14. （2014•江苏徐州,第25题8分）如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且点A相距100km的点B处，再航行至位于点A的南偏东75°且与点B相距200km的点C处．

（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；（2）确定点C相对于点A的方向．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

分析：（1）作辅助线，构造直角三角形，解直角三角形即可；（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点C相对于点A的方向．解答：解：（1）如右图，过点A作AD⊥BC于点D．由图得，∠ABC=75°﹣10°=60°．在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100， ∴BD=50，AD=50． ∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150．在Rt△ACD中，由勾股定理得： AC=

=100

≈173（km）．

答：点C与点A的距离约为173km．

（2）在△ABC中，∵AB+AC=100+（10022

BC=200=40000，

222∴AB+AC=BC， ∴∠BAC=90°， ∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．答：点C位于点A的南偏东75°方向．

）=40000，

点评：考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是熟练掌握勾股定理，体现了数学应用于实际生活的思想．

15. （2014•江苏盐城,第23题10分）盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB．小明在D处用高1.5m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°．求电视塔的高度AB．（取1.73，结果精确到0.1m）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：设AG=x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE=224m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AB．解答：解：设AG=x，在Rt△AFG中， ∵tan∠AFG=∴FG=，，在Rt△ACG中， ∵tan∠ACG=， ∴CG=∴x﹣==224， x，解得：x≈193.8．则AB=193.8+1.5=195.3（米）．答：电视塔的高度AB约为195.3米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法． 16. (2014•年山东东营,第22题8分)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（≈1.732，结果保留小数点后一位）？

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解．解答：解：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中， ∵∠BAD=30°，AD=120m， ∴BD=AD•tan30°=120×

=40

m，

在Rt△ACD中， ∵∠CAD=60°，AD=120m， ∴CD=AD•tan60°=120×=120BC=40=277.12≈277.1m．答：这栋楼高约为277.1m．

m，

点评：本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．

17．（2014•四川遂宁，第22题，10分）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

sin2A1+sin2B1= 1 ；sin2A2+sin2B2= 1 ；sin2A3+sin2B3= 1 ．

（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= 1 ．（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=

，求sinB．

考点：勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形．分析：（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90° ，都有sin2A+sin2B=1 （2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；（3）利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sinA=解答：解：（1）1．（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°． ∵sinA=，sinB=， ∴sin2A+sin2B=∵∠ADB=90°， ∴BD2+AD2=AB2， ∴sin2A+cos2A=1．（3）∵sinA=∴sinB=，sin2A+sin2B=1， =．，，进行求解．点评：本题考查了在直角三角形中互为余角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 18．（2014•四川泸州，第22题，8分）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出AN，NC的长进而求出BN即可得出答案．解答：解：如图所示：由题意可得出：∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°，过点A作AF⊥FD，垂足为F，则∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°，∠ADF=30°， ∴AF=FC=AN=NC，设AF=FC=x， ∴tan30°===，解得：x=15（∵tan30°=，∴+1）， =， +1）+15+5=30+20，，解得：BN=15+5∴AB=AN+BN=15（答：灯塔A、B间的距离为（30+20）海里．点评：此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出NC的长是解题关键． 19．（2014•四川内江，第20题，9分）“马航事件”的发生引起了我国的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：易得BC=CF，那么利用30°的正切值即可求得CF长．解答：解：∵∠BDC=90°，∠DBC=45°， ∴BC=CF， ∵∠CAF=30°， ∴tan30°====，解得：CF=400+400≈400（1.7+1）=1080（米）．答：竖直高度CF约为1080米．点评：此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用． 20．（2014•四川南充，第22题，8分）马航MH370失联后，我国积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；

（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．

分析：（1）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；（2）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．解：（1）过点P作PE⊥AB于点E，由题意得，∠PAE=36.5°，∠PBA=45，设PE为x海里，则BE=PE=x海里， ∵AB=140海里，∴AE=（140﹣x）海里，在Rt△PAE中，

，即：

解得：x=60海里，

∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为60海里；（2）在Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°，则BP=

PE=60

≈84.8海里，

≈2.83小时，

B船需要的时间为：在Rt△PAE中，

=sin∠PAE，∴AP=PE÷sin∠PAE=60÷0.6=100海里，

∴A船需要的时间为：100÷40=2.5，∵2.83＞2.5，∴A船先到达．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．

21. （ 2014•安徽省,第18题8分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．

考点：解直角三角形的应用．

分析：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解．

解答：解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×=10km，在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷CF=BF•sin30°=DF=CD﹣CF=（30﹣

×=

km，）km，

）×=（15﹣

）km，

km，

在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣∴EG=BE+BF+FG=（25+5

）km．

故两高速公路间的距离为（25+5

点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

22. （ 2014•广东，第20题7分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：

≈1.414，

≈1.732）

考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．

分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC

中，利用三角函数即可求解．

解答：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，

∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°， ∴∠A=∠ACB， ∴BC=AB=10（米）．

在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×答：这棵树CD的高度为8.7米．

点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

23. （ 2014•珠海，第17题7分）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．

（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：

≈1.41，

≈1.73，

≈2.45）

≈5×1.732=8.7（米）．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（ 1）过点M作MD⊥AB于点D，根据∠AME的度数求出∠AMD=∠MAD=45°，再根据AM的值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案；（2）在Rt△DMB中，根据∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根据MD的值求出MB的值，最后根据路程÷速度=时间，即可得出答案．解答：解：（1）过点M作MD⊥AB于点D， ∵∠AME=45°， ∴∠AMD=∠MAD=45°， ∵AM=180海里， ∴MD=AM•cos45°=90（海里），海里；答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90（2）在Rt△DMB中， ∵∠BMF=60°， ∴∠DMB=30°， ∵MD=90∴MB=∴60÷20=3海里， =60， =3×2.45=7.35≈7.4（小时），答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．

24. （ 2014•广西贺州，第24题8分）如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．

（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

分析：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，则CD的长为海轮在航行过程中与灯塔C的

最短距离；

（2）在Rt△BCD中，根据55°角的余弦值即可求出海轮在B处时与灯塔C的距离．解答：解：（1）C作AB的垂线，设垂足为D，

根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=在Rt△BCD中，tan55°=∵AB=80， ∴AD+BD=80，

∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，

答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=∴BC=

≈60海里，

，

，则AD=x•tan42°，，则BD=x•tan55°，

答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．

点评：本题考查了解直角三角形的应用：方向角问题，具体就是在某点作出东南西北，即可

转化角度，也得到垂直的直线．

25．(2014年四川资阳，第19题8分)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

分析：过A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，设AD=x，得出CD=AD=x，再解Rt△ABD，得出BD=

x，再由BD+CD=4，得出方程

x+x=4，解方程求

出x的值，即为A到岸边BC的最短距离．

解答：解：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD=所以BD=

，即tan60°==

x，

x+x=4，，

又BC=4，即BD+CD=4，所以解得x=6﹣2

．

答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里．

点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

26．(2014年天津市，第22题10分)桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．

（Ⅰ）如图①，已知桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为 m；

（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量桥的全长PQ，在观景平台M处测得

∠PMQ=°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求桥的全长PQ（tan°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．

考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．

分析：（1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；

（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得关于x的方程，解出即可．

解答：解：（I）∵点C是AB的中点， ∴A'C'=AB=23.5m．（II）设PQ=x，

在Rt△PMQ中，tan∠PMQ=∴MQ=

，

=3.3， =1.4，

在Rt△PNQ中，tan∠PNQ=∴NQ=

，

∵MN=MQ﹣NQ=40，即解得：x≈97．

﹣=40，

答：桥的全长约为97m．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，难度一般．

27．（2014年云南省，第21题6分）如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取

≈1.73，结果保留整数）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．解答：解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°， ∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE， ∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=∴BE=5

，

+1≈10米．

，即

，

AB=BE+AE=5

答：旗杆AB的高度大约是10米．

点评：主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

28．（2014•四川自贡，第18题8分）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：

）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：首先分析图形：根据题意构造两个直角三角形△DEB、△CEB，再利用其公共边BE求得DE、CE，再根据CD=DE﹣CE计算即可求出答案．解答：解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．米，故塑像CD的高度大约为1.2米．点评：本题考查解直角三角形的知识．要先将实际问题抽象成数学模型．分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系． 29．（2014·云南昆明，第20题6分）如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，求旗杆CD的高度.（结果精确到0.1米.参考数据：sin32°= 0.53，cos32°= 0.85， tan32°= 0.62）

DBA32°C第20题图考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：根据已知条件转化为直角三角形中的有关量，然后选择合适的边角关系求得长度即可．解答：解：过点B作BECD，垂足为E（如图），在Rt△DEB中，DEB90，BEAC22（米）， tan32DE BEDEBEtan32220.6213.（米） ECAB1.5 CDCEED1.513.15.1415.1（米）答：旗杆CD的高度为15.1米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形BDE中的有关元素． 30．（2014•浙江宁波，第21题8分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．

（1）求改直的公路AB的长；

（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

考点：分析：解直角三角形的应用（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；（2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．解答：解：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2千米， AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1千米，在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6千米， ∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7千米．故改直的公路AB的长14.7千米；（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7千米，则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3千米．答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

31. （2014•益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：

sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0； sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．

（第1题图）

考点：解直角三角形的应用．分析：设 AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解答：解：设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=， ∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82）．在Rt△ABD中，tan∠BDA=∴AB=AD•tan∠BDA=4x． ∴2.5（x+82）=4x，解得x=． ≈6.7．， ∴AB=4x=4×答：AB的长约为6.7米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．

32. （2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；

（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．

（第2题图）

考点：相似形综合题．分析：（ 1）过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC•sin∠B求出CE，再根据AD=CE即可求出AD；（2）若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠PCB=90°时，求出AP，再根据在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，从而得到△ADP∽△CPB，②当∠CPB=90°时，求出AP=3，根据≠且≠，得出△PCB与△ADP不相似．（3）先求出S1=x•，再分两种情况讨论：①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=（x﹣1），在Rt△BMN中，求出BM2=x2﹣S2=x（x2﹣值．解答：解：（1）过点C作CE⊥AB于E， x+x+，最后根据S1=x•BM2代入计算即可．②当0＜x≤2时，x（x﹣）2+x即可得出S的最小），最后根据S=S1+S2= 在Rt△BCE中， ∵∠B=60°，BC=4， ∴CE=BC•sin∠B=4×∴AD=CE=2． =2，（2）存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角． ①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8， ∴AP=AB﹣PB=2．又由（1）知AD=2∴∠DPA=60°， ∴∠DPA=∠CPB， ∴△ADP∽△CPB， ∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2． ②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4， ∴PB=2，PC=2，，在Rt△ADP中，tan∠DPA===， ∴AP=3．则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．）2=x•，（3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S1=x•（①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB外接圆的半径．在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°， ∴BG=4， ∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x， ∴GN=BG﹣BN=x﹣1．在Rt△GMN中，∴MN=GN•tan∠MGN=在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣∴S1=x•BM2=x（x2﹣x+）． x+x+）也成立，）=x． x（x﹣）2+x．（x﹣1）． x+， ②∵当0＜x≤2时，S2=x（x2﹣∴S=S1+S2=x•∴当x=+x（x2﹣时，S=S1+S2取得最小值点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论． 33. （2014•株洲，第17题，4分）计算：

考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊+（π﹣3）0﹣tan45°．

角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：原式=4+1﹣1=4．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

34. （2014•株洲，第22题，8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．

考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义分析：（ 1）根据角的平分线的性质可求得CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等．（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理可求得，tan∠B==，CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE===；解答：（ 1）证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF， ∴CE=EF，在Rt△ACE与Rt△AFE中，， ∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；（2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE， ∴AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m， ∴BC===m， ∴在RT△ABC中，tan∠B===，，在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B=∴CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE=∴tan∠CAE=． ==；点评：本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键． 35. （2014•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．

（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；

（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；

（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．

（第5题图）

考点：圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．分析：（ 1）连接OA，如下图1，根据条件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面积．（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB所在的直线与圆O相切时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α的范围．（3）设AO与PM的交点为D，连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM的值．解答：解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示． ∵AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB． ∴∠OAB=90°． ∵OQ=QB=1， ∴OA=1． ∴AB===． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=∵sin∠HAB=，∠CAB=60°．， ××=． =．． ∴HB=AB•sin∠HAB=∴S△ABC=AC•BH=×∴△ABC的面积为（2）①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°； ②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2， ∴cos∠A1OB=∴∠A1OB=60°． ∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时， =． α的范围为：0°≤α≤60°．（3）连接MQ，如图3所示． ∵PQ是⊙O的直径， ∴∠PMQ=90°． ∵OA⊥PM， ∴∠PDO=90°． ∴∠PDO=∠PMQ． ∴△PDO∽△PMQ． ∴== ∵PO=OQ=PQ． ∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=AB． ∵AO=1， ∴MQ=． ∴OD=． ∵∠PDO=90°，PO=1，OD=， ∴PD=∴PM=∴DM=．．． ∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=， ∴AM===． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=BC，∠CAB=60°． ∵BM=AB， ∴AM=BM． ∴CM⊥AB． ∵AM=， ∴BM=∴AC=∴CM=，AB=．． =． =． ∴CM的长度为点评：本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强． 36．（2014年江苏南京，第23题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．

（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）考点：解直角三角形的应用

分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=在Rt△CDO中，cos∠CDO=

，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．

∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．

点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

37. （2014•泰州，第22题，10分）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．

（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）

考点：解直角三角形的应用分析：过 C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．解答：解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G． ∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°， ∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°， ∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0.336m， ∴FG=FC+CG≈1.1m．故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．

38．（2014•呼和浩特，第18题6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上

的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）

考点：解直角三角形的应用－方向角问题．分析：首先根据题意得出∠MPA=∠A=65°，以及∠DBP=∠DPB=45°，再利用解直角三角形求出即可．解答：解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．由题意知∠DPB=∠DBP=45°．在Rt△PBD中，sin45°=∴PB=PD． =， ∵点A在点P的北偏东65°方向上， ∴∠APD=25°．在Rt△PAD中，cos25°=∴PD=PAcos25°=80∴PB=80cos25°．． cos25°，点评：此题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义得出相关角度是解决本题的关键．

39．（2014•甘肃白银、临夏,第22题8分）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条只显示，且∠CAB=75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）

（1）求车架档AD的长；

（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可．（2）过点E作EF⊥AB，在RT△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案．解答：解：（1）∵在Rt△ACD中，AC=45cm，DC=60cm ∴AD==75（cm）， ∴车架档AD的长是75cm；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F， ∵AE=AC+CE=（45+20）cm， ∴EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63（cm）， ∴车座点E到车架档AB的距离约是63cm．点评：此题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 40．（2014•甘肃兰州,第24题8分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题专题：计算题；压轴题．分析：由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．解答：解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°， ∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=∴CH=AH•tan∠CAH， ∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×∵DH=1.5，∴CD=2在Rt△CDE中， +1.5，（米），， ∵∠CED=60°，sin∠CED=∴CE=， =（4+）（米），答：拉线CE的长为（4+）米．点评：命题立意：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 41. （2014•海南,第22题9分）如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行14米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，

≈2.236）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先作CE⊥AB于E，依题意，AB=1000，∠EAC=30°，∠CBE=45°，设CD=x，则BE=x，进而利用正切函数的定义求出x即可．解答：解：作CE⊥AB于E，依题意，AB=14，∠EAC=30°，∠CBE=45°，设CE=x，则BE=x， Rt△ACE中，tan30°=整理得出：3x=14解得：x=732（+=x， =，）≈2000米， ∴C点深度=x+600=2600米．答：海底C点处距离海面DF的深度约为2600米．点评：此题主要考查了俯角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解俯角的定义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题．

42. （2014•莱芜，第20题9分）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DC﹣BE即可求解．解答：解：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，∠ABE=62°． ∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米， BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°， ∴DE==18米， ∴DB=DC﹣BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．点评：考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点． 43．（2014•青岛，第20题8分）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．

（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈

，sin39°≈

）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为xm，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度，然后根据BD﹣CD=80m，列出方程，求出x的值；（2）在Rt△ACD中，利用sin∠ACD=解答：解：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为xm，在Rt△ABD中， ∵∠ADB=90°，tan31°=∴BD=≈=x，，，代入数值求出AC的长度．在Rt△ACD中， ∵∠ADC=90°，tan39°=∴CD=≈=， x， ∵BC=BD﹣CD， ∴x﹣x=80，解得：x=180．即山的高度为180米；（2）在Rt△ACD中，∠ADC=90°， sin39°=， ∴AC==≈282.9（m）．答：索道AC长约为282.9米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度． 44．（2014•山西，第21题7分）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）[来源:学科网ZXXK]

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．

分析：过点A作AE⊥CC'于点E，交BB'于点F，过点B作BD⊥CC'于点D，分别求出AE、CE，利用勾股定理求解AC即可．

解答：解：过点A作AE⊥CC'于点E，交BB'于点F，过点B作BD⊥CC'于点D，则△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四边形AA'B'F，BB'C'D和BFED都是矩形， ∴BF=BB'﹣B'F=BB'﹣AA'=310﹣110=200， CD=CC'﹣C'D=CC'﹣BB'=710﹣310=400， ∵i1=1：2，i2=1：1，

∴AF=2BF=400，BD=CD=400，

又∵EF=BD=400，DE=BF=200， ∴AE=AF+EF=800，CE=CD+DE=600， ∴在Rt△AEC中，AC=

答：钢缆AC的长度是1000米．

=1000（米）．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，

及勾股定理的表达式，难度一般．

45. （2014•乐山，第21题10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2

，求CE的长．

考点：直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形．. 分析：利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长．：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1，解答：解在△ABH中，∠B=30°，AB=2=∴cos30°， ×=3，， =2即BH=ABcos30°∴BC=BH+BC=4， ∵CE⊥AB， ∴CE=BC=2．点评：此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键． 46. （2014•丽水，第22题10分）如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．

考点：分析：切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形．（1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OC，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，DH=BH=3．解Rt△AFG，得AG=AF=，则GH=AB﹣AG﹣BH=，于是根据=，则tan∠FGD可求．正切函数的定义得到tan∠GDH=解答：（1）证明：连结OD，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB， ∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴BD=CD=6．在Rt△CDF中，∠C=60°， ∴∠CDF=30°， ∴CF=CD=3， ∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，在Rt△AFG中，∵∠A=60°， ∴FG=AF×sinA=9×=；（3）解：过D作DH⊥AB于H． ∵FG⊥AB，DH⊥AB， ∴FG∥DH， ∴∠FGD=∠GDH．在Rt△BDH中，∠B=60°， ∴∠BDH=30°， ∴BH=BD=3，DH=BH=3．在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°， ∴AG=AF=， ∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=， ∴tan∠GDH===，． ∴tan∠FGD=tan∠GDH= 点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识． 47．（2014•黑龙江哈尔滨,第24题6分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

第1题图

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析：（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得

两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；

（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长．

解答：解：（1）根据题意得：BD∥AE，

∴∠ADB=∠EAD=45°，[来源:学科网ZXXK]

∵∠ABD=90°， ∴∠BAD=∠ADB=45°， ∴BD=AB=60，

∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；

（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形， ∴AF=BD=DF=60，

在Rt△AFC中，∠FAC=30°， ∴CF=AF•tan∠FAC=60×又∵FD=60， ∴CD=60﹣20

，

）米．

=20

，

∴建筑物CD的高度为（60﹣20

点评：考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破

点．

48 （2014•湖北黄冈,第23题7分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（

+1）海里，船C在船A

的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

第2题图

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）作CE⊥AB，设AE=x海里，则BE=CE=（x海里．根据AB=AE+BE=x+x=100+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；（2）作DF⊥AC于点F，根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案．解答：解：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=在Rt△BCE中，BE=CE=∴AE+BE=x+解得：x=100． AC=2x=200．在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=∴AC=y+y=200， ﹣1）， ﹣1）． ﹣1）海y， x=100（x． +1）， x；解得：y=100（∴AD=2y=200（答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（里．（2）由（1）可知，DF=∵127＞100，所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险． AF=×100（﹣1）≈127 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．

49. （2014•湖北荆门,第20题10分）自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）

第3题图

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

分析：作CD⊥AB于点D，由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，设CD的长为a海里，分别在Rt△ACD中，和在Rt△BCD中，用a表示出AC和BC，然后除以速度即可求得时间，比较即可确定答案

解答：解：如图，作CD⊥AB于点D，[来源:学|科|网Z|X|X|K] 由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，设CD的长为a海里， ∵在Rt△ACD中，∴AC=

=cos∠ACD， ≈1.92a； =cos∠BCD， ≈1.39a；

∵在Rt△BCD中，∴BC=

∵其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时， ∴1.92a÷20=0.096a.1.39a÷18=0.077a， ∵a＞0，

∴0.096a＞0.077a， ∴乙先到达．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键在于设出未知数a，使得运算更加方便，难度中等．

50．（2014•四川成都,第16题6分）如图，在一次数学课外实践活动，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20m，求树的高度AB．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：通过解直角△ABC可以求得AB的长度．解答：解：如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m， ∴tanC=，则AB=BC•tanC=20×tan37°≈20×0.75=15（m）．答：树的高度AB为15m．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

51．（2014•四川广安,第23题8分）为诞辰110周年献礼，广安市对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60

米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在

斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．（1）若修建的斜坡BE的坡比为

：1，求休闲平台DE的长是多少米？

（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：（1）由三角函数的定义，即可求得DF与BF的长，又由坡度的定义，即可求得EF的长，继而求得平台DE的长；（2）首先设GH=x米，在Rt△DMH中由三角函数的定义，即可求得GH的长．解答：解：（1）∵FM∥CG， ∴∠BDF=∠BAC=45°， ∵斜坡AB长60米，D是AB的中点， ∴BD=30米， ×=30（米），BF=DF=30米， ∴DF=BD•cos∠BDF=30∵斜坡BE的坡比为∴=，（米），：1，解得：EF=10∴DE=DF﹣EF=30﹣10（米）；）米；答：休闲平台DE的长是（30﹣10（2）设GH=x米，则MH=GH﹣GM=x﹣30（米），DM=AG+AP=33+30=63（米），在Rt△DMH中，tan30°=解得：x=30+21，）米．，即=，答：建筑物GH的高为（30+21 点评：此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义．此题难度较大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

52．（2014•浙江绍兴,第21题10分）九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．

（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB=38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．[来源:学科网ZXXK]

（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．

（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．

备用数据：tan60°=1.732，tan30°=0.577，

=1.732，

=1.414．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：（1）根据∠α=2∠CDB即可得出答案；（2）设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度；（3）延长AE，交PB于点C，设AE=x，则AC=x+3.8，CQ=x﹣0.2，根据得出x+3.8x﹣0.2=3，求出x即可．解答：解：（1）∵BD=BC， ∴∠CDB=∠DCB， ∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°．（2）设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H， ∵MN∥AH，MN=1.9， ∴EH=2MN=3.8（米）， ∴E点离地面FB的高度是3.8米．（3）延长AE，交PB于点C，设AE=x，则AC=x+3.8， ∵∠APB=45°， ∴PC=AC=x+3.8， ∵PQ=4， ∴CQ=x+3.8﹣4=x﹣0.2， ∵tan∠AQC=∴==tan60°=，， =，x=≈5.7， ∴AE≈5.7（米）．答；旗杆AE的高度是5.7米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是仰角的定义，能作出辅助线借助仰角构造直角三角形是本题的关键．

53．（2014•重庆A,第20题7分）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．

分析：根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．

解答：解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD=∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9， ∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5， ∴AC=∴sinC=

．

=13，

=，

点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

．（2014•江西，第21题8分）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30度的夹角，示意图如图2所示。在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60度。

（1）连接CD、EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A、B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：2=1.141,3=1.732,6=2.45）【考点】解直角三角形的应用；菱形的判定与性质．

【分析】（1）连接DE．根据菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°，再根据平行线的判定可得CD，EB的位置关系；

（2）根据菱形的性质可得BE，DE，再根据三角函数可得BD，AD，根据AB=BD+AD，即可求解．

【解答】

解：（1）CD∥EB．连接DE．

∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60°， ∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°， ∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°， ∴∠CDE=∠BED， ∴CD∥EB．（2）连接AD、BD. ∵∠ACD= 90°，AC=DC， ∴∠DAC=∠ADC=45°。同理可证，∠BDE=∠EBD=45°，∠CDE=90°， ∴∠ADB=∠ADB+∠BDE+ ∠CDE=180°，即点A、D、B在同一直线上。 ∵BE＝2OE＝2×10×cos30°＝103cm， ∴DE＝BE＝103cm，在Rt△BED中， BDBE2DE2(103)2(103)2106cm，同理可得，AD=103 cm， ∴AB=BD+AD=203=20×2.45≈49cm．即A、B两点之间的距离大约为49cm．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题．

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