【常考题】数学中考试卷(及答案)

一、选择题

11，y1），B(2,y2)为反比例函数y图像上的两点，动点P(x，0)

x2在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（ ）

1．如图所示，已知A（

A．(

1，0) 2B．(1,0) C．(

3,0) 2D．(

5,0) 22．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行,最新统计数据显示,中国每年浪费食物总量折合粮食大约是230000000人一年的口粮,将230000000用科学记数法表示为( ) A．2.3×109 B．0.23×109 C．2.3×108 D．23×107

3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）

A．66° A．4

B．104° B．3

C．114° C．2

D．124° D．1

4．如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（ ） 5．菱形不具备的性质是（ ）

A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 6．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）

A．12 B．24

C．123 D．163 7．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P

在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12

8．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A．

1xx136 2B．

1xx136 2C．xx136 D．xx136

9．如图，矩形纸片ABCD中，AB4，BC6，将VABC沿AC折叠，使点B落在点

E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）

3 55 37 35 4A．B．C．D．

10．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M

»上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ ） 是第三象限内OB

A．6 B．5 C．3

D．32 11．均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）

A． B． C． D．

12．某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（ ） A．8%

B．9%

C．10%

D．11%

二、填空题

13．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．

14．已知扇形的圆心角为120°，半径等于6，则用该扇形围成的圆锥的底面半径为_________．

15．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表： 抽取的体检表数n 色盲患者的频数m 色盲患者的频率m/n 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069

根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）． 16．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______．

17．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=

k的图象上，则k的值为________. x

18．如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去．

在第n个图形中有______个三角形（用含n的式子表示）

19．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 ．

20．计算：

x1(1)＝________．

x22x1x1三、解答题

21．已知关于x的方程x2axa20.

（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 22．

小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）

（参考数据：sin37，tan37o35o3711，sin48o，tan48o） 4101023．修建隧道可以方便出行.如图：A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要爬坡到山顶C地，再下坡到B地.若打通穿山隧道，建成直达A，B两地的公路，可以缩短从A地到B地的路程.已知：从A到C坡面的坡度i1:3，从B到C坡面的坡角

CBA45，BC42公里.

（1）求隧道打通后从A到B的总路程是多少公里？（结果保留根号）

（2）求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少公里？（结果精确到0.01）（21.414，3≈1.732）

24．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．

（1）这次被调查的同学共有 人；

（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；

（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐． 25．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．

甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．

乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元． （1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；

（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】

求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可． 【详解】 ∵把A（∴A（

111，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=， 2x211，2），B（2，）， 22∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB， ∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB， 即此时线段AP与线段BP之差达到最大，

设直线AB的解析式是y=kx+b， 把A、B的坐标代入得：

12＝kb2， 1＝2kb2解得：k=-1，b=

5， 25， 2∴直线AB的解析式是y=-x+当y=0时，x=

5， 25，0）， 2故选D． 【点睛】

即P（

本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．

2．C

解析：C

【解析】230000000= 2.3×10 ,故选C.

8

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=理可得. 【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD=∠BAC，

由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC， ∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=

1∠1，再根据三角形内角和定21∠1=22° 2-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°∴∠B=180°； 故选C． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．

4．A

解析：A 【解析】

分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案． 详解：根据题意，得：解得：x=3，

则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6， 所以这组数据的方差为故选A．

67x95=2x

51 [（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4， 5点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．

5．B

解析：B 【解析】

【分析】根据菱形的性质逐项进行判断即可得答案. 【详解】菱形的四条边相等，

菱形是轴对称图形，也是中心对称图形， 菱形对角线垂直但不一定相等， 故选B．

【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．

6．D

解析：D 【解析】 如图，连接BE，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，

∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°． ∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处， ∴∠BEF=∠DEF=60°．

∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°． 在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=23． ∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8．

∴矩形ABCD的面积=AB•AD=23×8=163．故选D．

考点：翻折变换（折叠问题），矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．

7．A

解析：A 【解析】

试题解析：∵直线l：y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B， ∴B（0，43）， ∴OB=43，

在RT△AOB中，∠OAB=30°，

∴OA=3OB=3×43=12，

∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，

∴PM=

1PA， 2设P（x，0）， ∴PA=12-x， ∴⊙P的半径PM=

11PA=6-x， 22∵x为整数，PM为整数，

∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数， ∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6． 故选A．

考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征．

8．A

解析：A 【解析】 【分析】

共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可． 【详解】

解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：

1x（x﹣1）＝36， 2故选：A． 【点睛】

此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.

9．B

解析：B 【解析】 【分析】

由折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x即可．

【详解】

∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置， ∴AE=AB，∠E=∠B=90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD， ∴AE=DC， 而∠AFE=∠DFC， ∵在△AEF与△CDF中，

AFE＝CFD ， E＝DAE＝CD∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴EF=DF；

∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=6，CD=AB=4， ∵Rt△AEF≌Rt△CDF， ∴FC=FA，

设FA=x，则FC=x，FD=6-x，

在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6-x）2，解得x＝则FD＝6-x=故选B． 【点睛】

考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．

13， 35. 310．C

解析：C 【解析】 【分析】

先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论． 【详解】

解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°， ∴∠BAO=60°， ∵∠AOB=90°， ∴AB是⊙C的直径，

-∠BAO=90°-60°=30°∴∠ABO=90°， ∵点A的坐标为（0，3），

∴OA=3， ∴AB=2OA=6，

∴⊙C的半径长=3,故选：C 【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解． 【详解】

根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢; 故选D. 【点睛】

此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

设月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． 【详解】

设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 240000（1+x）2=290400，

解得：x1=0.1=10%，x2=-0.21（舍去）， 故选C. 【点睛】

x）此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±

2

=后来的量，其中增长用+，减少用-．

二、填空题

13．7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出ab的值再根据三角形的任意两边之和大于第三边两边之差小于第三边求出c的取值范围再根据c是奇数求出c的值【详解】∵ab满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0∴a﹣7

解析：7

【解析】 【分析】

根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 【详解】

∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴6c8，又∵c为奇数， ∴c=7， 故答案为7． 【点睛】

本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．

14．2【解析】分析：利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长列出方程进行计算即可详解：扇形的圆心角是120°半径为6则扇形的弧长是：=4π所以圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π设圆锥的底面半

解析：2 【解析】

分析：利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程进行计算即可． 详解：扇形的圆心角是120°，半径为6， 则扇形的弧长是：

1206=4π， 180所以圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π， 设圆锥的底面半径是r， 则2πr=4π， 解得：r=2.

所以圆锥的底面半径是2. 故答案为2.

点睛：本题考查了弧长计算公式及圆锥的相关知识.理解圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是解题的关键.

15．07【解析】【分析】随着实验次数的增多频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率【详解】解：观察表格发现随着实验人数的增多男性患色盲的频率逐渐稳定在常数007左右故男性中男性患色盲的概率为007故

解析：07 【解析】 【分析】

随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率．

【详解】

解： 观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右， 故男性中，男性患色盲的概率为0.07 故答案为：0.07． 【点睛】

本题考查利用频率估计概率．

16．5【解析】【分析】【详解】试题解析：∵∠AFB=90°D为AB的中点∴DF=AB=25∵DE为△ABC的中位线∴DE=BC=4∴EF=DE-DF=15故答案为15【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：

解析：5 【解析】 【分析】 【详解】

试题解析：∵∠AFB=90°，D为AB的中点， ∴DF=

1AB=2.5， 21BC=4， 2∵DE为△ABC的中位线， ∴DE=

∴EF=DE-DF=1.5， 故答案为1.5． 【点睛】

直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

17．-6【解析】因为四边形OABC是菱形所以对角线互相垂直平分则点A和点C关于y轴对称点C在反比例函数上设点C的坐标为(x)则点A的坐标为(－x)点B的坐标为(0)因此AC=－2xOB=根据菱形的面积等

解析：-6 【解析】

因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点C的坐标为(x,AC=－2x,OB=

kk2k),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),因此xxx2K,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得: X12kS菱形OABC2x12,解得k6.

2x18．【解析】【分析】分别数出图①图②图③中的三角形的个数可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3如图③中三角形的个数为

9=4×3-3按照这个规律即可求出第n各图形中有多少三角形【详解】分 解析：4n3

【解析】 【分析】

分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就3-3．按照这个规律即可求出第n各是4与几的乘积减去3．如图③中三角形的个数为9=4×图形中有多少三角形． 【详解】

分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数， 1-3； 图①中三角形的个数为1=4×2-3； 图②中三角形的个数为5=4×3-3； 图③中三角形的个数为9=4×…

可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3． 按照这个规律，如果设图形的个数为n，那么其中三角形的个数为4n-3． 故答案为4n-3． 【点睛】

此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．

19．【解析】试题分析：要求PE+PC的最小值PEPC不能直接求可考虑通过作辅助线转化PEPC的值从而找出其最小值求解试题解析：如图连接AE∵点C关于BD的对称点为点A∴PE+PC=PE+AP根据两点之间

解析：5. 【解析】

试题分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解． 试题解析：如图，连接AE，

∵点C关于BD的对称点为点A， ∴PE+PC=PE+AP，

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值， ∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点， ∴BE=1，

∴AE=12225．

考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．

20．【解析】【分析】先对括号内分式的通分并将括号外的分式的分母利用完全平方公式变形得到÷；接下来利用分式的除法法则将除法运算转变为乘法运算=故答案为【点睛 然后约分即可得到化简后的结果【详解】原式=÷=·解析：

1 x1【解析】 【分析】

先对括号内分式的通分，并将括号外的分式的分母利用完全平方公式变形得到

xx12÷x11；接下来利用分式的除法法则将除法运算转变为乘法运算，然后约分即x1可得到化简后的结果. 【详解】 原式=

xx122÷

x11 x1==

xx11. x1·x1 x故答案为【点睛】

1. x1本题考查了公式的混合运算，解题的关键是熟练的掌握分式的混合运算法则.

三、解答题

21．（1）【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可. （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可. 试题解析：（1）设方程的另一根为x1，

13，；（2）证明见解析.

22a3x11x121.解得{. ∵该方程的一个根为1，∴{1a2a1x121∴a的值为

13，该方程的另一根为.

22（2）∵a241a2a24a8a24a44a240， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用. 22．43米 【解析】 【分析】 【详解】 解：设CD = x． 在Rt△ACD中，

2tan37则

AD， CD3AD， 4x3x. 4∴AD在Rt△BCD中，

BD， CD11BD则， 10x11x ∴BD10tan48° =

∵AD＋BD = AB，

311xx80． 410解得：x≈43．

∴

答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．

23．（1）隧道打通后从A到B的总路程是(434)公里;（2）隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短2.73公里. 【解析】 【分析】

（1）过点C作CD⊥AB于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及AD的长，进而可得出结论．

（2）由坡度可以得出A的度数，从而得出AC的长，根据ACCBAB即可得出缩短的距离. 【详解】

（1）作CDAB于点D，

在RtBCD中，∵CBA45，BC42，

∴CDBD4. 在RtACD中， ∵i1:3CD， AD∴AD3CD43， ∴AB434公里.

答：隧道打通后从A到B的总路程是434公里.



（2）在RtACD中， ∵i1:3CD， AD∴A30，

∴AC2CD248， ∴ACCB842. ∵AB434，

∴ACCBAB8424342.73（公里）.

答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短2.73公里. 【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记坡度和锐角三角函数的定义． 24．(1)1000,(2)答案见解析；（3）900. 【解析】 【分析】

（1）结合不剩同学的个数和比例，计算总体个数，即可．（2）结合总体个数，计算剩少数的个数，补全条形图，即可．（3）计算一餐浪费食物的比例，乘以总体个数，即可． 【详解】

解：（1）这次被调查的学生共有600÷60%＝1000人， 故答案为1000；

（2）剩少量的人数为1000﹣（600+150+50）＝200人， 补全条形图如下：

（3），

答：估计该校18000名学生一餐浪费的食物可供900人食用一餐． 【点睛】

考查统计知识，考查扇形图的理解，难度较容易． 25．（1）y=5x+400．（2）乙. 【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断； 试题解析：（1）设y=kx+b，则有∴y=5x+400．

（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为00元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元， ∵6300＜00

∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

b400k5 ，解得 ，

100kb900b400