高考数学 玩转压轴题 专题2.1 导数起源于切线曲切联系

【题型综述】

导数的几何意义：

函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率

k，即kf(x0)limx0f(x0+x)f(x0)．

x【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点

P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．

（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y−y0=f ′(x0)(x−x0)； （2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))；

第二步：写出过P′(x1，f (x1))的切线方程为y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；

第四步：将x1的值代入方程y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法

（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；

（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程． （5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．

②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

【典例指引】

例1．（2013全国新课标Ⅰ卷节选）已知函数f(x)＝x＋ax＋b，g(x)＝e(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2．

- 1 -

2

x

（Ⅰ）求a，b，c，d的值．

简析：（Ⅰ）由已知得f(0)2,g(0)2,f(0)4,g(0)4，而f(x)=2xb，

g(x)=ex(cxdc)，∴a=4，b=2，c=2，d=2；

例2．设函数f(x)x2a．

（1）当a1时，求函数g(x)xf(x)在区间[0,1]上的最小值；

（2）当a0时，曲线yf(x)在点P(x1,f(x1))(x1a)处的切线为l，l与x轴交于点A(x2,0)，

求证：x1x2a．

例3．已知函数fxaxbx3xa,bR在点1,f1处的切线方程为y20．

32 - 2 -

⑴求函数fx的解析式；

⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1,x2都有fx1fx2c，求实数c的最小值；

⑶若过点M2,mm2可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围．

⑶因为点M2,mm2不在曲线yfx上，所以可设切点为x0,y0．

3则y0x03x0．

22因为fx03x03，所以切线的斜率为3x03． 3x03x0m则3x3=，

x022032即2x06x06m0．

因为过点M2,mm2可作曲线yfx的三条切线，

32所以方程2x06x06m0有三个不同的实数解．

- 3 -

所以函数gx2x6x6m有三个不同的零点．

32则gx6x12x．令gx0，则x0或x2．

2x ,0 + 增 0 极大值 0,2  减 2 极小值 2, + 增 gx gx 6m0g00则 ，即，解得6m2．

2m0g22

【同步训练】

1．设函数fxalnxbx(x0)，若函数fx在x1处的切线方程为6x2y70．

2（Ⅰ）求实数a,b的值；

（Ⅱ）求函数fx在,e上的最大值． e【思路引导】

（Ⅰ）根据导数的几何意义，可知函数fx在x1处的导数即为切线的斜率，又点(1，11)2为切点，列出方程解出a，b的值；（Ⅱ）把a，b的值代入解析式，对函数求导判断单调性，根据单调区间写出函数的最值．

- 4 -

∴fx 在[，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，

fx 在x2 处取得极大值这个极大值也是fx 的最大值．

又f24ln22 ，

所以函数fx在,e上的最大值为4ln22．

e2．已知函数（1）求曲线（2）求函数（3）求函数【思路引导】

对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足

1，其导函数

在点

处的切线方程；

的两个零点为-3和0．

的单调区间； 在区间

上的最值．

，解方程组求出m，n；

- 5 -

利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1)，求出切点，再求出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式

和

得出斜率，利用点斜式写，求出增区间和减区间；求

函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值．

所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1．

3．设函数yfx的定义域为D，若对任意x1，x2D，都有fx1fx21，则称函数yfx为“storm”函数．已知函数fxxbxcx1的图象为曲线C，直线

32ykx1与曲线C相切于1,10．

（1）求fx的解析式，并求fx的减区间；

（2）设0m2，若对任意xm2,m，函数gxfx16m为“storm”函数，求实数

- 6 -

m的最小值．

【思路引导】

根据导数的几何意义，借助切点和斜率列方程求出b,c，得出函数的解析式，利用导数解

fx0求出函数的单调减区间；对任意xm2,m，函数gxfx16m为“storm”

函数，等价于在m2,m上， fxmaxfxmin16m，根据函数fx的在m2,m上的单调性，求出fx的最值，根据条件求出m的范围，得出结论．



∵fx在2,2上为减函数，且0m2，∴m2,m2,2， ∴fx在m2,m上为减函数，

∴fxmaxfm2m212m21，

3fxminfmm312m1，

∴fxmaxfxmin6m12m1616m，得m2 m24， 3又0m2，∴mmin

4． 3- 7 -

4．已知函数fx4xx,xR．

4（1）求fx的单调区间；

（2）设曲线yfx与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为ygx，求证：对于任意的正实数x，都有fxgx；

1a（3）若方程fx=a(a为实数）有两个正实数根x1，x2，且x1x2，求证： x2x143．

3【思路引导】

（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（2）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程

gxf'x0xx0，构造辅助函数Fxfxgx，利用导数得到对于任意实数

x，有FxFx00，即对任意实数x，都有fxgx；（3）由（2）知，

11agx12x43，求出方程gxa的根，x2'43，由gx在,单调

12递减，得到x2x2'，同理得到x1'x1，根据不等式性质则可证得

1ax2x1x2'x1'43．

3 - 8 -

11a''43，（3）由（2）知gx12x43 ，设方程gxa 的根为x2 ，可得x212因为gx在, 单调递减，又由（II）知gx2fx2agx2' ，所以

x2x2' ．类似的，设曲线yfx 在原点处的切线为yhx, 可得hx4x ，对任

意的x,，有fxhxx0 即fxhx ．设方程hxa 的根为

4x1' ，可得x1'a ，因为hx4x 在4'1,' 单调递增，且

1ahxafx1hx1 ，因此， xx1, 所以x2x1x2x43 ．

3'1'15．已知函数fxaxbaaR,a0在x3处的切线方程为x12a1x2y30．

（1）若gx= fx1，求证：曲线gx上的任意一点处的切线与直线x0和直线yax围成的三角形面积为定值； 【思路引导】

根据导数的几何意义，f3为切线的斜率，解出b，写出gx的切线方程求出三角形的面积为定值．

试题解析：证明：（1）因为 f′（x）= abx12，所以 f′（3）= ab2a1， b2 42 - 9 -

又 g（x）=f（x+1）=ax+

2 ， x2 ， 2x设g（x）图象上任意一点P（x0，y0）因为 g′（x）=a﹣

所以切线方程为y﹣（ax0+

22）=（a﹣）（x﹣x0） 22x0x0令x=0 得y=

4； 再令y=ax得 x=2x0， x0故三角形面积S=|

4||2x0|=4，即三角形面积为定值． x0326．已知函数fxxmxnx（m,nR）

（1）若fx在x1处取得极大值，求实数m的取值范围；

（2）若f10，且过点P0,1有且只有两条直线与曲线yfx相切，求实数m的值． 【思路引导】

（1）根据条件得'10，化简得32mn0，再根据有极值得3x22mxn=0中判别式大于零，进而得m3，最后列表分析极大值条件得12m1,解得实数m的取值范3围；（2）切线条数的确定决定于切点个数，所以设切点，转化为关于切点横坐标的方程

2x03mx0210，再利用导数研究函数hx2x3mx21有两零点，即极值为零，解

得实数m的值．

- 10 -

- 11 -

点评：函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)知图判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

(2)已知函数求极值．求fx→求方程fx0的根→列表检验fx在fx0的根的附近两侧的符号→下结论．

- 12 -

(3)已知极值求参数．若函数fx在点x0,y0处取得极值，则fx00，且在该点左、右两侧的导数值符号相反．

7．已知函数fxe，gxlnx2．

x（1）若直线ykxb是曲线yfx与曲线ygx的公切线，求k,b； 【思路引导】

（1）设直线ykxb与ye切于点Px1,ex1，与ylnx2切于Qx2,lnx22，P处

x的切线方程为ye1x1x1e1．Q处的切线方程为yxx1xlnx21．根据这两条直线x2为同一条直线，可得关于x1和x2，解得x1和x2的值，从而可得结果；

- 13 -

点评：本题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，属于难题． 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点Ax0,fx0求斜率k，即求该点处的导数kfx0；(2) 己知斜率k求切点Ax1,fx1,即解方程

fx1k；(3) 巳知切线过某点Mx1,fx1 (不是切点) 求切点， 设出切点

Ax0,fx0,利用kfx1fx0x1x0fx0求解．

- 14 -

8．已知函数fxx352，其图像是曲线C． xaxb（a,b为常数）

2（1）设函数fx的导函数为fx，若存在三个实数x0，使得fx0x0与fx00同时成立，求实数b的取值范围；

（2）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1,l2的斜率分别为k1,k2，问：是否存在常数，使得

k2k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【思路引导】

（1）由于存在唯一的实数x0，使得fx0x0与f'x00同时成立，则

{x352xa1xb05 ，存在唯一的实数根x0，即b2x3x2x存在唯一的实数223x25xa0根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（2）假设存在常数，依据曲线C在点A处的切线

l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于的方程，有解则存在，无

解则不存在．

- 15 -

，解得．故当时，存在常数，使得；

当时，不存在常数使得

2．

9．已知函数fxblnx，gxaxxaR．

（1）若曲线fx与gx在公共点A1,0处有相同的切线，求实数a,b的值； （2）当b1时，若曲线fx与gx在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一； （3）若a0， b1，且曲线fx与gx总存在公切线，求：正实数a的最小值． 【思路引导】

f10（1）Q曲线fx与gx在公共点A1,0处有相同的切线， {g10f'1g'1 ，解出即

可；（2）设Px0,y0，由题设得fx0gx0,f'x0gx0，转化为关于x0的方程只有一解，进而构造函数转化为函数只有一个零点，利用导数即可证明；（3）设曲线fx在点

- 16 -

t,lnt处的切线方程为ylntxt，则只需使该切线与gx相切即可，也即方程组

{ylnt1xt ，只有一解即可，所以消去后

y0，问题转化关于t方程总有解，分tyax2x1t情况借助导数进行讨论即可求得a值．

若

，则，而，显然不成立，所以 ．

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从而，方程可化为．

令，则．

∴ 当时，

在

；当时，，即 在上单调递减，在有解，只须

，

上单调递增．∴即

．

的最小值为，所以，要使方程

点评：本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，属于难题． 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点Ax0,fx0求斜率k，即求该点处的导数kfx0；(2) 己知斜率k求切点Ax1,fx1,即解方程

fx1k；(3) 巳知切线过某点Mx1,fx1 (不是切点) 求切点， 设出切点

Ax0,fx0,利用kfx1fx0x1x0fx0求解．

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